万州二中高 2023 级高二上期中考数学试题
命题人:张春 审题人：张应红
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150分，考试时间 120分钟.
2.答题前，考生务必用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在题卡上各题的答题区域内
作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
一 选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 直线 x 3y 2 0的倾斜角为（ ）
A. 150 B. 120 C. 60o D. 30o
2. 已知圆C的方程是 x2 y2 4x 2y 11 0，则圆心C的坐标是（ ）
A. 2,1 B. 2, 1 C. 4,2 D. 4, 2
x2 y2
3. 设 F1,F2 是双曲线 C： - =1的左、右焦点，过 F2 的直线与C的右支交于 P，Q两点，则4 3
| F1P | | F1Q | | PQ | （ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 12
4. 两平行直线 l1： x 2y 10 0， l2： 2x 4y 3 10 0之间的距离为（ ）
5 2
A. B. 3 C. 5 D. 2 2
2
2
5. 已知圆M : (x 1) (y 2)2 1与圆 N：(x 3)2 (y 4)2 1关于直线 l对称，则 l的方程为（ ）
A. x 2y 5 0 B. x 2y 5 0
C. 2x y 5 0 D. 2x y 5 0
1
6. 已知向量 a (2, 3,0)， b (0,3,4) ，则向量 a在向量 b上的投影向量的坐标为（ ）
18 27 18 27
A. , ,0 B. , ,0
13 13 13 13
27 36 27 36
C. 0, , D. 0, ,
25 25 25 25
7. 已知圆C : x2 y2 8x 12 0，点 P在圆C上，点 A 6,0 ，M 为 AP的中点，O为坐标原点，则
tan MOA的最大值为（ ）
6 7 6 6
A. B. C. D.
12 12 4 3
8.已知点 P 为直线 l1 : mx 2 y m 6 0 与直线 l2 : 2 x my m 6 0(m R) 的交点，点Q 为圆
C (x 3)2: (y 3)2 8 上的动点，则 | PQ | 的取值范围为( )
A. 2 2,8 2 B. 2 2,8 2
C. 2,6 2 D. 2,6 2
二 多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 若直线 a 2 x 4 y a 0与直线 a 2 x a2 2a 4 y 2 0平行，则 a的值可以是（ ）
A. 0 B. 2 C. 2 D. 4
10. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，若 AA1， BC的中点分别为M ， N ，则（ ）
A. MN CC1 B. 平面 A1BC1 / /平面 AD1C
C. B1N D1M
8 29
D. 点D到平面D1MN 的距离为
29
11. 已知点 P x , y ，直线 l : x x y y 1及圆C : x2 20 0 0 0 y 1，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点 P在C上，则 l与C相切
B. 若点 P在圆 x2 y2 4 3上，则 l被圆C截得的弦长为
2
C. 若点 P在圆C外，过点 P作圆C的切线，则 l为过两切点的直线
D. 若点 P在圆C内，过点 P的直线与圆C交于点M ,N ，则圆C在M ,N 处的切线的交点在 l 上
2
三 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 设向量 a 1,2,m ,b 2,0, 1 ，若 a b ，则m __________.
C : x
2 y2
13. 已知椭圆 1(a b 0)左 右焦点分别为F1 F2，过F2 2 1且倾斜角为30°的直线l1与过F2的直线a b
l2交于P点，点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°.则椭圆C的离心率e=___________.
14.我国南北朝时期的著名数学家祖原提出了祖眶原理："幂势既同，则积不容异．"意思是，夹在两个平行
平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体
的体积相等，运用祖原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如
图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后
得到一新几何体（如图②)，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，
1 2 2V = R 2 1 2 2 3 x y由此可证明新几何体与半球体积相等，即 R R R R ,现将椭圆 1 绕 y
2 球 3 3 4 9
轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③)，类比上述方法，运用祖眶原理可求得其体积等于_________
四 解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 l： 2a 1 x a 1 y a 5 0.
（1）若直线 l与直线 l ： x 2y 1 0平行，求 a 的值；
（2）若直线 l在两坐标轴上的截距相等，求直线 l的方程.
16. 已知⊙C x2 y2： 16．
（Ⅰ）设点Q x, y 为⊙C上的一个动点，求 4x 3y的范围；
（Ⅱ）直线 l过点 P 3,4 ，且与⊙C 交于 A、B 两点，若 AB 2 7 ，求直线 l的方程．
3
17. 如图 5，在直角梯形 ABCD中，AB//CD， B 90 ， AB 3，CD 2，BC 3 ，E在 AB上，
且 AD AE . 将 ADE 沿DE折起，使得点 A到点 P的位置，且PB PC，如图 6.
（1）证明：平面 PDE 平面 BCDE；
（2）求二面角C PB E的正弦值.
