湖北省部分省级示范高中2024～2025学年上学期高二期中测试
数学试卷
考试时间：2024年11月14日试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 天气预报甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一地降雨的概率（）
A. 0.06 B. 0.94 C. 0.56 D. 0.44
2. 如果，，则直线不经过（）
A第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 与圆同圆心，且过点的圆的方程是（）
A. B.
C. D.
4. 从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，这三条线段能够成一个三角形的概率（）
A. B. C. D.
5. 已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（）
A. B.
C. D.
6. 在《线性代数》中定义：对于一组向量，，存在一组不全为0的实数，，使得：成立，那么则称，，线性相关，只有当时，才能使成立，那么就称，，线性无关.若为一组不共面的空间向量，则以下向量组线性无关的是（）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
7. 若圆上总存在两个点到原点距离均为2，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8. 已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9. 若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（）
A. B. C. D.
10. 在棱长为2的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的是（）
A. 若为空间任意一点，且，则
B. 与所成角的大小为
C. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
D. 在线段上存在一点，使得平面
11. 已知圆，圆，（，且，不同时为0）交于不同的两点，，下列结论正确的是（）
A. ，
B. 直线的方程为：
C. 若点是圆内异于圆心的一点，以为中点的弦所在的直线为，直线，则且与圆相离
D. ，为圆上的两动点，且，则的最大值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.）
12. 已知向量，向量，若，则为_________
13. 甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为_________
14. 集合，集合，若，则实数的取值范围__________
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 一个袋子中有标号分别为、、、的个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次
（1）求摸出两球标号互质的概率；
（2）设事件“第一次摸出球标号小于”，事件“第二次摸出球的标号小于”，判断事件与事件是否相互独立.
16. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点三条棱的长度都为，且.
（1）求的长度；
（2）求直线和直线所成角的余弦值.
17. 已知圆，直线
（1）求证：直线与圆恒有两个交点
（2）设直线与圆交于两点，当为何值时，三角形的面积有最大值，并求出该最大值
18. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，.
（1）若平面平面，求证：平面；
（2）求平面与平面所成角余弦值；
（3）若是线段上动点，为中点，试确定点的位置，使得直线与平面所成角最大，并求出该最大角.
19. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线
（1）求曲线的方程
（2）过点作直线交曲线于两个不同的点，，且不过曲线的中心，再过点，分别作曲线的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程
（3）斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，，直线，的斜率分别为，，且.若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值湖北省部分省级示范高中2024～2025学年上学期高二期中测试
数学试卷
考试时间：2024年11月14日试卷满分：150分
★祝考试顺利★
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.
【答案】D
2.
【答案】C
3.
【答案】B
4.
【答案】B
5.
【答案】C
6.
【答案】D
7.
【答案】A
8.
【答案】A
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9.
【答案】ABD
10.
【答案】AC
11.
【答案】BCD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.）
12. 【答案】##
13.【答案】
14.【答案】
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.
【解析】
【分析】（1）记事件摸出两球标号互质，列举出样本空间，以及事件包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）利用独立事件的定义判断可得出结论.
【小问1详解】
讨论摸出两球的标号，记事件摸出两球标号互质，
样本空间为，共个样本点，
每个样本点出现的可能性相同，
，共个样本点，故.
因此，摸出两球标号互质的概率为.
【小问2详解】
样本空间为，
共个样本点，
，
，，
则，，所以，，
所以，事件与事件不独立.
16.
【解析】
【分析】（1）设，，，将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长度；
（2）计算得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得直线和直线所成角的余弦值.
【小问1详解】
设，，，
由题意可知，，，
由空间向量数量积的定义可得，
，
则，
故.
【小问2详解】
，
则，
，则.
故直线和直线所成角的余弦值为.
17.
【解析】
【分析】（1）先证明直线过定点，再说明定点在圆内即可；
（2）设圆心到直线的距离为，注意到，又，可以求出面积的最大值，注意验证取等条件，进一步由斜率关系可以求出参数，由此即可得解.
【小问1详解】
因为直线，可得，
所以，解得，
所以直线过定点，
将点代入圆方程可得，
所以点在圆的内部，所以直线与圆恒有两交点.
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为，
则，
，
因为，所以当时，三角形面积最大，最大值为.
此时，且，则，即，解得.
所以当时，三角形的面积最大，最大值为.
18.
【解析】
【分析】（1）先证明平面，再证明即可得证；
（2）计算出平面的法向量，而平面的一个法向量为，两个法向量的夹角即为所求二面角；
（3）设，求出与平面的夹角的正弦值为，再经过适当变形结合二次函数的性质得出最大值及取得最大值的条件.
【小问1详解】
因为平面，平面，所以，，
因为，所以，
又因为平面，，所以平面，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面平面，所以，
又因为平面，所以平面.
【小问2详解】
以为原点，分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量为，则有，取，则，
因为平面，所以平面一个法向量为，
，所以与平面所成角的余弦值为.
【小问3详解】
，，设，则，，设平面的法向量为，
则有，取，则，，则与平面的夹角的正弦值为，
设，则，
当时，取得最大值，所以的最大值为，
所以当点满足时，与平面的夹角的最大值为.
19.
【解析】
【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程；
（2）设，，，由，可得直线所在的直线方程，又点在直线上，可得证；
（3）设直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求解定点坐标，由几何图形可知，，再利用直角三角形，斜边的中线等于斜边的一半，即可求出定点坐标.
【小问1详解】
设线段的中点为，，
，即，
因为点在圆上，
所以，化简得，
所以曲线的方程为.
小问2详解】
设，，，点在圆外部，
由，可得，即，
又，可得，
同理，由可得，
所以直线所在的直线为，又点在直线上，
，即，
所以点在同一条直线上，直线方程为.
【小问3详解】
设直线，，，，
由，得，
，，
，即，
，所以，
所以直线的方程为，即直线过定点，
因为为定值，为直角三角形，为斜边，
所以当是的中点时，，
所以存在定点，使得为定值.
