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22.1 二次函数（2） 导学案
学习目标：
1.会用描点法画出y=ax^2的图象，理解抛物线的概念．
2．掌握形如y＝ax^2的二次函数图象和性质，并会应用．
重点难点：
重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax^2的图象.
难点：用描点法画出二次函数y=ax^2的图象以及探索二次函数性质.
一、新课导入
问题：上节课我们从实际问题中又认识了函数家族的一位新成员——二次函数，类比一次函数，如果我们继续研究，你觉得可以研究二次函数的哪一方面？
二、新知探究
问题1：怎样研究一次函数的图象和性质？
问题2：类比一次函数怎样研究二次函数的图象和性质？
问题3：二次函数 y = ax + bx + c 定义中系数 a≠0，b、c 呢？
问题4：怎么研究 y = ax (a≠0) 的图象和性质？
操作与思考：画出 y = x2 的图象，并观察图象的特征.
自变量 x 的取值范围是什么？
函数值 y 的取值范围是什么？
根据 x 取一对相反数时，函数值相等吗？
可以猜测图象的对称性吗？
探究2：用“描点法”法作图
议一议：二次函数 y = x2 的图象有什么特征？(可以从以下几个方面考虑)
你能描述图象的形状吗？
(2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.
(3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？当 x＞0 时呢？
(4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
三、典例分析
例1 (1)在同一直角坐标系中，画出函数的图象．(奇数组)
在同一直角坐标系中，画出函数的图象．(偶数组)
思考：(1) 函数 y = 2x2 的图象与函数 y = x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？
(2) 当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？
类比a＞0 时的探究方法，探究a0 时的函数图象及性质。
y = ax2 a＞0 a0
图象
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
小试牛刀
1. 已知抛物线 y = ax2 (a＞0) 过点 M(-4，y1)，N(3，y2) 两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1 C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0
五、课堂小结
本节课，你学到了什么数学知识？
学会了哪些学习方法？
六、当堂检测
1. 函数 y = 3x2 的图象的开口 __ ，对称轴是 _ ，顶点是 __ ，顶点是抛物线的最 __点；在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而_____，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而____；点 A(-1，y1) 在抛物线上，则 y1 = ___.点 A(4，48) 关于对称轴的对称点的坐标是_____.
2. 已知二次函数 y＝ax2.
(1)若 a = -2，点(2，y1)与(5，y2)在此二次函数的图象上，则 y1_____ y2 (填“>”“＝”或“<”)；
(2) 若 a＞0，点(0，y1)与(1，y2)在此二次函数的图象上，则 y1_____ y2 (填“> ”“＝”或“< ”)；
(3) 若 a＜0，点(－4，y1)与(3，y2)，(1，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__________.
七、布置作业
见精准作业单中小学教育资源及组卷应用平台
22.1 二次函数（2） 教学设计
学习目标：
1.会用描点法画出y=ax^2的图象，理解抛物线的概念．
2．掌握形如y＝ax^2的二次函数图象和性质，并会应用．
重点难点：
重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax^2的图象.
难点：用描点法画出二次函数y=ax^2的图象以及探索二次函数性质.
一、新课导入
问题：上节课我们从实际问题中又认识了函数家族的一位新成员——二次函数，类比一次函数，如果我们继续研究，你觉得可以研究二次函数的哪一方面？
二、新知探究
问题1：怎样研究一次函数的图象和性质？
问题2：类比一次函数怎样研究二次函数的图象和性质？
问题3：二次函数 y = ax + bx + c 定义中系数 a≠0，b、c 呢？
问题4：怎么研究 y = ax (a≠0) 的图象和性质？
操作与思考：画出 y = x2 的图象，并观察图象的特征.
(1) 自变量 x 的取值范围是什么？ 全体实数
(2) 函数值 y 的取值范围是什么？ ( y≥0 )
(3) 根据 x 取一对相反数时，函数值相等吗？ 相等. 如： x =±2 时， y = 4.
可以猜测图象的对称性吗？ 猜想：关于 y 轴对称. 如： (2，4) 与 (-2，4) 等.
探究2：用“描点法”法作图
1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以取任意实数.
列表表示几组对应值：
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
y = x2 ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点 (x，y).