2 x2 y2
18 已知离心率为 的椭圆C : 2 2 1(a b 0)过点M 2,1 ．2 a b
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点(1,0)作斜率为 2 直线 l与椭圆相交于 A、B 两点，求 AB 的长；
（3）过点(1,0)的直线 l与椭圆相交于 A、B 两点，求 OAB的面积的最大值．
19. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 重 新 定 义 两 点 A x1, y1 ,B x2 , y2 之 间 的 “ 距 离 ” 为
| AB | | x2 x1 | | y2 y1 | ,我们把到两定点 F1( c,0),F2 (c,0), (c 0) 的“距离”之和为常数 2a(a c) 的
点的轨迹叫“类似椭圆”
(1)求“类似椭圆”的方程:
(2)根据“类似椭圆”的方程,研究“类似椭圆”的范围、对称性,并说明理由:
(3)设 c 1,a 2, 作出“类似椭圆”的图形,设此“类似椭圆”的外接椭圆为C ,C的左顶点为 A ,过 F2作
直线交C于M ,N 两点, AMN 的外心为Q ,求证:直线OQ与MN的斜率之积为定值.
4万州二中高 2023 级高二上期中考数学试题答案
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
【1 题答案】A【2 题答案】A【3 题答案】C【4 题答案】A【5 题答案】D【6 题答案】D【7 题答案】A【8
题答案】B
二 多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
【9 题答案】AB【10 题答案】BCD【11 题答案】ACD
三 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
【12 题答案】2【13 题答案】 3 1.【14 题答案】16
四 解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
【15 题答案】解：（1）因为 l∥ l ，所以
2 2a 1 a 1 0,
2 a 5 a 1 0,
解得a 1……………….6 分
a 5 a 5
（2）令 x 0 ，得 y ，即直线 l 在 y 轴上的截距为 .
a 1 a 1
a 5 a 5
令 y 0，得 x ，即直线 l 在 x 轴上的截距为 .
2a 1 2a 1
a 5 a 5
因为直线 l 在两坐标轴上的截距相等，所以 .
a 1 2a 1
所以 a 5 a 2 0 ，解得a 5 或a 2 .
则直线 l 的方程是9x 6y 0或3x 3y 3 0，即3x 2y 0或 x y 1 0 .……….13 分
【16 题答案】
（Ⅰ）设4x 3y t ，则直线4x 3y t 与 C 有公共点，
t
所以圆心到直线的距离d 4 4 ，解得 20 t 20 ．……….6 分
42 32
（Ⅱ）当直线 l 垂直于 x轴时，此时直线方程为 x 3， l 与圆的两个交点坐标为 (3, 7) ， (3, 7) ，这两
点的距离为2 7 ，满足题意；
1
当直线 l 不垂直于 x轴时，设其方程为 y 4 k x 3 ，
即 kx y 3k 4 0 2，设圆心到此直线的距离为d d 0 ，则2 7 2 16 d ，
3k 4 7
得 d 3，从而 3，得 k ，此时直线方程为7x 24y 75 0，
k 2 1 24
综上所述，所求直线方程为7x 24y 75 0或 x 3．………15 分
【17 题答案】
……….6 分
2
……….15 分
x2 y2 4 6
【18 题答案】（1） 1；（2） 35 ；（3） .
4 2 9 2
2
【详解】解：（1）由题可知，椭圆C 的离心率为 ，且椭圆过点M 2,1 ，
2
c 2
e
a 2
2 1
则 12 2 ，解得：a
2 4， c2 b2 2，
a b
a2 b
2 c2
x2 y2
故椭圆C 的方程为 1；……….4 分
4 2
（2） 过点 (1,0) 作斜率为 2 直线 l ， 直线 l : y 2x 2，
x2 y2
1
联立 4 2 ，整理得：9x2 16x 4 0 ，
y 2x 2
16 4
设 A(x1 ， y )， B(x1 2 ， y2 )，则 x 1 x2 ， x1x2 ，
9 9
1622 16 4 | AB | 1 2 (x x )2 4x ；……….8 分 1 2 1x2 5 35
92 9 9
（3）由于直线 l 过点 1,0 直线 l ，设 A(x1 ， y1)， B(x2 ， y2 )，
当直线 l 的斜率不存在时，直线 l x 轴，
3
x2 y2 6
此时将 x 1代入 1，解得： y ，
4 2 2
6 6
即 A， B 的坐标分别为 1, , 1, 2 2
，
1 1 6
则 OAB 的面积为： S y1 y2 1 6 ；
2 2 2
当直线 l 的斜率存在，且不为 0 时，可设直线 l 的方程为： x my 1，
x2 y2
1 2 2
联立 4 2 ，整理得： m 2 y 2my 3 0，
x my 1
2m 3
则 y1 y2 , y1y2 ，
m2 1 m2 1
1 1 2
而 OAB 的面积为： S y1 y2 1 y1 y2 4y y 1 2 ，
2 2
2
1 2m
2
3 1 4m 12
即 S 4 2 2 2 m 2
2 2
m 2 2 m2 2 m 2
1 16m2 24 1 2 4m2 6 4m2 6
2 ，
2 2 2 m2 2 2 m 2 m 2
2
令 2 2 2 2
t 6
t 4m 6 6 ，则 t 4m 6，得 m ，
4
4m2 6 t 4t 4
S t 6所以 2 2 2 m 2 t 6 t 2 2 ，
2 t
4 t
2 2 4 6
由于 t 6 ，由双勾函数的性质得 t 6 ，
t 6 3
4 4 6
S t 6
则 2
t 4 6
2
t 3
6
所以综上得： S ，
2
6
所以 OAB 的面积最大值为 .………17 分
2
4
5
6
