（期末复习）苏教版六年级上册数学 第一单元长方体和正方体（知识梳理+解决问题）（含解析）

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苏教版六年级上册第一单元长方体和正方体（知识梳理+解决问题）
知识梳理
1、在长方体或正方体中，围成长方体或正方体的平面图形，叫作长方体或正方体的面；面和面相交的线段，叫作棱；棱和棱相交的点，叫作顶点。
2、①相同点:都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
②不同点:长方体的6个面都是长方形（也可能有2个相对的面是正方形）;一般情况下，棱有3组，每组4条棱长度相等。正方体的6个面是完全相同的正方形;每条棱的长度都相等。
3、物体所占空间的大小，是物体的体积。容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。
4、常见的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，分别记作厘米3、分米3和米3 。
5、常见的容积单位：毫升和升，分别用字母mL和L表示。
1升=1分米3(1 L=1 dm3)
1毫升=1厘米3(1 ml=1 cm3)
1升= 1000毫升(1 L= 1000 mL)
6、长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4。已知长方体的棱长总和及长、宽、高三项中的两项，求另外一项，用“棱长总和+4-已知的两项”。
7、正方体的棱长总和=棱长×12。已知正方体的棱长总和，求棱长，用“棱长总和÷12”。
8、正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的组合图形，并且相对的面完全隔开。长方体的展开图是由6个长方形(特殊情况下有2个正方形)组成的组合图形，相对的面完全相同且完全隔开。
9、由长方体或正方体的展开图判断哪两个面是一组相对的面，可以根据长方体或正方体展开图的特点去判断，也可以用实物折--折，直观地找一找。
10、长方体6个面的面积之和就是长方体的表面积。
11、长方体表面积的计算方法：
长方体的表面积=长×宽+长×宽+长×高+长×高+宽×高+宽×高=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=(长×宽+长×高+宽×高)×2
12、正方体的表面积=棱长×棱长×6
13、在解决有关长方体或正方体表面积的实际问题时，要根据实际情况确定需要计算的面的数量，有时不需要计算6个面的面积和。
14、长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。正方体的体积=棱长×棱长×
棱长，用字母表示为V=a3。长方体(正方体)的体积还可以用底面积×高来计算，如果体积用V表示，底面积用S表示，高用h表示，那么长方体(正方体)通用的体积计算公式用字母表示为V=Sh。
15、已知长方体的底面积、高、体积三个量中的任意两个量，可以求得第三个量。V= Sh；S=；h=
16、相邻体积单位或容积单位之间的进率是1000。体积单位、容积单位之间的换算，把高级单位化成低级单位要乘进率，把低级单位化成高级单位要除以进率。
17、在测量不规则物体的体积时，升高的那部分水的体积(或水满杯时溢出的水的体积)就相当于不规则物体的体积。
解决问题
一．解答题
1．一块长方体铁皮，长30厘米，宽25厘米，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后做成盒子．这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？
2．玲玲过生日，妈妈给她买了生日礼物，并用彩带捆扎了这个礼品盒，蝴蝶结处用去38厘米彩带，捆扎这个礼品盒一共用了多长的彩带？
3．3月8日是国际劳动妇女节，琪琪给妈妈买了一份礼物用礼盒包好。如图所示是用丝带捆扎好的礼盒（图中单位：厘米）。如果打结处需要25厘米，1.5米长的丝带捆扎这个礼盒够吗？
4．有一块长、宽的长方形铁皮，在它的四个角剪下边长为的正方形制作一个无盖的铁盒，这个铁盒最多能装多少升水？（铁皮厚度忽略不计）
5．用一根长的木条，做一个最大的正方体灯笼框架，如果在灯笼的表面糊上灯笼纸（上下都不糊），至少需要多少平方分米的灯笼纸？
6．一个长方体沿着它的高截去，就得到一个正方体，这时正方体的表面积比原长方体减少了，原来长方体的体积是多少立方分米？
7．一块正方体的石料，棱长8分米，这块石料重1843.2千克，每立方分米的石料重多少千克？
8．一个纸箱从里面量长、宽，容积是，小亮的爸爸想要把一个长、宽、高的烤箱装进去，能装下吗？通过计算来回答。
