泸州市龙马潭区泸化中学高2023级高二上期半期考试
数学试题
一、单选题（共40分）
1.
【答案】B
2.
【答案】C
3.
【答案】A
4.
【答案】C
5.
【答案】D
6.
【答案】A
7.
【答案】A
8.
【答案】C
二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.
【答案】ACD
10.
【答案】ACD
11.
【答案】ACD
12.
【答案】AB
三、填空题（共20分）
13.
【解析】
14.
【答案】 ①. ②. 4
15.【答案】144
16.
【答案】3
四、解答题（共70分）
17.
【解析】
【分析】（1）利用两条直线垂直条件，结合两条直线的方程可得1×（m﹣2）+m×3＝0，由此求得m的值．
（2）利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得，由此求得得m 的值．
【详解】（1）∵直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，
由l1⊥l2 ，可得 1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．
（2）由题意可知m不等于0,
由l1∥l2 可得，解得 m＝﹣1．
18.
【解析】
【分析】（1）求出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程；
（2）将代入回归直线方程，即可得解.
【小问1详解】
解：由表格中的数据可得，
，
所以，，
，
所以，，，
所以，违章人数与月份之间的回归直线方程为.
【小问2详解】
解：当时，，
因此，预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为人.
19.
【解析】
【分析】（1）圆心在线段的中垂线上，又圆心在直线上，两方程联立可求出圆心坐标，进而得出半径，从而求出圆的方程；
（2）根据条件得直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，由弦长公式求出，则三角形面积可求.
【小问1详解】
设圆C的标准方程为，
∵线段的中垂线方程：，又圆心在直线上，
则，∴，即,
∴，
∴圆C的方程为；
【小问2详解】
由条件得直线l：，
圆心C到直线l的距离，
，
∴．
20.
【解析】
【分析】（1）利用向量坐标运算及相等向量，列式消去参数m作答.
（2）由给定条件，将双曲线方程化简为，再与点P的轨迹方程联立求出作答.
【小问1详解】
依题意，，而，则，消去m得：，
所以点P的轨迹方程是.
【小问2详解】
因双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，即，双曲线C的方程为，
由消去y并整理得：，设，，
则，，又以MN为直径的圆经过原点，即OM⊥ON，有，
而，
因此，，，解得，，
所以双曲线方程为.
21.
【解析】
【分析】（1）要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面；
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面OPM的一个法向量和平面AOP的一个法向量，利用，即可求解.
【小问1详解】
证明：
如图，延长OG交AC于点M.
因为G为△AOC的重心，所以M为AC的中点.
因为O为AB的中点，所以.
因为AB是圆的直径，所以，所以.
因为平面ABC，平面ABC，所以.
又平面PAC，平面PAC，，所以平面PAC.
即平面PAC.
又平面OPG，所以平面平面PAC.
【小问2详解】
以点C为原点，，，方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系C-xyz，
则，，，，，，
则，，，
平面OPG即为平面OPM，
设平面OPM的一个法向量为，
则
令，得.且
设平面AOP的一个法向量为，
则
令，得.且
设所求二面角的平面角为，
因为，
因为所求二面角为锐角，
所以二面角A-OP-G的余弦值为
22.
【解析】
【分析】（Ⅰ）由题意，得2b，，结合隐含条件即可求得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ），可知A（﹣3，0），B（3，0），F1（﹣1，0），求得F1M的方程为，记直线F1M与椭圆的另一交点为M′，设M（x1，y1）（y1＞0），M′（x2，y2），得N（﹣x2，﹣y2），联立直线方程与椭圆方程，求得M，N的坐标，代入斜率公式求解．
【详解】（Ⅰ）由题意，得，.
又，∴，，.
∴椭圆C的标准方程为.
（Ⅱ）
由（Ⅰ），可知，，.
据题意，直线的方程为.
记直线与椭圆的另一交点为，设，.
∵，根据对称性，得.
联立，消去，得.
∵，∴，.
∵，，
∴，即的值为0.泸州市龙马潭区泸化中学高2023级高二上期半期考试
数学试题
注意事项：
1.答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.试卷满分150分，考试时间150分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题（共40分）
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. 如果，那么下列不等式中成立的是（）
A. B. C. D.
3. 如果直线与直线垂直，那么的值为（）
A. B. C. D. 2
4. 若，，是空间中三个不同的平面，，，，则是的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 设，点为双曲线的左顶点，线段交双曲线一条渐近线于点，且满足，则该双曲线的离心率为
A B. C. D.
6. 若，满足约束条件，则的最小值为（）
A. B. C. D.
7. 已知直线，当原点O到l的距离最大时，l的方程为（）
A. B.
C. D.
8. 若圆：与圆：内切，则（）
A. 29 B. 9 C. D. 19
二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D. 当时，取得最小值
10. 已知左、右焦点分别是，的椭圆C：的离心率为e，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为P，则下列说法中正确的有（）
A. 的周长为4a
B. 若直线OP的斜率为，AB的斜率为，则
C. 若，则e的最小值为
D. 若，则e的最大值为
11. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，P为底面ABCD内（包括边界）一动点，则下列结论正确的是（）
A. 若直线∥平面，则点P的轨迹长度为
B. 若，则点P轨迹长度为
C. 过E，F，C的平面截该正方体所得截面为五边形
D. 若点P在棱BC上（不含端点），则过E，F，P平面截该正方体所得截面为六边形
12. 已知椭圆M：（）的左 右焦点分别为，，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从，，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个等边三角形，则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有（）
A. B. C. D.
三、填空题（共20分）
13. 在空间直角坐标系中给定点，则该点关于坐标平面对称点的坐标为_________．
14. 若双曲线的渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离是________，焦距为________．
15. 已知正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为，则表面积为______.
16. 已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是__________．
四、解答题（共70分）
17. 已知直线，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
18. 《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，其中第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
月份
违章驾驶员人数
参考公式：，
（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；
（2）预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
19. 已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为，．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l过原点且垂直直线，直线l交圆C于M，N，求的面积．
20. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点、，动点满足：．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹与双曲线C：交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，求双曲线C的方程．
21. 如图，点C在以AB为直径圆O上，PA垂直于圆O所在平面，G为△AOC的重心.
（1）求证：平面平面PAC；
（2）若，求二面角A-OP-G的余弦值.
22. 已知椭圆的短轴长为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）设椭圆的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，，点，，为椭圆上位于轴上方的两点，且，直线的斜率为，记直线，的斜率分别为，，求的值.
