4.5.2 用二分法求方程的近似解 教学课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
第 4 章
4.5 函数的应用（二）
人教A版2019必修第一册
4.5.2 用二分法求方程的近似解
学习目标
1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．
2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．
3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．
目录
CATALOG
01.二分法的概念
03.题型强化训练
02.用二分法求函数零点的近似值
04.小结及随堂练习
01
二分法的概念
4.5.2 用二分法求方程的近似解
导入新知
我们已经知道，方程 ln x ＋2x－6=0的实数根x0∈(2，3)，即函数在区间(2，3)内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．
应用新知
取区间(2，3)的中点2.5，用计算工具算得 f (2.5) ≈ －0.084．因为f(2.5)f(3)<0， 所以零点在区间(2.5，3)．再取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算工具算得 f(2.75)≈0.512.因为f (2.5) f (2.75)<0，所以零点在区间(2.5，2.75)内．
因为(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围变小了．如果重复上述的步骤，那么零点所在的范围会越来越小．
这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在的范围缩小到满足一定精度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值．
应用新知
f (x)= ln x ＋2x－6
∵f(2)<0， f(3)>0，∴x0∈(2，3)
∵f(2.5)<0， f(3)>0，∴x0∈(2.5，3)
∵f(2.5)<0， f(2.75)>0，∴x0∈(2.5，2.75)
∵f(2.5)<0， f(2.625)>0，∴x0∈(2.5，2.625)
∵f(2.5)<0， f(2.5625)>0，∴x0∈(2.5，2.5625)
∵f(2.53125)<0， f(2.5625)>0，∴x0∈(2.53125，2.5625)
应用新知
2
3
2.5
2.75
2.65
2.5625
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
(2，3) 2.5 -0.084
(2.5，3) 2.75 0.512
(2.5，2.75) 2. 625 0.215
(2.5，2.625) 2.562 5 0.066
(2.5，2.5625) 2. 531 25 -0.009
(2.53125，2.5625) 2. 546 875 0.029
(2.53125，2.546875) 2. 539 062 5 0.010
(2.53125，2.5390625) 2. 535 156 25 0.001
应用新知
例如，当精确度为0.01时，因为|2.539 062 5－2.531 25|
=0.007 812 5<0.01，所以区间(2.531 25，2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将x = 2.531 25作为函数f(x)=lnx＋2x－6零点的近似值，即方程lnx＋2x－6=0的近似解．
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
(2，3) 2.5 -0.084
(2.5，3) 2.75 0.512
(2.5，2.75) 2. 625 0.215
(2.5，2.625) 2.562 5 0.066
(2.5，2.5625) 2. 531 25 -0.009
(2.53125，2.5625) 2. 546 875 0.029
(2.53125，2.546875) 2. 539 062 5 0.010
(2.53125，2.5390625) 2. 535 156 25 0.001
总结新知
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
二分法的理论依据是什么？
x
y
0
a
b
能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0．
二分法是否适合求所有函数的零点？
零点定理
总结新知
用二分法求函数零点近似值的步骤
3. 计算f(c) ；
若f(c)=0，则c就是函数的零点c ；
若f(a)·f(c)<0，此时零点x0∈(a,c)，则令b=c;若f(b)·f(c)<0，此时零点x0∈(c,b)，则令a=c;
1. 确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
2. 求区间(a,b)的中点c；
4. 判断是否达到精度ε，若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤2~4；
由|a-b|<ε可知，区间[a,b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值，为了方便，我们统一区间端点值a(或b).
02
用二分法求函数
零点的近似值
4.5.2 用二分法求方程的近似解
学习新知
例2 借助信息技术，用二分法求方程 2x＋3x=7函数的近似解（精确度为0.1）
【解析】原方程即2x＋3x－7=0 ，令f(x) =2x＋3x－7，用信息技术画出函数
y = f (x)的图象，并列出它的对应值表．
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
观察函数图象和上表，可知f(1)·f(2)<0．
学习新知
区间 中点的值 中点函数近似值
(1,2) 1.5 0.33
(1,1.5) 1.25 -0.87
(1.25,1.5) 1.375 -0.28
(1.375,1.5) 1.4375 0.02
(1.375,1.4375)
由于 |1.375－1.4375|=0.0625<0.1，
此时区间(1.375，1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解可以为1.375 ．
应用新知
二分法求方程近似解，计算量较大，重复步骤多，这可以让计算机来完成，但是得是人设计好计算程序，由计算机执行，其程序框图为：
开始
定义f(x)
输入ε,a,b
b=c
a=c
a=c
输出解x=a
结束
是
否
是
否
是
否
总结新知
二分法步骤
1.确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.
2、求区间(a,b)的中点c
3、计算f(c);
(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点
(2) 若f(a)f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a,c))
(3) 若f(a)f(c)>0,则令a= c(此时零点x0∈(c,b))
4、判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则重复2～4
03
题型强化训练
4.5.2 用二分法求方程的近似解
能力提升
【跟踪训练】
1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是
解析：由二分法的定义，可知只有当函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)＜0，即函数f(x)的零点是变号零点时，才能用二分法求函数零点的近似值．对各选项分析可知，A，B，D都符合，而C不符合，因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
题型一　二分法的概念
能力提升
题型一　二分法的概念
【感悟提升】　用二分法求函数零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右两侧的函数值异号．
只有同时满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
能力提升
题型二　用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值)
【跟踪训练】
2．利用计算器，用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－6零点的近似值(精确度为0.1)．
解：因为函数f(x)＝2x＋3x－6在R上单调递增，且f(1)＝2＋3－6＝－1<0，f(2)＝4＋6－6＝4>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在R上存在唯一的零点，设为x0，则x0∈(1，2)．利用二分法，可以得到下表：
能力提升
题型二　用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值)
我们得到区间(1.1875，1.25)的长度为0.0625，它小于0.1，因此可选取这一区间的任意一个数作为函数f(x)零点的近似值，如可取x0＝1.2作为函数f(x)零点的一个近似值．
能力提升
题型二　用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值)
【感悟提升】　利用二分法求方程近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M.
(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
04
小结及随堂练习
4.5.2 用二分法求方程的近似解
总结新知
总结新知
用二分法求解方程的近似解：
1、确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε
2、求区间(a,b)的中点c
3、计算f(c);
(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点
(2) 若f(a)·f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a,c))
(3) 若f(a)· f(c)>0,则令a= c(此时零点x0∈(c,b))
4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则重复2～4.
总结新知
二分法：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
用二分法求函数零点近似值的步骤：
1. 确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
2. 求区间(a,b)的中点c；
3. 计算f(c) ；若f(c)=0，则c就是函数的零点c ；
若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a,c))；若f(b)·f(c)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c,b)；
4. 判断是否达到精度ε，若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤2~4；
由|a-b|<ε可知，区间[a,b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值，为了方便，我们统一区间端点值a(或b)．
作业
4.5.2 用二分法求方程的近似解
完成教材第146页练习第1,2题;第155页习题4. 5第 1,3,4 题.
练习（第146页）
练习（第146页）
习题4.5 （第155-156页）
1．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是 ．
（填写上所有符合条件的图号）
①③
习题4.5 （第155-156页）
x 1 2 3 4 5 6
y 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064
习题4.5 （第155-156页）
习题4.5 （第155-156页）
习题4.5 （第155-156页）
人教A版2019必修第一册
THANKS
感谢您的聆听