第2课时 相似三角形的判定定理1,2
三边成比例的两个三角形相似
1.把△ABC经过下列变形,与△ABC相似的是 ( )
A.各边长都加2 B.各边长都减2
C.各边长都乘2 D.各边长都平方
2.(2024保定期中)已知△ABC的三边长分别是1,,,与△ABC相似的三角形的三边长可能是 ( )
A.,2, B.,1, C.1,, D.,1,
3.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的5×8的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在网格的格点上.
求证:△ABC∽△EFD.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
4.如图,在△ABC与△ADE中,∠BAC=∠D,要使△ABC与△ADE相似,还需满足下列条件中的 ( )
A. B. C. D.
5.如图,每个小正方形的边长均为1,则图中的三角形与△ABC相似的是 ( )
A.△FBE B.△BED C.△DFE D.△ABE
6.(2024石家庄裕华区期中)如图,在4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则在网格图中的三角形与△ABC相似的是 ( )
A. B.
C. D.
7.如图,已知=k,请再添加一个条件,使△ABC∽△ACD,你添加的条件是 .
(写出一个即可)
8.(2024唐山月考)如图,AB∥CD,AC与BD交于点E,且AB=6,AE=3,AC=12.
(1)求CD的长.
(2)求证:△ABE∽△ACB.
1.如图,A,B,C,D,E,G,H,M,N都是方格中的格点(即小正方形的顶点),要使△DEF与△ABC相似,则点F应是点G,H,M,N中的 ( )
A.H或N B.G或H C.M或N D.G或M
2.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=10,P是AD上的一个动点,若以点A,P,B为顶点的三角形与△PDC相似,则满足条件的点P的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2024南昌期末)如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4,BD=14.点P在BD上移动,当以点P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时,则PB的长为 .
4.如图,,那么△ABD与△BCE相似吗 为什么
5.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且CD2=AC·DB.
(1)求证:△ACP∽△PDB.
(2)求∠APB的度数.
6.(抽象能力)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,BC=12,有两动点P,Q分别在边AB,BC上运动,点P的速度为每秒1个单位长度,点Q的速度为每秒2个单位长度,它们分别从点A和点B同时出发,点P沿线段AB按A→B方向向终点B运动,点Q沿线段BC按B→C方向向终点C运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动时间为t s,请解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ∥AC
(2)当t为何值时,以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似
【详解答案】
课堂达标
1.C 解析:△ABC的边长分为AB,BC,AC,将△ABC的各边长都乘2后的三角形的各边长为2AB,2BC,2AC,∵,∴两个三角形相似.故选C.
2.A 解析:∵1∶∶2∶,∴与△ABC相似的三角形三边长是选项A中的数据.选项B、C、D中的数据之比都不等于1∶.故选A.
3.证明:由题图知,AB=5,DE=2,
根据勾股定理,得AC=,BC=,EF=,DF=.
∴,,.
∴.
∴△ABC∽△EFD.
4.C 解析:∵∠BAC=∠D,,∴△ABC∽△DEA.故选C.
5.B 解析:由题意,得∠BDE=90°+45°=135°,∠ACB=90°+45°=135°.BD=1,DE=,BC=2,AC=.
∵,,∴.又∵∠BDE=∠ACB,∴△BED∽△ABC.故选B.
6.C 解析:根据勾股定理,得BC=,AC=,AB==2.∴BC2+AB2=AC2.∴△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°.∴夹直角的两边的比为=2.观察各选项,只有C选项中的三角形与△ABC相似.故选C.
7.∠BAC=∠CAD 解析:添加∠BAC=∠CAD,
∵=k,∠BAC=∠CAD,
∴△ABC∽△ACD.
8.解:(1)∵AE=3,AC=12,
∴CE=AC-AE=12-3=9.
∵AB∥CD,∴△CDE∽△ABE.
∴.
∴CD==18.
(2)证明:∵,,
∴.
∵∠A=∠A,
∴△ABE∽△ACB.
课后提升
1.C 解析:设小正方形的边长为1,则△ABC的各边长分别为3,,,当点F是点M或点N时,其各边长分别是6,2,2,与△ABC各边对应成比例.故选C.
2.C 解析:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC=3,AD=BC=10,∠A=∠D=90°.设AP=x,则DP=AD-AP=10-x.若Rt△APB∽Rt△DPC.∴,即.解得x=5.若Rt△APB∽Rt△DCP.∴,即.解得x=1或x=9.∴当AP=1或AP=5或AP=9时,以点A,P,B为顶点的三角形与△PDC相似,即这样的点P有3个.故选C.