3. 连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．(能用直线连接吗？)
同学们展示下自己的结果，并交流下做法？
议一议：二次函数 y = x2 的图象有什么特征？(可以从以下几个方面考虑)
(1) 你能描述图象的形状吗？ 抛物线
(2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流. 是，y轴
(3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？当 x＞0 时呢？
当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值减小；当 x＞0 时，随着 x 值的增大，y 的值增大.
(4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
当x=0时，y 的值最小，为0
典例分析
例1 (1)在同一直角坐标系中，画出函数的图象．(奇数组)
在同一直角坐标系中，画出函数的图象．(偶数组)
思考：(1) 函数 y = 2x2 的图象与函数 y = x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？
共同点：是开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，也是抛物线的最低点；
不同点：是开口大小不同.
(2) 当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？
当 a＞0 时，a 越大，开口越小.
类比a＞0 时的探究方法，探究a0 时的函数图象及性质。
y = ax2 a＞0 a0
图象
开口方向与大小 开口向上 开口向下
越大，开口越小
对称性 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点与最值 顶点坐标是原点（0,0）
当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x = 0 时，y最大值 = 0
增减性 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0 时，y随x增大而增大 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0 时，y随x增大而减小
小试牛刀
1. 已知抛物线 y = ax2 (a＞0) 过点 M(-4，y1)，N(3，y2) 两点，则下列关系式一定正确的是（ C ）
A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1 C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0
五、课堂小结
本节课，你学到了什么数学知识？
学会了哪些学习方法？
六、当堂检测
1. 函数 y = 3x2 的图象的开口 向上 ，对称轴是 y轴 ，顶点是 （0,0） ，顶点是抛物线的最 低 点；在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 减小 ，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 增大 ；点 A(-1，y1) 在抛物线上，则 y1 = _3__.点 A(4，48) 关于对称轴的对称点的坐标是__（-4,48）___.
2. 已知二次函数 y＝ax2.
(1)若 a = -2，点(2，y1)与(5，y2)在此二次函数的图象上，则 y1__>___ y2 (填“>”“＝”或“<”)；
(2) 若 a＞0，点(0，y1)与(1，y2)在此二次函数的图象上，则 y1__>___ y2 (填“> ”“＝”或“< ”)；
(3) 若 a＜0，点(－4，y1)与(3，y2)，(1，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__y1＜y2＜y3__.
七、布置作业
见精准作业单
八、板书设计
22.1 二次函数（2）
y = ax2 a＞0 a0
图象
开口方向与大小 开口向上 开口向下
越大，开口越小
对称性 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点与最值 顶点坐标是原点（0,0）
当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x = 0 时，y最大值 = 0
增减性 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0 时，y随x增大而增大 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0 时，y随x增大而减小中小学教育资源及组卷应用平台
22.1 二次函数（2）精准作业设计
课前诊断
如果函数是二次函数，求常数m的值。
精准作业
必做题
2. 如下图，观察函数 y = (2k - 1)x2 的图象，则 k 的取值范围是 .
3.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点.
二次函数 开口方向 对称轴 顶点
y =3x2
y =-3x2
y =-x2
y =x2
4. 若抛物线 y = ax2 (a ≠ 0) 过点 ( 1，2)，则
(1) a 的值是 ；
(2) 对称轴是 ，开口 ；
(3) 顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点， 抛物线在 x 轴的 方（除顶点外）；
(4) 若 A(x1 , y1)，B(x2 , y2) 在这条抛物线上，且 x1< x2<0， 则 y1 y2.
探究题
5.在平面直角坐标系中，过点(0，2)且平行于x轴的直线，与直线y=x 2交于点A，点A关于直线x=2的对称点为B．
(1)求点A与点B的坐标；
(2)若函数的图象与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
精准作业答案
1．解：由题得
解得：m=-3
向上，轴，（0,0）；向下，轴，（0,0）；
向下，轴，（0,0）；向上，轴，（0,0）；
（1）2；（2）y轴；向上；（3）（0,0），低，上；（4）
5.解：（1）A（4,2），B（0,2）
（2）(共24张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数（2）
人教版九年级上数学
学习目标
1.会用描点法画出的图象，理解抛物线的概念．
2．掌握形如y＝的二次函数图象和性质，并会应用．
重点难点：
重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=的图象.
难点：用描点法画出二次函数y=的图象以及探索二次函数性质.
