2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二上学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线与平行，则系数( )
A. B. C. D.
2.经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的方程是( )
A. B. C. D.
3.在三棱锥中，等于( )
A. B. C. D.
4.若过点，的直线的斜率等于，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.我国古代数学名著九章算术商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为( )
A. B. C. D.
7.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为 ．
A. B. C. D.
8.“”是“直线与圆相切”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10.某地居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成若，，现准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中是的五等分点，则转播台应建在( )
A. 处 B. 处 C. 处 D. 处
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.直线与圆的位置关系是 ．
12.已知圆与圆内切，则 ．
13.已知圆：为实数上任意一点关于直线：的对称点都在圆上，则 ．
14.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为 ．
15.定义：若对平面点集中的任意一点，总存在正实数，使得集合，则称为一个“开集”给出下列集合：
；；
；．
其中为“开集”的是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知直线：．
当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程；
求证：直线恒过定点；
当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程直接写出结果．
17.本小题分
已知椭圆及直线．
当直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
当时，求直线与椭圆相交所得的弦长；
求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，交于点，，点是棱的中点，连接，．
求证：平面；
若平面与平面的夹角的余弦值为，再从条件，条件这两个条件中选择一个作为已知，求线段的长．
条件：平面平面；
条件：．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
19.本小题分
已知圆和圆，直线与圆相切于点，圆的圆心在射线上，圆过原点，且被直线截得的弦长为．
求直线的方程；
求圆的方程．
20.本小题分
椭圆的左顶点为，离心率为．
求椭圆的方程；
已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点若四边形为平行四边形，求直线的方程．
21.本小题分
已知有限集，，定义集合，表示集合中的元素个数．
若，求集合和，以及的值；
给定正整数，集合，对于实数集的非空有限子集，，定义集合
求证：；
求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.相离
12.
13.
14.
15.
16.由题设，令是关于的对称点，
则，可得，故，
由题意，反射光线过和原点，
所以反射光线所在直线方程为．
由直线可改写为，联立，可得
将点代入原直线方程，显然成立，故直线恒过定点，得证．
当原点到直线的距离最大，即点到点的距离，此时，
由，则，故，整理得．

17.联立直线与椭圆，可得，
整理得，
由直线与椭圆有公共点，故，可得．
由题设及，联立直线与椭圆得，则或，
而直线为，当有，当有，
所以弦长为．
由有，令直线与椭圆交点为，
所以，则，故中点坐标为，
由，则，
所以弦的中点的轨迹方程为，即且．

18.解：证明：因为底面是菱形，所以是的中点，
因为是的中点，所以，
因为平面，平面
所以平面
选择条件
因为，是的中点，所以，
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以，
又，所以，，两两垂直，
以为原点建立空间直角坐标系，
因为菱形的边长为，，
所以，，
所以，，设，
所以，，
设为平面的一个法向量，
由得所以取，则，
所以，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
因为平面与平面的夹角的余弦值，所以，
即，
所以，即，因为，
所以
所以线段的长为．
选择条件
因为在菱形中，，
，所以平面，
因为平面，所以，因为，
所以，，两两垂直以下同条件．
19.解：直线与圆相切于点，
直线的斜率，
直线的方程为，
由已知可设，
圆过原点，，
圆心到直线的距离，
又弦长为，，
，，
圆的方程为．
20.由题意知：，则，故椭圆的方程为；
设，又，故，又直线经过点，故的方程为，
联立椭圆方程可得，显然，，
则，
又，由，可得，
解得或，
故直线的方程为或．

21.根据定义直接得，，．
显然．
若中含有一个不在中的元素，则，即
．
若，且，则
此时中最小的元素，中最小的元素，
所以中最小的元素．
所以．
因为，
所以，即．
综上，．
由知．
所以
若，或，则
若，且，设，
且，，
则，
若，
因为，
所以这个数一定在
集中中，且均不等于．
所以
所以
当，时，
所以的最小值是

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