9．一个无水的鱼缸长62厘米、宽40厘米、高45厘米，里面放着一块高30厘米、体积为2400立方厘米的假山石，如果水管以每分钟9立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能将假山石完全淹没？
10．一个装有水的长方体容器，长20厘米，宽10厘米，高30厘米，一个体积为0.6立方分米的土豆全部没入水中后（未溢出），水面比原来升高了多少厘米？
11．妈妈做了一块长方体蛋糕胚，用与底面平行的方式从上部截去一部分蛋糕胚后，留下正方体蛋糕胚，这时表面积减少了160平方厘米，那么原来的长方体蛋糕胚的体积是多少立方厘米？
12．艺术节期间，要给台阶表面铺红地毯（如图），每节台阶大小一样，至少需要多大面积的红地毯？
13．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，如果注入130升水后，再竖直放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？
14．小明家有一个长方体形状的蚊帐（如图），蚊帐四周由钢管固定（地面的四边没有钢管）。固定这样一个蚊帐至少需要多长的钢管？
15．给学校运动会的领奖台的各个面都涂漆（底面不涂），需要涂漆的面积是多少平方厘米？如果每平方米的油漆需要75元，给这个领奖台涂漆一共需要多少钱？（单位：厘米）
16．一块方钢横截面是一个边长为3分米的正方形，长40分米，若每立方分米重7.8千克，这块方钢一共有多少千克？
17．一个长方体容器，从里面量，长为，宽为，高为，里面装了深的水。往这个容器里放入一块石头，石头完全浸没在水中，水深变为。这块石头的体积是多少立方厘米？
18．网购已经成为大家生活中常用的购物方式，为了防止物品破损，每个快递的包装都很严实。一个长、宽、高分别是、和的长方体快递箱，要在它的所有棱上粘一圈透明的胶带，至少需要多少厘米长的胶带？
19．一个长方体的容器，长，宽，高。先往里面加入一些水，水未溢出。再投入一个棱长的正方体铁块，容器中的水溢出了3升。则原来容器中的水深多少分米？
20．乐乐用一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的无盖的长方体玻璃容器做实验。他先往容器中倒入5厘米深的水，再把一块棱长4厘米的正方体铁块放入水中。
（1）做这个玻璃容器需要玻璃多少平方厘米？
（2）放入正方体铁块后，水会不会溢出来？你的判断结果是 　　溢出。（选填“会”或“不会” ，请用算式表示出判断的过程。
21．小聪与小明都爱喝“蒙牛”纯牛奶，妈妈为他们设计一个盒子，正好能放进两盒一样的“蒙牛”纯牛奶（如图），妈妈设计的盒子表面积是多少平方厘米？请画图表示妈妈可能怎样设计的？并用文字说明这样设计的理由。
22．把一个棱长为6分米的正方体铁块锻造成一个底面是12平方分米的长方体，这个长方体的高是多少分米？
23．一根2米长的长方体木料，底面是一个正方形，如果把这根木料截去80厘米，那么表面积就会减少320平方厘米，原来这根木料的体积是多少立方厘米？
24．有一块长方形铁皮，长40厘米，宽30厘米，在这块铁皮的四角各剪去一个边长是4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的容积是多少？
25．为迎接“五一”国际劳动节，工人叔叔要在工人俱乐部的四周装上彩灯（地面的四边不装）．已知工人俱乐部的长，宽，高，工人叔叔至少需要多长的彩灯线？
参考答案
一．解答题
1．【分析】由题意可知，做成的这个盒子的长是厘米，宽是厘米，高是5厘米．这个盒子所有铁皮的面积就是长30厘米，宽25厘米的长方形面积减去4个边长为5厘米的正方形面积，根据长方形面积计算公式“”、正方形面积计算公式“”即可求得这个盒子用了多少铁皮．根据长方体计算公式“”即可求得它和容积．
【解答】解：
（平方厘米）
（立方厘米）
答：这个盒子用了650平方厘米铁皮，它的容积是1500立方厘米．
【点评】此题是考查长方体表面积、体积的计算．关键是弄清题意，记住并会灵活运用相关计算公式．
2．【答案】212厘米。
【分析】观察图形可知，捆扎这个礼品盒一共需要彩带的长度条长条宽条高打结用的长度，据此解答。
【解答】解：
（厘米）
答：捆扎这个礼品盒一共用了212厘米长的彩带。
【点评】本题考查长方体棱长总和公式的实际应用，弄清是如何捆扎的，也就是弄清需要求哪些棱的长度之和。
3．【答案】够。
【分析】根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，由图形可知：需要彩带的长度等于2条长条高条宽打结用的25厘米，然后与1.5米比较解答即可。
【解答】解：
（厘米）
1.5米厘米
答：1.5米长的丝带捆扎这个礼盒够。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和的计算方法。
4．【答案】6升。
【分析】由题意可知，所制成的长方体盒子的长是厘米，宽是厘米，高是5厘米，根据长方体的容积公式：，把数据代入公式解答，注意单位换算。