问题：上节课我们从实际问题中又认识了函数家族的一位新成员——二次函数，类比一次函数，如果我们继续研究，你觉得可以研究二次函数的哪一方面？
图象和性质
新课导入
问题2：类比一次函数怎样研究二次函数的图象和性质？
一次函数的图象和性质
图象
特殊
y = kx(k≠0)
一般
y = kx + b (k≠0)
描点法：
列表，描点，连线
二次函数的图象和性质
图象
特殊
一般
问题1：怎样研究一次函数的图象和性质？
新知探究
问题3：二次函数 y = ax + bx + c 定义中系数 a≠0，
b、c 呢？
都可以为 0
最特殊：
y = ax (a≠0)
从特殊到一般
y = ax + bx + c (a≠0)
问题4：怎么研究 y = ax (a≠0) 的图象和性质？
a 的具体数值
从特殊到一般
y = ax (a≠0)
新知探究
操作与思考：画出 y = x2 的图象，并观察图象的特征.
探究1：从函数解析式研究图象和性质.
(1) 自变量 x 的取值范围是什么？
(2) 函数值 y 的取值范围是什么？
(3) 根据 x 取一对相反数时，函数值相等吗？
可以猜测图象的对称性吗？
全体实数
( y≥0 )
相等. 如： x =±2 时， y = 4.
猜想：关于 y 轴对称. 如： (2，4) 与 (-2，4) 等.
新知探究
探究2：用“描点法”法作图
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 … …
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以取任意实数.
列表表示几组对应值：
2
4
-2
-4
O
2
4
6
x
y
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点 (x，y).
3. 连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到
y = x2 的图象．(能用直线连接吗？)
同学们展示下自己的结果，并交流下做法？
8
议一议：二次函数 y = x2 的图象有什么特征？
(可以从以下几个方面考虑)
(1) 你能描述图象的形状吗？
(2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.
(3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？
当 x＞0 时呢？
(4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？
你是如何知道的？
合作探究
(1) 你能描述图象的形状吗？
类似
抛物线 y = x2
2
4
-2
-4
O
2
4
6
x
y
8
2
4
-2
-4
O
2
4
6
x
y
8
(2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 … …
9
4
1
0
1
9
4
这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就是它的对称轴.
图象是轴对称图形
(3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？
当 x＞0 时呢？
观察图象可以发现：
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大.
1
2
-2
O
-1
1
4
x
y
(-2，4)
(-1，1)
(2，4)
(1，1)
3
2
y = x2
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(4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？
你是如何知道的？
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，它是抛物线的最低点，为 (0，0).
1
2
-2
O
-1
1
4
x
y
3
2
顶点
y = x2
例1 (1)在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．(奇数组)
(2)在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．(偶数组)
典例分析
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
x
y
y = 2x2
y = x2
小组讨论，如何归纳总结出下表？
2
2
-2
-4
-6
4
4
-8
x
y
y = -2x2
O
y = -x2
y＝ax2 a > 0 a < 0
图象
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
开口向上
开口向下
| a | 越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点(0，0)
当 x = 0 时，y最小值 = 0
当 x = 0 时，y最大值 = 0
y
O
x
y
O
x
当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0 时，y随x增大而增大
当x>0时，y随x增大而增大；
当x<0 时，y随x增大而减小
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(1) 在同一直角坐标系中，画出函数
观察图象，思考这些抛物线有什么相同点和不同点？
观察下列图象，抛物线 y = ax2 与 y = ax2 (a＞0) 的关系是什么？
二次项系数互为相反数时， 开口方向相反，开口大小相同，它们关于 x 轴对称.
x
y
O
y = ax2
y = ax2
议一议
二次函数
y = ax2 的图象及性质
画法
描点法
在对称轴两侧对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4 个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
课堂小结
1. 函数 y = 3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点；
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 ；
点 A(-1，y1) 在抛物线上，则 y1 = ________.
点 A(4，48) 关于对称轴的对称点的坐标是_________.
向上
y 轴
(0，0)
低
减小
增大
( 4，48)
3
当堂练习
2. 已知二次函数 y＝ax2.
(1) 若 a = -2，点(2，y1)与(5，y2)在此二次函数的图象上，
则 y1_____ y2 (填“> ”“＝”或“< ”)；
＞
(2) 若 a＞0，点(0，y1)与(1，y2)在此二次函数的图象上，
则 y1_____ y2 (填“> ”“＝”或“< ”)；
(3) 若 a＜0，点(－4，y1)与(3，y2)，(1，y3)在此二次函数
的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________.
＜
y3＞y2＞y1
布置作业
见精准作业单！
谢谢大家！
