中小学教育资源及组卷应用平台
22.1 二次函数（1） 导学案
学习目标：
1.会列二次函数表示实际问题中两个变量的数量关系.
2.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．（重难点）
3.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．
一、问题引入
写出下列各量之间的关系式，并判断是不是函数关系.
①正方体的表面积y与棱长x的关系式为___________ .
②n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n的关系式为___________.
③某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y与计划所定的x的关系式为_______.
二、推进新课
思考： 函数y=6x2 , , y=20x2+40x+20 , 有什么共同点
上述三个函数都是用自变量的二次式表示的.一般地，形如 y=__________（a，b，c为常数，a≠0）的函数，叫做____________。
其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的___________、___________和________.
练习：1.分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项及各项系数。
①y=6x2 , ③y=20x2+40x+20 .
2.下列中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数，一次项系数及常数项.
①y=1-3x2 ； ②y=6x2 +2x； ③y=3x3 +2x； ④y=x(x+5)+2；
方法总结：判断一个函数是否为二次函数的步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是_______（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是_________；
（3）判断自变量的最高次数是否是_______；
（4）判断______________是否不等于0.
例：是二次函数，求常数a的值.
练习：若y＝(a－2)x|a|＋2x＋3是二次函数，则a的值是_______．
三、当堂练习
1．1.下列函数中是二次函数的有______________。
2.做一做:
①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式；
②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式；
③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
四、课堂小结
谈谈你本节课的收获.
五、作业布置
见精准作业布置单.中小学教育资源及组卷应用平台
22.1 二次函数（1） 教学设计
教学目标
1.会列二次函数表示实际问题中两个变量的数量关系.
2.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．
3.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．
教学重点
二次函数的概念和解析式．
教学难点
准确判断所给函数是否是二次函数，能说出二次函数的项和各项系数.
教学过程
一、问题引入
写出下列各量之间的关系式，并判断是不是函数关系.
①正方体的表面积y与棱长x的关系式为___y=6x2____ . 是
②n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n的关系式为_____. 是
③某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y与计划所定的x的关系式为____y=20x2+40x+20_. 是
二、推进新课
思考： 函数y=6x2 , , y=20x2+40x+20 , 有什么共同点
三个函数都是用自变量的二次式表示的.
上述三个函数都是用自变量的二次式表示的.一般地，形如 y=ax +bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项及各项系数。
①y=6x2 , 自变量为x，二次项为6x2，二次项系数为6.
自变量为n，二次项为1/2n2，二次项系数为1/2.一次项为-1/2n，一次项系数为-1/2.
③y=20x2+40x+20 .
自变量为x，二次项为20x2，二次项系数为20.一次项为40x，一次项系数为40.常数项为20.
练习：下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数，一次项系数及常数项.
①y=1-3x2 ； ②y=6x2 +2x； ③y=3x3 +2x； ④y=x(x+5)+2；
①是，分别为-3，0，1； ②是，分别为6，2，0；③不是；
④是，分别为1，5，2； ⑤不是；
方法总结：判断一个函数是否为二次函数的步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
例：
解：依题意，得解得a=-1.
练习：若y＝(a－2)x|a|＋2x＋3是二次函数，则a的值是___-2____．
三、课堂练习
1.下列函数中是二次函数的有____①⑤⑥__________。
2.做一做:
①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式；
y=πx2(x>0)
②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式；
y=2(1+x)2 (x>0)
③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
S=4πr2 (r>0)
四、课堂小结
谈谈你本节课的收获.
五、作业布置
见精准作业布置单.
六、板书设计
22.1 二次函数（1） 右边板书
y=6x2 , , y=20x2+40x+20
形如 y=ax +bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 习题板书
其中x是自变量，
a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
第 5 页 共 5 页中小学教育资源及组卷应用平台
课前诊测
1.下列函数是二次函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1
C．y＝x2＋2 D．y＝x－2
2.若函数y＝(m－1)x2＋3x＋1是关于x的二次函数，则有( )
A．m≠0 B．m≠1 C．x≠0 D．x≠1
精准作业
必做题
1．下列方程中，不是一元二次方程的是( )
A．x2－＝x B．7x2＝0
C．0.3x2＋0.2x＝4 D．x(1－2x2)＝2x2
2．将一元二次方程(x＋3)(x－3)＝2x化为一般形式后，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．
下列函数是否为二次函数？如果是二次函数，请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝－0.9x2＋2x－3； (2)y＝－2x2－7；
(3)y＝－x2＋x； (4)y＝(x＋1)(x－1)－x2.