【解答】解：
（立方厘米）
6000立方厘米立方分米升
答：这个铁盒子最多能装6升水。
【点评】此题主要考查长方体的体积公式及其计算，关键要理解长方体盒子的长与宽。
5．【答案】36平方分米。
【分析】根据题意，木条的长度就是求正方体的棱长总和，根据长方体的棱长总和棱长，先求出灯笼的棱长，求需要彩纸的面积就是求正方体的表面积，正方体的表面积棱长棱长（上下都不糊），把数据分别代入公式解答。
【解答】解：
（平方分米）
答：至少需要36平方分米的灯笼纸。
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用。
6．【答案】200立方分米。
【分析】运用60除以高即可得到底面周长，再除以4求出底面边长，最后根据求出原来长方体的体积。
【解答】解：
（分米）
（立方分米）
答：原来长方体的体积是200立方分米。
【点评】本题是一道有关长方体、正方体表面积的计算的题目；长方体体积公式的应用。
7．【答案】3.6千克。
【分析】根据正方体的体积计算公式“”即可求出这块正方体石料有多少立方分米，再运用石料的总重量除以即可得到答案。
【解答】解：
（千克）
答：每立方分米的石料重3.6千克。
【点评】此题主要考查正方体的体积公式的实际应用。
8．【答案】不能装下。
【分析】利用纸箱的体积、长和宽，计算纸箱的高，与长方体烤箱的长、宽、高相比较，即可得出结论。
【解答】解：52.5立方分米立方厘米
（厘米）
答：不能装下。
【点评】本题主要考查长方体体积公式的应用。
9．【答案】8分钟。
【分析】长方体体积长宽高，据此求出和假山石同高度的、长62厘米、宽40厘米的长方体的体积。将这个体积减去假山石的体积，求出淹没假山石至少需要的水的体积。将水的体积除以9立方分米，求出需要几分钟。
【解答】解：
（立方厘米）
72000立方厘米立方分米
（分钟）
答：至少需要8分钟才能将假山石完全淹没。
【点评】本题考查了长方体的体积，熟记长方体的体积公式是解题的关键。
10．【答案】水面比原来升高了3厘米。
【分析】土豆体积是水面升高的体积，土豆体积长方体容器底面积水面升高的高度，据此列式解答。
【解答】解：0.6立方分米立方厘米
（厘米）
答：水面比原来升高了3厘米。
【点评】关键是利用转化思想，将不规则物体的体积转化为长方体进行计算。
11．
【分析】根据题意可知：求原来的长方体蛋糕胚的体积，必须知道原来长方体的长、宽和高各是多少；从截去一部分蛋糕胚后，留下正方体蛋糕胚，可知原来长方体的长和宽相等，表面积减少了160平方厘米，实际上减少了前后左右4个面的面积，这4个面的面积相等，用160除以4即可得到一个面的面积，再除以5得到长方体的长和宽，加是5厘米就是原来长方体的高，然后利用长方体的体积公式进行计算即可。
【解答】解：
（厘米）
（厘米）
（立方厘米）
答：原来的长方体蛋糕胚的体积是832立方厘米。
【点评】此题主要考查了长方体的体积公式的灵活运用，关键是求出原来长方体的长、宽、高。
12．【答案】7.5平方米。
【分析】观察图可知，把台阶通过平移可以得到一个长3米高2米，宽1.5米的长方体，求需要多大面积的红地毯，实际上是求长方体的上面一个面的面积和右面一个面的面积的和，根据公式列式解答即可。
【解答】解：
（平方米）
答：至少需要7.5平方米的红地毯。
【点评】本题主要考查了长方体的每个面的面积的计算，要掌握平移的方法，并能灵活运用面积公式。
13．【答案】2升。
【分析】根据正方体的体积公式：，据此求出铁块的体积，将铁块体积和原来水的体积相加，再减去玻璃缸的体积即可得出溢出的水的体积。
【解答】解：130升立方分米
（立方分米）
（升
答：缸里的水会溢出2升。
【点评】本题考查长方体和正方体的体积，熟记公式是解题的关键。
14．【答案】13.2米。
【分析】固定这样一个蚊帐至少需要2根、2根与4根长的钢管。据此计算解答。
【解答】解：
答：固定这样一个蚊帐至少需要13.2米长的钢管。
【点评】本题主要考查有关长方体、正方体棱长总和的计算、小数的加、减、乘混合运算。
15．【答案】33280平方厘米；249.6元。
【分析】观察图形可知，从前面看，如下图：
将图形分成三个长方形，然后分别计算这三个长方形的面积，再相加，即可求出前面的面积；
从左面看，如下图：
根据长方形的面积公式，代入数据求出左面的面积；
从上面看，如下图：
根据长方形的面积公式，代入数据求出上面的面积；
最后用前面的面积左面的面积上面的面积即可求出这个立体图形的表面积；然后把表面积化为平方米作单位，如果每平方米的油漆需要75元，根据单价数量总价，用表面积乘75即可求出涂漆需要多少钱。
【解答】解：前、后面的面积：
（平方厘米）
左、右面的面积：
（平方厘米）
上面的面积：
（平方厘米）
（平方厘米）
33280平方厘米平方米
（元
答：一共需要249.6元。
【点评】本题考查了长方体的表面积公式及单价、数量、总价之间的关系。
