2024-2025学年北京市东城区第五中学高一上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市东城区第五中学高一上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是( )
A. B. C. D.
3.已知，则下面不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.“”是不等式成立的 ．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知定义在上的偶函数在上是增函数，且，则使的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数是上的减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图所示，点在边长为的正方形的边上运动，设是边的中点，则当点沿着运动时，以点经过的路程为自变量，三角形的面积函数的图象形状大致是( )
A. B.
C. D.
8.如图所示，个长为，宽为的长方形，拼成一个正方形，中间围成一个小正方形，则以下说法中错误的是( )
A.
B. 当时，，，，四点重合
C.
D.
9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为( )
A. B. C. D.
10.奇函数和偶函数的图象分别如图、图所示，方程和的实根个数分别，，则( )
图 图
A. B. C. D.
11.函数的定义域为 ．
12.函数是定义在上的函数，且，若 ．
13.已知函数同时满足：定义域是实数集的一个子集；是非奇非偶函数；有最大值而无最小值则满足条件的函数 写出满足条件的一个函数即可
14.农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为块面积相等的区域除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致，种植密度和单株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第 号区域的总产量最大，该区域种植密度为 株．
15.对于函数，下列说法正确的是 写出所有正确命题的序号
函数为奇函数； 函数的值域为；
函数在定义域上为增函数； 对于，均有．
16.计算：
；
；
．
17.已知关于的不等式的解集为，且．
求实数的取值范围；
求集合．
18.函数，．
若过点，求的值；
在的条件下，若，求的最大值；
若图象恒在图象的上方，求实数的取值范围．
19.已知函数，且，．
确定函数的解析式，并判断奇偶性；
用定义证明函数在区间上单调递增；
求满足的实数的取值范围．
20.若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点已知函数
当，时，求函数的不动点；
若对任意的实数，函数恒有两个相异不动点，求的取值范围；
在的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点、的中点在函数的图象上，求的最小值．
21.设是正整数集的非空子集，称集合，且为集合的生成集．
当时，写出集合的生成集；
若是由个正整数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值；
判断是否存在个正整数构成的集合，使其生成集，并说明理由．
参考答案
1.
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12.
13.答案不唯一
14.
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16.

17.，当时，有，即．
，即的取值范围是．
当时，集合；
当时，集合；
当时，原不等式解集为空集；
当时，集合；
当时，集合．

18.由题意得，解得；
，令，则，对称轴为，
因为，所以，
在上单调递增，
故当时，取得最大值，最大值为；
由题意得恒成立，
即在上恒成立，
其中的取值范围是，故，
所以的取值范围是．

19.，解得，
故，定义域为，
，故为奇函数；
任取且，
则，
因为且，
所以，，
故，，
所以在区间上单调递增；
，其中，
由知，在区间上单调递增，
又为奇函数，所以在上单调递增，
故，解得，
故的取值范围是．

20.当，时，，
由，解得或，
所以所求的不动点为或．
令，则
由题意，方程恒有两个不等实根，所以，
即恒成立，则，故
设，，
又的中点在该直线上，所以，

而应是方程的两个根，
所以即，
，
，

21.解：因为 ，所以 ，
所以 ；
设 ，不妨设 ，
因为 ，
所以 中元素个数大于等于个，
又 ，则 ，此时 中元素个数等于个，
所以生成集中元素个数的最小值为；
不存在，理由如下：
假设存在个正整数构成的集合 ，使其生成集 ，
不妨设 ，则集合的生成集 由 组成，
又 ，
所以 ，
若 ，又 ，则 ，故 ，
若 ，又 ，则 ，故 ，
所以 ，又 ，则 ，而 ，
所以 不成立，
所以假设不成立，
故不存在个正整数构成的集合，使其生成集 ．

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