3.1.1椭圆及其标准方程 课后训练（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.1.1椭圆及其标准方程 课后训练（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 35.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-25 13:12:20 | ||
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文档简介
3.1.1 椭圆及其标准方程
A级——基础过关练
1．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1或x2＋＝1
2．椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A．(0，±3) B．(±3，0)
C．(0，±5) D．(±4，0)
3．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．x2＋＝1 D．＋＝1
4．如图，椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
5．已知椭圆＋＝1(a＞5)的两个焦点F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为( )
A．10 B．20
C．2 D．4
6．(多选)已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2一定不是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
7．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，实数m的取值范围是__．
8．已知椭圆的方程为＋＝1，若C为椭圆上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，并且|CF1|＝2，则|CF2|＝________．
9．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________．
10．已知平面上两点F(－4，0)，F′(4，0)，△PFF′的周长为18．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)当动点P满足∠FPF′＝90°时，求点P的纵坐标．
B级——综合运用练
11．(多选)F1，F2为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则椭圆C的方程可以是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
12．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
13．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
C级——创新拓展练
14．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．
(1)若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程．
答案解析
1、【答案】D
【解析】由a2＝b2＋c2，得b2＝13－12＝1，分焦点在x轴和y轴两种情况，故该椭圆的标准方程为＋y2＝1或x2＋＝1．
2、【答案】A
【解析】根据椭圆方程可知焦点在y轴上，且c2＝25－16＝9，所以焦点坐标是(0，±3)．
3、【答案】D
【解析】由题意知a2－2＝4，所以a2＝6，所以所求椭圆的方程为＋＝1．
4、【答案】C
【解析】由|MF1|＝2，得|MF2|＝8．又因为ON是△F1MF2的中位线，所以|ON|＝4．
5、【答案】D
【解析】因为a＞5，所以焦点在x轴上．因为|F1F2|＝8，所以a2＝b2＋c2＝41．故△ABF2的周长为4a＝4．
6、【答案】ACD
【解析】由椭圆的定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，且|MF1|－|MF2|＝1，所以|MF1|＝，|MF2|＝．又因为|F1F2|＝2c＝2，所以有|MF1|2＝|MF2|2＋|F1F2|2，因此∠MF2F1＝90°，△MF1F2为直角三角形．
7、【答案】(－3，－1)∪(1，3)
【解析】根据题意得0＜|m|－1＜2，所以1＜|m|＜3，所以m∈(－3，－1)∪(1，3)．
8、【答案】8
【解析】根据椭圆的定义，知椭圆上的点到两焦点的距离之和为10．因为|CF1|＝2，所以|CF2|＝8．
9、【答案】12
【解析】取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12．
10、解：(1)因为△PFF′的周长为18，所以|PF|＋|PF′|＝10，
由椭圆的定义可得动点P的轨迹为椭圆，其长轴长2a＝10，故a＝5，而半焦距c＝4，故b＝3，故方程为＋＝1(x≠±5)．
(2)设P(x0，y0)，则＝(－4－x0，－y0)，＝(4－x0，－y0)，因为∠FPF′＝90°，所以·＝0，故x＋y＝16，而＋＝1，解得y0＝±，故点P的纵坐标为±．
11、【答案】AC
【解析】设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，设椭圆上顶点为B，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则需∠F1BF2≥90°，∴|BF1|2＋|BF2|2≤|F1F2|2，即a2＋a2≤4c2．∵c2＝a2－b2，2a2≤4a2－4b2，∴a2≥2b2，选项A，C满足题意．故选AC．
12、【答案】6＋ 6－
【解析】椭圆方程化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，所以|AF1|＝，|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6．又因为－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时，等号成立)，所以|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－．
13、解：(1)由题意知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则
化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1．
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±．
又因为＋y＝1，所以x＝，x0＝±．
所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，．
14、解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2．
又因为点A在椭圆上，
所以＋＝1，
解得b2＝3，则c2＝a2－b2＝1．
所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．
