上海市2024-2025学年高三上学期数学周练7（含解析）

2024学年第一学期高三年级数学周练7
2024.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知复数,则的虚部为 .
2.直线过点,法向量,则的一般式方程为 .
3.已知集合,若有两个元素,则实数的取值范围是 .
4.若,试用表示 .
5.关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解
集为 .
6.在中,内角的对边分别为,已知,
,则外接圆的半径为 .
7.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线。已知的顶点为,4),则该三角形的欧拉线方程为 .
8.设,若函数为奇函数,则 .
9.已知复数是关于的方程的一个根，若，且，
则 .
10.若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
11.已知是锐角的外心,,若,则实数 .
12.如果直线和函数的图象恒过一个定点,且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是 .
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13.已知定点不在直线上，则表示一条（ ）.
A.过点且垂直于的直线 B.过点且平行于的直线
C.不过点但垂直于的直线 D.不过点但平行于的直线
14.已知两条直线,其中为实数,当这两条直线的夹角在内变动时，的取值范围是（ ）.
A. B.
C. D.
15.向量,且,则（ ）.
A. B. C. D.
16.若曲线与恰有2条公切线,则（ ）.
A. B. C. D.-1
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（本题满分14分）（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图,在三棱锥中,,的中点分别为,点在上,.
（1）求证:平面;
（2）若,求三棱锥的体积.
18．（本题满分14分）（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数.
（1）求的单调递增区间;
（2）若的图象是由的图象向右平移单位长度得到的,则当,求满足实数的集合.
19．（本题满分14分）（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩作为样本，将所得数据经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题：
（1）求频率分布直方图中和的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩；
（2）规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率。
20．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）．
直线过点且与轴、轴正半轴分别交于两点.
（1）若直线的斜率为-2，求的面积；
（2）若的面积满足，求直线的斜率的取值范围；
（3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点,并求出该定点坐标.
21．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）．
定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数.
（1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
（2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请
说明理由;
（3）若,求的极值差比系数的取值范围.
2024学年第一学期高三年级数学周练7
2024.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知复数,则的虚部为 .
【答案】20
【解析】由,得,的虚部为20.
2.直线过点,法向量,则的一般式方程为 .
【答案】
【解析】设直线上的任意一点为,因为直线过点,
所以直线的方向向量为,又因为直线的法向量为,
所以,所以直线的方程为
3.已知集合,若有两个元素,则实数的取值范围是 .
【答案】或.
【解析】因为由于有两个元素，
则或，解得或,
所以实数的取值范围是或.
4.若,试用表示 .
【答案】
【解析】,
而，则，.
5.关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解
集为 .
【答案】
【解析】不等式的解集为,则不等式等价于，即
则所求不等式的解集为.
6.在中,内角的对边分别为,已知,
,则外接圆的半径为 .
【答案】1
【解析】因为,且,
所以,结合正弦定理，化简得，整理得，所以,结合,解得.
所以外接圆的半径满足,可得.
7.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线。已知的顶点为,4),则该三角形的欧拉线方程为 .
【答案】
【解析】由重心坐标公式可得：重心G,即，
设外心，因为，
所以,解得,即,
所以欧拉直线方程为:,即.
8.设,若函数为奇函数,则 .
【答案】
【解析】由可得,则时,无意义,
即有,解得,,即,
因为为奇函数，可得,即有,即,
所以,
所以为奇函数，则.故答案为：1.
9.已知复数是关于的方程的一个根，若，且，
则 .
【答案】
【解析】,可设,
,,解得,,
复数是关于的方程的一个根，
复数是关于的方程的另一个根，
,解得,.故答案为:1.
10.若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】解法1：,由题意知有实数解，
,有正的实数解.
当时，显然满足；当时,只要,综上所述，.
解法2:,由题意可知在内有实数解.
即在内有实数解.即在内有实数解.
时,.
11.已知是锐角的外心,,若,则实数 .
【答案】
【解析】锐角中,设的外接圆的半径为,
则由正弦定理可得,
又
由外接圆圆心的特点及向量数量积的几何意义可得，
由正弦定理可得
故答案为:.
12.如果直线和函数的图象恒过一个定点,且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数的图象恒过点，
代入直线可得,即(1).
定点始终落在圆的内部或圆上,
(2).由(1)(2)可得,
令,可得.
故答案为:.
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13.已知定点不在直线上，则表示一条（ ）.
