高二数学专版
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为纯虚数，则（）
A. 3 B. C. D.
2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（）
A B. C. D.
3. 若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（）
A. B.
C. D.
4. 函数单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
5. 6万多年一遇的紫金山—阿特拉斯彗星是中国科学院紫金山天文台发现的第8颗彗星，它于2024年10月12日最接近地球，在北半球可观测到.已知某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距太阳最近的点）距太阳中心0.6天文单位，远日点（距太阳最远的点）距太阳中心35天文单位，且近日点 远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的离心率约是（）
A. 0.017 B. 0.25 C. 0.86 D. 0.97
6. 已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（）
A. B. C. D.
7. 已知直线与抛物线相交于两点，点在轴上，且，则点到坐标原点的距离为（）
A. 4 B. 2 C. D.
8. 已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线和圆，则（）
A. 直线过定点
B. 直线与圆有两个交点
C. 存在直线与直线垂直
D. 直线被圆截得的最短弦长为
10. 如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，则（）
A.
B. 平面
C.
D. 点到平面的距离为
11. 已知椭圆左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点（与的顶点不重合），则（）
A. 的方程为
B.
C. 面积随周长变大而变大
D. 直线和的斜率乘积为定值
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，内角的对边分别为，已知，则__________.
13. 曲线的周长为__________.
14. 已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）若在区间上的值域为，求实数的取值范围.
16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，且平面平面ABCD，．
（1）证明：平面PCD；
（2）若，E为棱PC的中点，求直线PC与平面ABE所成角的正弦值．
17. 已知抛物线C：与椭圆E：的一个交点为，且E的离心率.
（1）求抛物线C和椭圆E的方程；
（2）过点A作两条互相垂直的直线AP，AQ，与C的另一交点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点.
18. 已知椭圆的左 右焦点分别为，短轴长为2.
（1）求E的方程.
（2）若为上一点，求的取值范围.
（3）判断上是否存在不同的三点，使得线段（为坐标原点）的中点与的中点重合于直线上一点.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
19. 在平面直角坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作.
（1）已知点和点，直线，求和.
（2）已知圆和圆.
①若两圆心切比雪夫距离，判断圆和圆的位置关系；
②若，圆与轴交于两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为0的直线与圆交于两点，记直线为，直线为，证明：.高二数学专版
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】B
2.
【答案】A
3.
【答案】C
4.
【答案】C
5.
【答案】D
6.
【答案】A
7.
【答案】D
8.
【答案】D
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】ABC
10.
【答案】BC
11.
【答案】AD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】4
13.
【答案】
14.
【答案】
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间;
（2）要使得在上的值域为，即在上的值域为，可得，从而可得结果.
【小问1详解】
因为
令，
得.
所以的单调递减区间为.
【小问2详解】
当时，，
在区间上的值域为，
令，得，有，
令，得，有.
所以，得，
即的取值范围是.
16.
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面ABCD，进而可得，，结合线面垂直的性质定理分析证明；
（2）建系标点，求平面ABE的法向量，利用空间向量求线面夹角.
【小问1详解】
因为平面平面ABCD，，
且平面平面，平面，
可得平面ABCD，
由平面ABCD，则，
因为ABCD为正方形，则，
且，平面PCD，
所以平面PCD.
【小问2详解】
由（1）可知：平面ABCD，且ABCD为正方形，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意可得：，
则，
设平面ABE的法向量为，则，
令，则，可得，
且，
所以直线PC与平面ABE所成角的正弦值为.
17.
【解析】
【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程可求出，从而可求出抛物线的方程，再将点的坐标代入椭圆方程，结合和，从而可求出椭圆方程；
（2）设直线为，，将直线方程代入抛物线方程，化简利用根与系数的关系，表示出，，由，得，化简后可得，代入可求得直线过的定点.
【小问1详解】
因点在抛物线C：上，
所以，得，所以抛物线方程为，
因为点在椭圆E：上，离心率，
所以，解得，
所以椭圆方程为
【小问2详解】
由题意可知直线的斜率不为零，所以设直线为，，
由，得，
由，得，则，
由题意可知直线，的斜率均存在且不为零，
所以，，
因为，所以，
所以，则，
所以，得，所以直线为，
所以，所以直线恒过定点
18.
【解析】
【分析】（1）由已知求得即可得；
（2）设，得，代入后可求得取值范围；
（3）设直线的方程为，直线方程代入椭圆方程整理后可得，求出中点的坐标，再求得点坐标，代入椭圆方程得的关系式，结合韦达定理中，可求得得直线方程．也可设点，得，代入椭圆方程求得，从而得点坐标，利用是中点（把坐标代入椭圆方程相减）求得直线斜率后可得直线方程．
【小问1详解】
因为，所以，
因为的短轴长为2，所以，
所以的方程为.
【小问2详解】
设，则，
易知，
所以
因为，所以，
所以的取值范围是.
【小问3详解】
方法一：由题意得直线的斜率存在，设直线的方程为，
由得，
所以，即，
.
因为的中点为，所以，①
.
因为点为线段的中点，所以，
将点的坐标代入，得，与①式联立，
解得或均满足，
所以直线的方程为或，
即，或.
方法二：设点，则，由题意知直线的斜率存在，所以.
将点坐标代入的方程，得，解得，所以.
若与的中点重合，则.
由点在上，得两式相减，得，
整理可得.
当点坐标为时，，
当点坐标为时，，
所以直线的方程为或，
即或.
【点睛】方法点睛：已知椭圆的弦中点坐标，设弦两端点坐标为，代入椭圆方程有，两式相减得：
，时，，即为弦所在直线斜率．
19. 在平面直角坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作.
（1）已知点和点，直线，求和.
（2）已知圆和圆.
①若两圆心的切比雪夫距离，判断圆和圆的位置关系；
②若，圆与轴交于两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为0的直线与圆交于两点，记直线为，直线为，证明：.
【答案】（1）3，.
（2）①圆与圆相切；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“切比雪夫距离”定义计算；（2）①转化为圆与圆的位置关系判定即可；②运用直线与圆联立，借助韦达定理证明即可.
【小问1详解】
.
设上任意一点为，
则.
当时，；
当时，，
所以的最小值为2，故.
【小问2详解】
①由题可知圆的标准方程为，所以圆心为，半径.由圆的方程知圆心为，半径.
.
当，即时，由，解得，所以.
此时，所以圆与圆相切（答“内切”也对）.
当，即时，由，解得，所以.
此时，所以圆与圆相切.
②因为都在轴上，所以，
所以，得或（舍去）.
此时圆，令，解得或，
因为点在圆外，所以.
由题意设直线的方程为.
由可得，
当，即时，
有.
，
因为，所以，
所以直线与关于轴对称，即关于直线对称，
由对称性知.
