24.1 圆的有关性质+教学设计
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24.1 圆的有关性质+教学设计+2024~2025学年度上学期人教版初中数学九年级上册 第24章 圆
【学情分析】
学生已经通过对三角形、四边形的学习具备了一定的逻辑思维能力，能够较好的用数学符号语言进行推理证明。前一课时让学生对圆已经有了巩固认识，也能够熟悉圆的一些基本概念，对深入学习圆奠定了基础。但是通过对图形的探究过程理解垂径定理以及推论，并熟练应用于实际问题计算和证明仍然存在一定难度。
【教学目标】
（1）通过观察试验,理解圆的轴对称性.
（2）掌握垂径定理及其推论.
（3）会用垂径定理解决有关的证明与计算问题.
（1）通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力及观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力.
（2）经历探究垂径定理及其推论的过程,进一步体会和理解研究几 何图形的各种方法.
（1）通过探究垂径定理的活动,激发学生探究、发现数学问题的兴趣,培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质.
（2）培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验.
【重点难点】
教学重点：圆内接四边形的概念及性质。
教学难点：圆内接四边形与圆周角性质的综合应用。
【新课导入】
课前预习 1、布置学生的课前预习任务 2、进行预习方法指导 3、对学生预习任务的检查与评定。 认真阅读教材第79-80页内容，铅笔勾画重点概念 2、完成《新课程实践与探案丛书》66页例1、例2。
【新课讲解】
学习一个新知识首先要研究它的定义，让学生拿出课前准备好的一根电线，不规定具体尺寸，一端固定在纸上，另一端绕上铅笔，在纸上画圆，让学生体会一条线段在平面内绕着一个固定的端点旋转一周，笔尖运动所形成的图形就是圆，引导学生说出圆的描述性定义。学生应该不能用规范的几何语言说出这一定义，这时我应该鼓励学生大胆地去说，或者用小组交流讨论地方式来阐述这一定义，最后给出：把线段绕着一个固定的端点在平面内旋转一周，另一个端点运动所形成的图形叫做圆，同时强调几点：一是在一个平面内，二是另一个端点运动所形成的封闭曲线，并不是指线段的运动所留下的痕迹，三是圆心和半径是圆的两要素，圆的读法和写法。每位学生画出的圆可能都不一样，是什么原因导致的呢？因为圆心和半径不同，同时指出圆心确定了圆的位置，而半径则决定了圆的大小。这样设计既提高了学生动手操作的能力，又培养了学生合作交流、互相学习、互相促进的意识，它较好的体现了学生是学习的主人这一理念，有利于学生自主地探索数学问题，并使他们的团队精神得到培养，这一设计是学生对旋转这一旧知的巩固，也是学习新知的基础，以此将生活现象抽象为数学模型，渗透数学的建模意识。
3.巩固新知,综合应用：
练一练：判断正误：是培养学生学习了圆的相关概念后能熟练的运用。
用一用：利用树木年轮来激发学生学习兴趣，从而运用所学知识来解决此题。
想一想：进一步培养学生思维的发散性而设计的。可以通过合作交流的方式，教师加以引导，也是对学生学习能力的培养。
画一画：世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，观察来自现实生活中含有圆的图形，激发学生画图的欲望，让学生真正理解圆的概念和性质。4.回顾反思 升华提高：小结时我将同样充分发挥学生学习的主动性，设计一系列的问题让学生思考，学生在思考问题的同时脑中一定会浮现课堂中每次活动的情境，回忆起这节课所学的知识，这样通过学生的动手动脑，学生自己就能概括出这节课所学习的内容，圆的两种定义，至此圆的知识通过学生的再创造，实现了内化而成为知识结构的一部分。
5.课外新知：
圆的历史：
古代人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的，那么是什么人做出第一个圆的呢？18000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再从另一面钻。石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。6000年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了。
大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆的木轮。约在4000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这样就成了最初的车子。
会做圆并且真正了解圆的性质，却是在2000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的：“一中同长也。”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年。
【课堂小结】
1.你学习了关于圆的哪些数学知识？
2.你掌握了哪些常用的辅助线作法和解题方法？
【布置作业】
1.(10分)下列四个图中，∠x是圆周角的是（C）
2.(10分)如图,⊙O中，弦AB、CD相交于E点，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=（D）
A.15° B.40° C.5° D.35°
3.(10分)如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= 80° .
