绵阳中学高2023级高二上期期中测试
数学试题
第I卷（选择题）
一 单选题（每小题5分，共计40分）
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. 方程表示的曲线是（）
A. 两个圆 B. 一个圆和一条直线
C. 一个半圆 D. 两个半圆
3. 如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.这艘轮船能被海监船监测到的时长为（）
A1小时 B. 0.75小时 C. 0.5小时 D. 0.25小时
4. 椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（）
A. B. 4 C. 7 D.
5. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（）
A. 1 B. －1 C. D.
6. 如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是（）
A. B. C. D.
7. 如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
8. 我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（）
A. B. C. D. 5
二 多选题（每小题6分，共计18分）
9. 2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆(如图所示).已知它的近月点A(离月球表面最近的点)距离月球表面m千米，远月点B(离月球表面最远的点)距离月球表面n千米，为椭圆的长轴，月球的半径为R千米.设该椭圆的长轴长，焦距分别为，，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
10. 瑞士数学家伯努利于1694年发现了双纽线，即在平面直角坐标系中，点到两个定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，则当时，下列结论正确是（）
A. 点在双纽线上
B. 点轨迹方程为
C. 双纽线关于坐标轴对称
D. 满足的点有1个
11. 以下四个命题表述正确是（）
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1
C. 圆：与圆：恰有三条公切线，则
D. 已知圆C：，点P直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
第II卷（非选择题）
三 填空题（每小题5分，共计15分）
12. 两平行直线，的距离为__________.
13. 过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点.设为线段的中点，为坐标原点，则__________．
14. 已知椭圆的左 右焦点分别为 ，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是__________.
四 解答题（共计77分）
15. 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.
16. 已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程：
（2）已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程.
17. 如图所示，直角梯形中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18. 已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2.
（1）求的方程；
（2）设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.
①求曲线的方程；
②过点直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
19. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于、两个不同的点（、与、不重合）．
（1）求椭圆的焦距和离心率；
（2）若点在以线段为直径的圆上，求的值；
（3）若，设为坐标原点，直线、分别交轴于点、，当且时，求的取值范围．绵阳中学高2023级高二上期期中测试
数学试题
第I卷（选择题）
一 单选题（每小题5分，共计40分）
1.
【答案】D
2.
【答案】D
3.
【答案】C
4.
【答案】C
5.
【答案】A
6.
【答案】A
7.
【答案】D
8.
【答案】D
二 多选题（每小题6分，共计18分）
9.
【答案】BC
10.
【答案】BCD
11.
【答案】BCD
第II卷（非选择题）
三 填空题（每小题5分，共计15分）
12.
【答案】
13.
【答案】1
14.
【答案】
四 解答题（共计77分）
15.
【解析】
【分析】（1）将点代入双曲线方程即可求解；
（2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果
【小问1详解】
因为双曲线的实轴长为，所以，解得：；
又因为点在双曲线上，所以，解得：，
所以双曲线的标准方程为：
【小问2详解】
设，
由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即，
联立，消去可得：，
所以，，
所以
16.
【解析】
【分析】（1）先求线段垂直平分线的方程，与直线联立，得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的标准方程.
（2）分所求直线的斜率存在和不存在，利用弦长和点到直线的距离公式求直线方程.
【小问1详解】
的中点为
的垂直平分线方程为，即，
将联立可得，即圆的圆心坐标为.
圆的半径为，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故.
若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意.
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
所以，解得，则直线的方程为.
故直线的方程为或.
17.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）取中点G，连接，先证明平面，然后以为原点，所在直线为轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，证明垂直平面的一个法向量即可；
（2）找出两个面的法向量，利用夹角公式计算即可.
【详解】（1）取中点G，连接.
，
，∴四边形为平行四边形
∵平面平面
四边形为矩形，平面平面
平面
如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系
则，，，，
，
设平面的一个法向量为，
不妨设，，则，
又
又平面
平面
（2），
设平面的一个法向量为，
.
不妨设，则，，
.
设向量与的夹角为，
则
∴平面与平面所成二面角的余弦值为
18.
【解析】
【分析】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程；
（2）①利用代点法求出点的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可.
【小问1详解】
由题意可设圆的圆心的坐标为，圆的圆心在直线上，
，解得：，即圆心为，
圆心到直线距离为，设圆的半径为r，弦长为，
由已知
所以，所以圆的标准方程为；
【小问2详解】
设，则，
由得：，所以
D在圆上运动，
整理可得点T的轨迹方程为：
当直线轴时，轴平分，
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，
联立化简可得，
方程的判别式，
设，，，
若轴平分，则，所以，
又，，
所以，
所以，
所以
所以
解得，
当时，能使轴平分.
19.
【解析】
【分析】（1）由题意，结合椭圆的方程和离心率的公式求解即可；
（2）设出直线的方程和的坐标，联立曲线方程，得到韦达定理再结合向量的坐标运算求解即可；
（3）结合（2）中所求信息将和的表达式写出，再根据求解范围即可.
【小问1详解】
由椭圆方程可得，
所以椭圆的焦距，离心率；
【小问2详解】
不妨设直线的方程为，，
易知，
联立，消去并整理得，
，
由韦达定理可得，
若点在以线段为直径的圆上，
此时，即，
整理可得，即，
代入韦达定理，
整理得，解得，
因为当时，直线过椭圆的右顶点，不符合题意，舍去，
所以；
【小问3详解】
设，
由（2）得，，
因为，，
所以，
解得，
则，①
易知，
解得，
则，②
联立①②，可得，
因为，所以，
所以的取值范围.
