第2课时 利用反比例函数解决有关物理问题
利用物理公式建立反比例函数模型
1.(2024保定高碑店期末)已知闭合电路的电压U(单位:V)为定值,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)呈反比例函数关系.下列能反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是 ( )
A. B.
C. D.
2.在对某物体做功一定的情况下,力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系,其图象如图所示.当s<30时,F的取值范围是 .
3.(2024福州期末)某气球内充满一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,其图象如图所示.当气球内的气压大于160 kPa时,气球将爆炸,为了安全起见,气体的体积V的取值范围为 .
4.如图,一块砖的A,B,C三个面的面积之比是1∶5∶3.如果A,B,C三个面分别向下放在地上,地面所受压强分别为p1,p2,p3,压强的计算公式为p=,其中p是压强,F是压力,S是受力面积,则p1,p2,p3的大小关系为 .(用“<”连接)
5.科学课上,同学们用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时,浸在液体中的高度h(cm)是液体的密度ρ(g/cm3)的反比例函数,如图是该反比例函数的图象,且ρ>0.
(1)求h关于ρ的函数解析式.
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时,h=25 cm,求该液体的密度ρ.
1.密闭容器内有一定质量的气体,当容器的体积V(单位:m3)变化时,气体的密度ρ(单位:kg/m3)随之变化.已知密度ρ与体积V是反比例函数关系,它的图象如图所示.下列说法正确的是 ( )
A.函数解析式为ρ= B.容器内气体的质量是5 kg
C.当ρ≤8 kg/m3时,V≥1.25 m3 D.当ρ=4 kg/m3时,V=3 m3
2.某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤:制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻R1(Ω)(如图1),当人站上踏板时,通过电压表显示的读数U0换算为人的质量m(kg),已知U0随着R1的变化而变化(如图2),R1与踏板上人的质量m的关系见图3.下列说法不正确的是 ( )
图1 图2
信息窗
R1与m之间满足
R1=-2m+240(0≤m≤120)
图3
A.在一定范围内,U0越大,R1越小
B.当U0=3 V时,R1的阻值为50 Ω
C.当踏板上人的质量为90 kg时,U0=2 V
D.若电压表量程为0~6 V(0≤U0≤6)时,为保护电压表,该电子体重秤可称的最大质量是115 kg
3.(2024嘉峪关期末)图1是一个亮度可调节的台灯,其灯光亮度的改变,可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例函数,其图象如图2所示,该图象经过点P(880,0.25).根据图象可知,当880
图1 图2
4.如图1,将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上,按不同的方式摆放,记录桌面所受压强p(Pa)与受力面积S(m2)的关系如下表所示(与长方体A相同重量的长方体均满足此关系).
桌面所受压强p/Pa 100 200 400 500 800
受力面积S/m2 2 1 0.5 0.4 a
(1)根据数据,求桌面所受压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数解析式及a的值.
(2)现想将另一长、宽、高分别为0.2 m,0.1 m,0.3 m,且与长方体A相同重量的长方体按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上.若该玻璃桌面能承受的最大压强为5 000 Pa,请你判断这种摆放方式是否安全 并说明理由.
图1 图2
5.(模型观念)【背景】在一次物理实验中,小冉同学用一固定电压为12 V的蓄电池,通过调节滑动变阻器来改变电流大小,完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL=2 Ω)亮度的实验(如图1),已知串联电路中,电流与电阻R、RL之间的关系为I=,通过实验得出如下数据:
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
(1)a= ,b= .
(2)【探究】根据以上实验,构建出函数y=(x≥0),结合表格信息,探究函数y=(x≥0)的图象与性质.
①在图2平面直角坐标系中画出对应函数y=(x≥0)的图象.
②随着自变量x的不断增大,函数值y的变化趋势是 .
(3)【拓展】结合(2)中函数图象分析,当x≥0时,≥-x+6的解集为 .
图1 图2
【详解答案】
课堂达标
1.D 解析:∵电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,R,I均大于0,∴反映电流I与电阻R之间函数关系的图象是D选项.故选D.
2.F>12 解析:由题意,设反比例函数的解析式为F=(k≠0).将点(10,36)代入上式,得k=360.∴反比例函数的解析式为F=.当s=30时,F==12,∴由题图可知,当s<30时,F>12.
3.V≥0.6 解析:设反比例函数的解析式为p=(k≠0).由题图可知,反比例函数经过点A(0.8,120),∴k=0.8×120=96.∴反比例函数的解析式为p=.∴在第一象限内,p随V的增大而减小.当p=160时,V==0.6.∵气球内的气压大于160 kPa时,气球将爆炸,∴p≤160,此时V≥0.6.∴气体的体积V的取值范围为V≥0.6.
4.p20.∵p=,∴p随S的增大而减小.∵A,B,C三个面的面积比是1∶5∶3,∴p1,p2,p3的大小关系是p25.解:(1)设h关于ρ的函数解析式为h=(k≠0).
当ρ=1,h=20时,
k=1×20=20.