3.8.4或2或12 解析:设DP=x,则BP=BD-DP=14-x.∵AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,∴∠B=∠D=90°.当时,△ABP∽△CDP,即,解得x=5.6.∴BP=14-5.6=8.4.当时,△ABP∽△PDC,即;整理,得x2-14x+24=0.解得x1=2,x2=12.BP=14-2=12或BP=14-12=2.∴当BP为8.4或2或12时,以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似.
4.解:相似.理由如下:
∵,
∴△ABC∽△DBE.
∴∠ABC=∠DBE.
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC,
即∠ABD=∠CBE.
∵,
∴.
∴△ABD∽△CBE.
5.解:(1)证明:∵△PCD是等边三角形,
∴PC=PD=CD,∠PCD=∠PDC=60°.
∴∠PCA=∠BDP.
∵CD2=AC·DB,
∴PD·PC=AC·DB,即.
∵∠PCA=∠BDP,
∴△ACP∽△PDB.
(2)∵△ACP∽△PDB,
∴∠APC=∠B.
∵∠PDC=∠B+∠BPD=60°=∠CPD,
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=60°+∠B+∠BPD=60°+60°=120°.
6.解:(1)当PQ∥AC时,△BPQ∽△BAC,
∴.
∵AB=AC=10,BC=12.
∴AP=t,BP=10-t,BQ=2t.
∴.
解得t=.
∴当t= s时,PQ∥AC.
(2)∵BP=10-t,BQ=2t,∠ABC =∠PBQ.
当△QBP∽△ABC时,,
即,解得t=.
当△PBQ∽△ABC时,
由(1)可得t=.
∴当t=或时,以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似.第3课时 相似三角形的判定定理3
两角分别相等的两个三角形相似
1.下列各组图形一定相似的是 ( )
A.有一个角相等的等腰三角形
B.有一个角相等的直角三角形
C.有一个角是100°的等腰三角形
D.有一个角是对顶角的两个三角形
2.如图,已知∠1=∠2=∠3,图中有 对相似三角形.
3.(2024广州越秀区开学)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,∠BDE+∠C=180°.
求证:△ADE∽△ACB.
直角三角形相似的判定
4.如图,在△ABC中,高BD,CE相交于点F,图中与△BEF相似的三角形共有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图,在正方形ABCD中,E是边CD的中点,P是边BC上一点,要依据“两边成比例且夹角相等”判定△ABP∽△ECP,还需添加的一个条件是 .
6.(2024赣州期末)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高.
求证:△ACD∽△ABC.
1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,DE∥BC,连接CE交BD于点O,则图中与△ABC相似的三角形有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
2.如图,直线y=x-1与x轴交于点A,与y轴交于点B,在第一象限内找点C,使△AOC与△AOB相似,则共能找到的点C的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,AB是半圆O的直径,D,E是半圆上任意两点,连接AD,DE,AE与BD相交于点C,要使△ADC与△ABD相似,可以添加一个条件.下列添加的条件错误的是 ( )
A.∠ACD=∠DAB B.AD=DE C.AD2=BD·CD D.CD·AB=AC·BD
4.如图,直线AB分别与两坐标轴交于点A(4,0),B(0,8),点C的坐标为(2,0).在线段AB上有一动点P,连接CP,当AP为 时,△ACP与△AOB相似.
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB上的一点,DE⊥AB交BC于点E,M,N分别是AC,BC上的点,且DN⊥DM.求证:△NDE∽△MDA.
6.四边形ABCD内接于☉O,直径AC与弦BD交于点E,直线PB与☉O相切于点B.
(1)如图1,若∠PBA=30°,且EO=EA,求证:BA平分∠PBD.
(2)如图2,连接OB,若∠DBA=2∠PBA,求证:△OAB∽△CDE.
图1 图2
7.(几何直观)如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过点P作PF⊥AE于点F,设PA=x.
(1)求证:△PFA∽△ABE.
(2)若以点P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似,求x的值.
(3)试求当x取何值时,以点D为圆心,DP长为半径的☉D与线段AE只有一个公共点.
【详解答案】
课堂达标
1.C 解析:A.若一个等腰三角形的底角和另一个等腰三角形的顶角相等,无法判定两个三角形相似,故本选项错误;B.两个直角三角形中直角相等,则两锐角的大小无法确定,无法判定两个三角形相似,故本选项错误;C.一个角为100°,则这个角必须是顶角,且两底角度数为40°,故两个三角形三内角均相等,即可判定两个三角形相似,故本选项正确;D.对顶角相等的三角形中,其他两个角的度数不确定,故无法判定两个三角形相似,故本选项错误,故选C.