A.过点且垂直于的直线 B.过点且平行于的直线
C.不过点但垂直于的直线 D.不过点但平行于的直线
【答案】B
【解析】定点不在直线上,
表示一条斜率与相等的直线,
又由当时,,故过点,
故表示一条过点且平行于的直线,故选:B.
14.已知两条直线,其中为实数,当这两条直线的夹角在内变动时，的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线的倾斜角为，令直线的倾斜角为，则有
过原点的直线的夹角在内变动时,可得直线的倾斜角的范围是.的斜率的取值范围是，即，故选:.
15.向量,且,则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为向量，且，所以，
所以,即,解得，所以,
又
所以,
所以.故选:D.
16.若曲线与恰有2条公切线,则（ ）.
A. B. C. D.-1
【答案】A
【解析】设在曲线上的切点为，由，可得过点的切线斜率为，此公切线方程为,即,
设切线与曲线相交于点,
则,消去，可得，
依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点，
令,解得或,
令,解得,则函数在上单调递增,在上单调递减,故极小值极大值，且恒成立，
当且仅当时等号成立，当时，,
要使直线与函数的图象有两个不同的交点,
则需，解得.故选:.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（本题满分14分）（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图,在三棱锥中,,的中点分别为,点在上,.
（1）求证:平面;
（2）若,求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：在Rt中，作，垂足为，设，则,
因为,所以,所以,即,解得,
又因为,所以,且,
所以,所以,即,解得,即,
所以是的中点,是的中点,又因为是的中点,所以,
同理,,所以,又因为平面平面,
所以平面;
（2）过作垂直的延长线交于点，因为是中点，所以,在Rt中,,所以,
因为,所以,又平面,
所以平面,又平面,所以,
又平面,所以平面,
即三棱锥的高为,因为,所以,
所以,的面积,
所以三棱锥的体积为.
18．（本题满分14分）（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数.
（1）求的单调递增区间;
（2）若的图象是由的图象向右平移单位长度得到的,则当,求满足实数的集合.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）
令则
所以的单调递增区间为.
（2）由题可知,
由,得,由,得,
由正弦函数的图象与性质可知，,
则,则所求实数的取值集合为.
19．（本题满分14分）（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩作为样本，将所得数据经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题：
（1）求频率分布直方图中和的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩；
（2）规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率。
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由茎叶图知，成绩在[50,60）的学生有5人，成绩在的学生有3人,
,,
此次参加厨艺大赛学生的平均成绩为：（2）由题意得厨霸有人，厨神有人，
从中任取2人，基本事件总数，
"所取2人至少中有1人是厨神"的对立事件是"所取2人都是厨霸"，其包含的基本事件个数为，所以"所取2人中至少有1人是厨神"的概率.
20．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）．
直线过点且与轴、轴正半轴分别交于两点.
（1）若直线的斜率为-2，求的面积；
（2）若的面积满足，求直线的斜率的取值范围；
（3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点,并求出该定点坐标.
【答案】（1） （2） （3）证明见解析，定点
【解析】（1）由题意可得直线的方程为,即,
令,可得；令，可得,则的面积为
（2）设直线的斜率为,直线的方程为,
令,则;令,则则,
由,即,由成立;
又,解得,所以的范围是;
（3）证明:点分向量所成的比的值为2,即为,
设,由,即有，
可得,,梯形的面积为,
由题意可得梯形的面积为6,
设,可得,即,
由直线的方程为,
将代入上式可得,
由解得，则直线经过定点.
21．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）．
定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数.
（1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
（2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请
说明理由;
（3）若,求的极值差比系数的取值范围.
【答案】（1）是，理由见解析 （2）不存在，理由见解析 （3）
【解析】（1）当时,是极值可差比函数,理由如下:
当时,,所以,
当时,;当时,,
所以在和上单调递增,在上单调递减,
所以的极大值为,极小值为,
所以,因此是极值可差比函数.
（2）的定义域为,即,
假设存在,使得的极值差比系数为,则是方程的两个不等正实根，,解得,不妨设,则,
由于
所以2-，从而，得
令
所以在上单调递增,有,
因此（*）式无解，即不存在使的极值差比系数为。
（3）由（2）知极值差比系数为，即，
不妨设，令，极值差比系数可化为，
又，解得，
令
设，
所以在上单调递减，当时，从而,
所以在上单调递增,所以,即.
故的极值差比系数的取值范围为.