∴h关于ρ的函数解析式为h=(ρ>0).
(2)把h=25代入h=(ρ>0),得25=.
解得ρ=0.8.
∴该液体的密度ρ为0.8 g/cm3.
课后提升
1.C 解析:设ρ=(k≠0).将点(2,5)代入ρ=,得5=.解得k=10.∴函数解析式为ρ=,故A选项错误,不符合题意;容器内气体的质量为10 kg,故B选项错误,不符合题意;将ρ=8代入ρ=得V=1.25.∴当ρ≤8 kg/m3时,V≥1.25 m3,故C选项正确,符合题意;将ρ=4 kg/m3代入ρ=,得V=2.5 m3,故D选项错误,不符合题意.故选C.
2.C 解析:∵题图2中U0随R1的增大而减小,∴在一定范围内,U0越大,R1越小.A正确,不符合题意;∵题图2中的图象经过点(50,3),∴当U0=3 V时,R1的阻值为50 Ω.B正确,不符合题意;∵当m=90时,R1=-2m+240=60(Ω),当U0=2 V时,对应的是90 Ω,C错误,符合题意;∵R1=-2m+240,∴R1随m的增大而减小.∵0≤U0≤6,∴R1的最小值为10.令-2m+240=10,则m=115,∴m的最大值为115.∴若电压表量程为0~6 V(0≤U0≤6)时,为保护电压表,该电子体重秤可称的最大质量是115 kg.D正确,不符合题意.故选C.
3.0.224.解:(1)由题中表格可知,压强p与受力面积S的乘积不变,故压强p是受力面积S的反比例函数,
设p=(k≠0).将点(400,0.5)代入,
得0.5=.解得k=200.∴p=.
当p=800时,800=,
∴a=0.25.
∴桌面所受压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数解析式为p=,a=0.25.
(2)这种摆放方式不安全.理由如下:
由题图2可知,S=0.1×0.2=0.02(m2),
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上,
p==10 000.
∵10 000>5 000,
∴这种摆放方式不安全.
5.解:(1)2 1.5
(2)①根据表格数据描点:(1,4),(2,3),(3,2.4),(4,2),(6,1.5),在平面直角坐标系中画出对应函数y=(x≥0)的图象如图所示:
②不断减小
(3)x≥2或x=026.2 实际问题与反比例函数
第1课时 利用反比例函数解决实际生活中的问题
反比例函数的实际应用
1.(2024延安宝塔区期末)某中学要在校园内划出一块面积是100 m2的矩形土地做花园,设这个矩形相邻两边长分别为x m和y m,那么y关于x的函数解析式为 ( )
A.y=100x B.y=100-x
C.y=50-x D.y=
2.甲、乙两地相距100 km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶的时间t(单位:h)与行驶速度v(单位:km/h)之间的函数图象是 ( )
A. B.
C. D.
3.小明要把一篇文章录入电脑,所需时间y(min)与录入文字的速度x(字/min)之间的函数关系如图所示.如果小明要在7 min内完成录入任务,那么他录入文字的速度至少为 字/min.
4.如图,一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)的图象为双曲线的一段.若这段公路行驶速度不得超过80 km/h,则该汽车通过这段公路最少需要 h.
5.《城镇污水处理厂污染物排放标准》中硫化物的排放标准为1.0 mg/L.某污水处理厂在自查中发现,所排污水中硫化物浓度超标,因此立即整改,并开始实时监测.据监测,整改开始第60 h时,所排污水中硫化物的浓度为5 mg/L;从第60 h开始,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)是监测时间x(h)的反比例函数,其图象如图所示.
(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)按规定所排污水中硫化物的浓度不超过0.8 mg/L时,才能解除实时监测,此次整改实时监测的时间至少要多少小时
1.(2024葫芦岛连山区期末)某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物试验,首次用于临床人体试验,测得成人服药后血液中药物浓度y(μg/mL)与服药时间x(h)之间的函数关系如图所示.血液中药物浓度不低于4 μg/mL的持续时间为 ( )
A.4 h B.6 h C.8 h D.10 h
2.(2024郑州期末)科技承载梦想,创新始于少年.某校科技社团的学生制作了一艘轮船模型,实验过程中他们发现在某段航行过程中轮船模型的牵引力F(N)是其速度v(m·s-1)的反比例函数,其图象如图所示.下列说法不正确的是 ( )
A.该段航行过程中,F随v的增大而减小
B.当F>10 N时,v>2 m·s-1
C.该段航行过程中,函数解析式为F=
D.当v=8 m·s-1时,F=2.5 N
3.(2024迁安期末)如图是4个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是1和2,每个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1~4的整数),函数y=(x>0)的图象为曲线L.
(1)若曲线L过点T1时,k= .
(2)若曲线L使得T1~T4这些点分布在它的两侧,每侧各2个点,则k的取值范围是 .