4.写出下列各函数关系式，并判断它们是不是二次函数．
(1)正方形的面积y与边长x之间的函数关系式；
(2)直角三角形的面积是S cm2，两直角边的和为40 cm，其中一条直角边长为x cm，写出S和x之间的函数关系式；
(3)圆的周长C与半径r之间的函数关系式；
(4)菱形的两条对角线的和为26 cm，写出菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式．
5.已知函数y＝(k2－k)x2＋kx＋k＋1是关于x的函数．
(1)若这个函数是一次函数，求k的值；
(2)若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？
探究题
如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，F是CD上一点，且AE＝AF，设△AEF的面积为y，EC的长为x，求y与x的函数关系式．
参考答案
课前诊断
C
B
精准作业
D
1 -2 -9
解：
函数解析式 是否为二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项
(1)y＝－0.9x2＋2x－3 是 －0.9 2 －3
(2)y＝－2x2－7 是 －2 0 －7
(3)y＝－x2＋x 是 －1 1 0
(4)y＝(x＋1)(x－1)－x2 不是
4.解：(1)y＝x2，是二次函数 (2)S＝－x2＋20x，是二次函数
(3)C＝2πr，不是二次函数 (4)S＝－x2＋13x，是二次函数
5.解：(1)依题意，有解得k＝1，即当k＝1时，
函数y＝(k2－k)x2＋kx＋k＋1是一次函数.
依题意，有k2－k≠0，∴k≠0且k≠1.即当k≠0且k≠1时，
函数y＝(k2－k)x2＋kx＋k＋1是二次函数.
探究题
解：由已知条件可证△ABE≌△ADF，∴BE=DF.
∴EC=FC=x，BE=DF=4-x，∴S△ABE=S△ADF=1/2×4×（4-x）=8-2x.
S△AEF=S正方形ABCD-2S△ABE-S△EFC=16-2×（8-2x）-1/2x2.
即y=-1/2x2+4x（0＜x≤4）.(共13张PPT)
22.1 二次函数 (1)
问 题 引 入
写出下列各量之间的关系式，并判断是不是函数关系.
①正方体的表面积y与棱长x的关系式为________ .
y=6x2
是
②n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n的关系式为_________________.
是
③某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y与计划所定的x的关系式为______________.
y=20x2+40x+20
是
推 进 新 课
思考：
函数y=6x2 , , y=20x2+40x+20 , 有什么共同点
三个函数都是用自变量的二次式表示的.
推 进 新 课
上述三个函数都是用自变量的二次式表示的.一般地，形如 y=ax +bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次项
一次项
常数项
推 进 新 课
①y=6x2 ,
,
②
y=20x2+40x+20 .
③
分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项及各项系数。
自变量为x，二次项为6x2，二次项系数为6.
自变量为n，二次项为1/2n2，二次项系数为1/2.
一次项为-1/2n，一次项系数为-1/2.
自变量为x，二次项为20x2，二次项系数为20.
一次项为40x，一次项系数为40.
常数项为20.
推 进 新 课
练习：下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数，一次项系数及常数项.
①y=1-3x2 ；
②y=6x2 +2x；
③y=3x3 +2x；
④y=x(x+5)+2；
⑤
①是，分别为-3，0，1；
②是，分别为6，2，0；
③不是；
④是，分别为1，5，2；
⑤不是；
推 进 新 课
方法总结：判断一个函数是否为二次函数的步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
推 进 新 课
解：依题意，得
解得a=-1.
例：
练习：若y＝(a－2)x|a|＋2x＋3是二次函数，
则a的值是_______．
－2
课 堂 练 习
练习：
1.下列函数中是二次函数的有 。
二次函数：y=ax +bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
√
×
最高次数是4
×
×
√
=x2
√
①⑤⑥
a=0
课 堂 练 习
①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式；
②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式；
③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
2.做一做:
y=πx2
y=2(1+x)2
S=4πr2
(x>0)
(x>0)
(r>0)
课 堂 小 结
本节课，你有什么收获？
二次函数y=ax +bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
作 业 布 置
见精准作业单.