4.(10分)如图，点B、A、C都在⊙O上，∠BOA＝110°，则∠BCA＝ 125° .
5.(10分)如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，∠AOC=78°，求∠DAB的度数．
解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠B.
又∵∠B=∠AOC=39°.
∴∠DAB=39°.
6.(10分)如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点，且∠ACB=45°，求弦AB的长.
解：连接OA、OB.
∵∠BCA=45°,∴∠BOA=2∠BCA=90°.
又OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形.
∴.
7.(10分)如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论.
解：△ABC是等边三角形.证明如下：
∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
8.(10分)如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
证明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.
∴∠A=∠BCE.
∵BC=BE,
∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E,
∴AD=DE,
∴△ADE是等腰三角形.
二、综合应用（10分）
9.(10分)如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是 30≤x≤60 ．
三、拓展延伸（10分）
10.(10分)如图，BC为半圆O的直径，点F是上一动点（点F不与B、C重合），A是上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β．
（1）当α=50°时，求β的度数;
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明.
解：（1）连接OA，交BF于点M.
∵A是上的中点，∴OA垂直平分BF.
∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.
∴∠C=∠AOB=×40°=20°,
即β=20°.
（2）β=45°-α.
证明：由（1）知∠BOM＝90°-α.又∠C＝β＝∠AOB,
∴β＝（90°-α）＝45°-α.
【板书设计】
24.1.1圆
1、圆的概念
2、与圆有关的概念
弦 直径 弧（优弧 劣弧 ）
半圆 等圆 等弧
【教学反思】
本节课首先设计了一个问题情境，展示了圆心角与圆周角的位置关系，引出圆周角的概念.然后通过测量、猜想，得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半的结论.接着通过让学生折纸，观察与思考，利用分类讨论的思想方法，分三种情况给出系统的证明及思维过程.至此我们利用迁移、转化的思想方法化未知为已知，将圆周角的问题转化为圆心角来求解.其后为进一步探索圆周角的其他性质，我们又以设置的问题为导线，将学生带入到教学活动中，同时再次通过交流、讨论、合作、归纳出圆周角定理的三个推论，并运用它们进行解题，实现从认识到应用的转化.
24.1 圆的有关性质+教学设计+2024~2025学年度上学期人教版初中数学九年级上册 第24章 圆
【学情分析】
学生已经通过对三角形、四边形的学习具备了一定的逻辑思维能力，能够较好的用数学符号语言进行推理证明。前一课时让学生对圆已经有了巩固认识，也能够熟悉圆的一些基本概念，对深入学习圆奠定了基础。但是通过对图形的探究过程理解垂径定理以及推论，并熟练应用于实际问题计算和证明仍然存在一定难度。
【教学目标】
（1）通过观察试验,理解圆的轴对称性.
（2）掌握垂径定理及其推论.
（3）会用垂径定理解决有关的证明与计算问题.
（1）通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力及观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力.
（2）经历探究垂径定理及其推论的过程,进一步体会和理解研究几 何图形的各种方法.
（1）通过探究垂径定理的活动,激发学生探究、发现数学问题的兴趣,培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质.
（2）培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验.