4.某品牌热水器中,原有水的温度为20 ℃,开机通电,热水器启动开始加热,加热过程中水温y(℃)与开机时间x(min)满足一次函数关系,当加热到80 ℃时自动停止加热,随后水温开始下降,水温下降过程中水温y(℃)与开机时间x(min)成反比例函数关系.当水温降至30 ℃时,热水器又自动以相同的功率加热至80 ℃,…….重复上述过程,如图,根据图象提供的信息,则:
(1)当0≤x≤15时,水温y(℃)与开机时间x(min)的函数解析式为 .
(2)当水温为30 ℃时,t= .
(3)通电60 min时,热水器中水温y为 .
5.(应用意识)心理学家研究发现,一般情况下,一节课40 min中,学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力较为稳定,随后学生的注意力开始分散.经过试验分析可知,学生的注意力指标数y随时间x(min)的变化规律如图所示(其中AB,BC分别为线段,CD为双曲线的一部分).
(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)开始上课后第5 min时与第30 min时相比较,何时学生的注意力更集中
(3)一道数学竞赛题,需要讲19 min,为了效果较好,要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目 说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.D 解析:∵某中学要在校园内划出一块面积是100 m2的矩形土地做花园,设这个矩形相邻两边长分别为x m和y m.∴y关于x的函数解析式为xy=100,即y=.故选D.
2.D 解析:根据题意,得100=v·t.∴t=.故v与t之间是反比例函数关系,其图象在第一象限.故选D.
3.200 解析:设y与x之间的函数解析式为y=(k≠0).把点(140,10)代入y=,得10=.∴k=1 400.∴y与x之间的函数解析式为y=.当y=7时,=7,解得x=200.
∵k=1 400>0,
∴在第一象限内,y随x的增大而减小.∴小明录入文字的速度至少为200字/min.
4. 解析:设双曲线的解析式为t=(k≠0).∵点A(40,1)在双曲线上,∴1=.∴k=40.∴双曲线的解析式为t=.当v=80时,t=,∴当v≤80时,t≥,即该汽车通过这段公路最少需要 h.
5.解:(1)设y与x之间的函数解析式为y=(k≠0).根据题意,得k=xy=60×5=300.∴y与x之间的函数解析式为y=.
(2)当y≤0.8时,≤0.8.
∴x≥375.
∴此次整改实时监测的时间至少要375 h.
课后提升
1.B 解析:当0≤x<4时,设直线的解析式为y=kx(k≠0).将点(4,8)代入,得8=4k.解得k=2.∴直线的解析式为y=2x.当x≥4时,设反比例函数的解析式为y=(a≠0).将点(4,8)代入,得8=.解得a=32.∴反比例函数的解析式y=.当0≤x<4时,令y=4,则x=2;当x≥4时,令y=4,则x==8.∴8-2=6(h).故选B.
2.B 解析:A.根据图象可知,F·v是定值,F随v的增大而减小,选项正确,不符合题意;B.当F>10 N时,v<2 m·s-1,选项错误,符合题意;C.根据图象可知,函数解析式为F=,选项正确,不符合题意;D.当v=8 m·s-1时,F==2.5 N,选项正确,不符合题意.故选B.
3.(1)8 (2)8(2)当函数y=(x>0)过点T1(2,4)和点T4(8,1)时,k=8,当函数y=(x>0)过点T2(4,3)和点T3(6,2)时,k=12,∴若曲线L使得T1~T4这些点分布在它的两侧,每侧各2个点时,k的取值范围是84.(1)y=4x+20 (2)40 (3) ℃
解析:(1)当0≤x≤15时,设直线的解析式为y=kx+b(k≠0).将点(0,20),(15,80)代入,得
解得
∴水温y(℃)与开机时间x(min)的函数解析式为y=4x+20.
(2)当水温第一次下降时,设反比例函数的解析式为y=(m≠0).
将点(15,80)代入,得m=15×80=1 200.
∴反比例函数的解析式为y=.
当y=30时,30=,
解得x=40.∴t=40.
(3)当y=30时,y=4x+20=30,
解得x=2.5.
∴从30 ℃加热到80 ℃所需要的时间为15-2.5=12.5(min);从80 ℃降温到30 ℃所需要的时间为40-15=25(min).
∴40+12.5=52.5(min),
60-52.5=7.5(min)<25 min.
∴当通电60 min时,处于降温过程,其温度相当于第一次降温7.5 min时的温度.
将x=15+7.5=22.5代入y=,
得y=(℃).
5.解:(1)当0≤x<10时,设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20(k1≠0),
把点B(10,40)代入,得k1=2.
∴y1=2x+20.
当10≤x<25时,y2=40.
当x≥25时,
设点C,D所在双曲线的解析式为y3=(k3≠0).
把点C(25,40)代入,得k3=1 000.
∴y3=.
∴y与x之间的函数解析式为
y=
(2)当x=5时,y1=2×5+20=30,
当x=30时,y3=.
∵y1∴第30 min时学生的注意力更集中.
(3)能.理由如下:
令y1=36,∴36=2x+20.∴x=8.
令y3=36,∴36=.
∴x=≈27.8.
∵27.8-8=19.8(min)>19 min,
∴经过适当安排,老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.