16．【答案】2808千克。
【分析】根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出方钢的体积，然后再乘每立方分米钢的质量即可。
【解答】解：
（千克）
答：这块方钢一共有2808千克。
【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
17．【答案】640立方厘米。
【分析】根据题意可知，这块石头的体积与水面上升的体积相等。根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。
【解答】解：
（立方厘米）
答：这块石头的体积是640立方厘米。
【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
18．【答案】752厘米。
【分析】根据长方体的棱的特征，12条棱中互相平行的一组4条棱的长度相等，它的棱长总和（长宽高）；由此解答。
【解答】解：
（厘米）
答：至少需要752厘米长的胶带。
【点评】此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法，明确长方体的长宽高各有4条。
19．【答案】3.5分米。
【分析】根据正方体的体积公式：，把数据代入公式求出正方体铁块的体积，用铁块的体积减去溢出水的体积，再除以长方体容器的底面积求出水面上升的高，然后用容器的高减去水面上升的高就是原来的水深。
【解答】解：
（分米）
答：原来容器中的水深3.5分米。
【点评】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
20．【答案】（1）236平方厘米；
（2）会。
【分析】（1）根据无盖长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。
（2）根据正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，把数据代入公式求出正方体铁块的体积，容器内无水部分的体积，然后进行比较，如果铁块的体积小于或等于容器内无水部分的体积，水就不会溢出，否则水就会溢出。
【解答】解：（1）
（平方厘米）
答：做这个玻璃容器需要玻璃236平方厘米。
（2）（立方厘米）
（立方厘米）
答：水会溢出。
故答案为：会。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
21．【答案】
397.4平方厘米，将牛奶盒两个最大的面重合，得到的长方体的表面积最小，制成的盒子最省材料。
【分析】根据题意，妈妈设计的盒子可能是一个长为6.2厘米、宽为厘米，高为10.5厘米的长方体，据此解答。
【解答】解：
（平方厘米）
答：妈妈设计的盒子表面积是397.4平方厘米。
将牛奶盒两个最大的面重合，得到的长方体的表面积最小，制成的盒子最省材料。
【点评】解答本题需熟练掌握长方体的表面积公式。
22．【分析】首先根据正方体的体积公式：，求出铁块的体积，然后用铁块的体积除以长方体的底面积即可．据此解答．
【解答】解：
（分米），
答：这个长方体的高是18分米．
【点评】此题主要考查正方体、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
23．【分析】根据题意可知：把这根木料截去80厘米，那么表面积就会减少320平方厘米，表面积减少的4个侧面的面积，又知原来长方体的底面是一个正方形，由此可知，减少的4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以4即可求出减少的一个面的面积，面积除以长厘米），即可求出原来长方体的底面边长，然后根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答．
【解答】解：2米厘米，
（厘米），
（立方厘米），
答：原来这根长方体木料的体积是200立方厘米．
【点评】此题解答关键是求出原来长方体的底面边长，根据长方体的体积公式解答即可．
24．【分析】根据题意可知：所焊接的长方体盒子的长是厘米，宽是厘米，高是4厘米，根据长方体的容积公式：，把数据代入公式解答．
【解答】解：
（立方厘米），
答：这个长方体盒子的容积是2816立方厘米．
【点评】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式．
25．【分析】俱乐部是个长方体，要求的是两个长和两个宽和四个高的和（即棱长总和地面的两个长和两个宽）；
【解答】解：，
，
；
答：工人叔叔至少需要370米的彩灯线．
【点评】此题应根据题意，结合长方体的棱长总和的计算进行解答即可．
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