【重点难点】
教学重点：圆内接四边形的概念及性质。
教学难点：圆内接四边形与圆周角性质的综合应用。
【新课导入】
课前预习 1、布置学生的课前预习任务 2、进行预习方法指导 3、对学生预习任务的检查与评定。 认真阅读教材第79-80页内容，铅笔勾画重点概念 2、完成《新课程实践与探案丛书》66页例1、例2。
【新课讲解】
学习一个新知识首先要研究它的定义，让学生拿出课前准备好的一根电线，不规定具体尺寸，一端固定在纸上，另一端绕上铅笔，在纸上画圆，让学生体会一条线段在平面内绕着一个固定的端点旋转一周，笔尖运动所形成的图形就是圆，引导学生说出圆的描述性定义。学生应该不能用规范的几何语言说出这一定义，这时我应该鼓励学生大胆地去说，或者用小组交流讨论地方式来阐述这一定义，最后给出：把线段绕着一个固定的端点在平面内旋转一周，另一个端点运动所形成的图形叫做圆，同时强调几点：一是在一个平面内，二是另一个端点运动所形成的封闭曲线，并不是指线段的运动所留下的痕迹，三是圆心和半径是圆的两要素，圆的读法和写法。每位学生画出的圆可能都不一样，是什么原因导致的呢？因为圆心和半径不同，同时指出圆心确定了圆的位置，而半径则决定了圆的大小。这样设计既提高了学生动手操作的能力，又培养了学生合作交流、互相学习、互相促进的意识，它较好的体现了学生是学习的主人这一理念，有利于学生自主地探索数学问题，并使他们的团队精神得到培养，这一设计是学生对旋转这一旧知的巩固，也是学习新知的基础，以此将生活现象抽象为数学模型，渗透数学的建模意识。
3.巩固新知,综合应用：
练一练：判断正误：是培养学生学习了圆的相关概念后能熟练的运用。
用一用：利用树木年轮来激发学生学习兴趣，从而运用所学知识来解决此题。
想一想：进一步培养学生思维的发散性而设计的。可以通过合作交流的方式，教师加以引导，也是对学生学习能力的培养。
画一画：世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，观察来自现实生活中含有圆的图形，激发学生画图的欲望，让学生真正理解圆的概念和性质。4.回顾反思 升华提高：小结时我将同样充分发挥学生学习的主动性，设计一系列的问题让学生思考，学生在思考问题的同时脑中一定会浮现课堂中每次活动的情境，回忆起这节课所学的知识，这样通过学生的动手动脑，学生自己就能概括出这节课所学习的内容，圆的两种定义，至此圆的知识通过学生的再创造，实现了内化而成为知识结构的一部分。
5.课外新知：
圆的历史：
古代人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的，那么是什么人做出第一个圆的呢？18000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再从另一面钻。石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。6000年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了。
大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆的木轮。约在4000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这样就成了最初的车子。
会做圆并且真正了解圆的性质，却是在2000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的：“一中同长也。”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年。
【课堂小结】
1.你学习了关于圆的哪些数学知识？
2.你掌握了哪些常用的辅助线作法和解题方法？
【布置作业】
1.(10分)下列四个图中，∠x是圆周角的是（C）
2.(10分)如图,⊙O中，弦AB、CD相交于E点，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=（D）
A.15° B.40° C.5° D.35°
3.(10分)如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= 80° .
4.(10分)如图，点B、A、C都在⊙O上，∠BOA＝110°，则∠BCA＝ 125° .
5.(10分)如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，∠AOC=78°，求∠DAB的度数．
解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠B.
又∵∠B=∠AOC=39°.
∴∠DAB=39°.
6.(10分)如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点，且∠ACB=45°，求弦AB的长.
解：连接OA、OB.
∵∠BCA=45°,∴∠BOA=2∠BCA=90°.
又OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形.
∴.
7.(10分)如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论.
解：△ABC是等边三角形.证明如下：
∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
8.(10分)如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
证明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.
∴∠A=∠BCE.
∵BC=BE,
∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E,
∴AD=DE,
∴△ADE是等腰三角形.
二、综合应用（10分）
9.(10分)如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是 30≤x≤60 ．
三、拓展延伸（10分）
10.(10分)如图，BC为半圆O的直径，点F是上一动点（点F不与B、C重合），A是上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β．
（1）当α=50°时，求β的度数;
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明.
解：（1）连接OA，交BF于点M.
∵A是上的中点，∴OA垂直平分BF.
∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.
∴∠C=∠AOB=×40°=20°,
即β=20°.
（2）β=45°-α.
证明：由（1）知∠BOM＝90°-α.又∠C＝β＝∠AOB,
∴β＝（90°-α）＝45°-α.
【板书设计】
24.1.1圆
1、圆的概念
2、与圆有关的概念
弦 直径 弧（优弧 劣弧 ）
半圆 等圆 等弧
【教学反思】
本节课首先设计了一个问题情境，展示了圆心角与圆周角的位置关系，引出圆周角的概念.然后通过测量、猜想，得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半的结论.接着通过让学生折纸，观察与思考，利用分类讨论的思想方法，分三种情况给出系统的证明及思维过程.至此我们利用迁移、转化的思想方法化未知为已知，将圆周角的问题转化为圆心角来求解.其后为进一步探索圆周角的其他性质，我们又以设置的问题为导线，将学生带入到教学活动中，同时再次通过交流、讨论、合作、归纳出圆周角定理的三个推论，并运用它们进行解题，实现从认识到应用的转化.
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