(2)设椭圆C上的动点K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)，
则x＝，y＝，即x1＝2x＋1，y1＝2y．
因为点K(x1，y1)在椭圆＋＝1上，
所以＋＝1，即＋＝1，
此即为线段F1K的中点的轨迹方程．
A级——基础过关练
1．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1或x2＋＝1
2．椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A．(0，±3) B．(±3，0)
C．(0，±5) D．(±4，0)
3．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．x2＋＝1 D．＋＝1
4．如图，椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
5．已知椭圆＋＝1(a＞5)的两个焦点F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为( )
A．10 B．20
C．2 D．4
6．(多选)已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2一定不是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
7．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，实数m的取值范围是__．
8．已知椭圆的方程为＋＝1，若C为椭圆上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，并且|CF1|＝2，则|CF2|＝________．
9．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________．
10．已知平面上两点F(－4，0)，F′(4，0)，△PFF′的周长为18．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)当动点P满足∠FPF′＝90°时，求点P的纵坐标．
B级——综合运用练
11．(多选)F1，F2为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则椭圆C的方程可以是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
12．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
13．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
C级——创新拓展练
14．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．
(1)若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程．
答案解析
1、【答案】D
【解析】由a2＝b2＋c2，得b2＝13－12＝1，分焦点在x轴和y轴两种情况，故该椭圆的标准方程为＋y2＝1或x2＋＝1．
2、【答案】A
【解析】根据椭圆方程可知焦点在y轴上，且c2＝25－16＝9，所以焦点坐标是(0，±3)．
3、【答案】D
【解析】由题意知a2－2＝4，所以a2＝6，所以所求椭圆的方程为＋＝1．
4、【答案】C
【解析】由|MF1|＝2，得|MF2|＝8．又因为ON是△F1MF2的中位线，所以|ON|＝4．
5、【答案】D
【解析】因为a＞5，所以焦点在x轴上．因为|F1F2|＝8，所以a2＝b2＋c2＝41．故△ABF2的周长为4a＝4．
6、【答案】ACD
【解析】由椭圆的定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，且|MF1|－|MF2|＝1，所以|MF1|＝，|MF2|＝．又因为|F1F2|＝2c＝2，所以有|MF1|2＝|MF2|2＋|F1F2|2，因此∠MF2F1＝90°，△MF1F2为直角三角形．
7、【答案】(－3，－1)∪(1，3)
【解析】根据题意得0＜|m|－1＜2，所以1＜|m|＜3，所以m∈(－3，－1)∪(1，3)．
8、【答案】8
【解析】根据椭圆的定义，知椭圆上的点到两焦点的距离之和为10．因为|CF1|＝2，所以|CF2|＝8．
9、【答案】12
【解析】取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12．
10、解：(1)因为△PFF′的周长为18，所以|PF|＋|PF′|＝10，
由椭圆的定义可得动点P的轨迹为椭圆，其长轴长2a＝10，故a＝5，而半焦距c＝4，故b＝3，故方程为＋＝1(x≠±5)．
(2)设P(x0，y0)，则＝(－4－x0，－y0)，＝(4－x0，－y0)，因为∠FPF′＝90°，所以·＝0，故x＋y＝16，而＋＝1，解得y0＝±，故点P的纵坐标为±．
11、【答案】AC
【解析】设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，设椭圆上顶点为B，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则需∠F1BF2≥90°，∴|BF1|2＋|BF2|2≤|F1F2|2，即a2＋a2≤4c2．∵c2＝a2－b2，2a2≤4a2－4b2，∴a2≥2b2，选项A，C满足题意．故选AC．
12、【答案】6＋ 6－
【解析】椭圆方程化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，所以|AF1|＝，|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6．又因为－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时，等号成立)，所以|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－．
13、解：(1)由题意知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则
化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1．
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±．
又因为＋y＝1，所以x＝，x0＝±．
所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，．
14、解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2．
又因为点A在椭圆上，
所以＋＝1，
解得b2＝3，则c2＝a2－b2＝1．
所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．
(2)设椭圆C上的动点K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)，
则x＝，y＝，即x1＝2x＋1，y1＝2y．
因为点K(x1，y1)在椭圆＋＝1上，
所以＋＝1，即＋＝1，
此即为线段F1K的中点的轨迹方程．