2.4 解析:∵∠A=∠A,∠1=∠2,
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A=∠A,∠1=∠3,
∴△ADE∽△ACD.
∴△ABC∽△ACD.
∵∠1=∠2,
∴DE∥BC.
∴∠DCB=∠EDC.
∵∠2=∠3,
∴△BDC∽△CED.
∴图中有4对相似三角形.
3.证明:∵∠BDE+∠C=180°,∠ADE+∠BDE=180°,
∴∠ADE=∠C.
又∵∠A为公共角,
∴△ADE∽△ACB.
4.C 解析:∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BDA=∠BDC=∠CEA=∠CEB=90°.
∵∠FBE=∠ABD,
∴△FBE∽△ABD.
∵∠BFE=∠CFD,
∴△BFE∽△CFD.
∵∠FCD=∠ACE,
∴△CFD∽△CAE.
∴△BFE∽△CAE.
综上所述,图中与△BEF相似的三角形为△BAD,△CFD,△CAE,共3个.故选C.
5.BP=2CP 解析:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°.AB=CD.∴当AB∶EC=BP∶CP时能得到△ABP∽△ECP.又∵E是CD的中点,∴CE=CD=AB.∴AB=2CE.∴BP=2CP,即P为BC的三等分点.
6.证明:∵CD是斜边AB上的高,
∴∠ADC=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ADC=∠ACB.
∵∠DAC=∠CAB,
∴△ACD∽△ABC.
课后提升
1.A 解析:∵DE∥BC,∴△AED∽△ABC.∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)=72°.又∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠OBE=36°=∠A,∠ACB=∠ABC=∠CDO=∠CEB=
∠BOE=∠COD=72°.∴△AED∽△BCD∽△CBE∽△BOE∽△COD∽△ABC.∴有5个三角形与△ABC相似.故选A.
2.D 解析:如图,
∵点C在第一象限,∴当点C为直角顶点时,有两种情形,当点A为直角顶点时,也有两种情形,共有4种情形.故选D.
3.D 解析:由题图可知,∠ADC=∠BDA,
A.∵∠ACD=∠BAD,
∴△ADC∽△BDA.故A选项正确;
B.∵AD=DE,
∴.
∴∠DAE=∠DBA.
∴△ADC∽△BDA.故B选项正确;
C.∵AD2=BD·CD,
∴AD∶BD=CD∶AD.
又∵∠ADC=∠BDA,∴△ADC∽△BDA.故C选项正确;
D.∵CD·AB=AC·BD,
∴CD∶AC=BD∶AB.
但∠ACD=∠ABD不是对应夹角,故D选项错误.故选D.
4.2或 解析:∵点A(4,0).B(0,8),C(2,0),
∴OA=4,OB=8,OC=2.
∴AC=4-2=2,AB==4.
①如图,当CP∥OB时,
∵CP∥OB,
∴△ACP∽△AOB.
∴,
即.
∴AP=2.
②如图,当CP⊥AB时,
∵∠APC=∠AOB=90°,∠PAC=∠OAB,
∴△APC∽△AOB.
∴,
即.
∴AP=.
综上所述,当AP为2或时,△ACP与△AOB相似.
5.证明:∵DE⊥AB,DN⊥DM,
∴∠NDM=∠EDA=90°.
∴∠NDE=∠MDA.
∵∠C=90°,
∴∠C+∠EDA=180°.
∴∠DEC+∠A=180°.
∵∠DEC+∠DEN=180°,
∴∠DEN=∠A,
∴△NDE∽△MDA.
6.证明:(1)如图,连接OB.
∵直线PB与☉O相切于点B,
∴∠PBO=90°.
∴∠PBA+∠ABO=90°.
∵∠PBA=30°,
∴∠ABO=60°.
又∵OA=OB,
∴△AOB为等边三角形.
又∵OE=AE,
∴BE平分∠ABO.
∴∠ABE=∠ABO=30°.
∴∠ABE=∠PBA.∴BA平分∠PBD.
(2)∵直线PB与☉O相切于点B.
∴∠PBO=90°.
∴∠PBA+∠ABO=90°.
∵AC为☉O的直径,
∴∠ABC=90°.
∴∠OBC+∠ABO=90°.
∴∠OBC=∠PBA.
∵OB=OC,
∴∠PBA=∠OBC=∠OCB.
∴∠AOB=2∠OCB=2∠PBA.
∵∠DCE=∠DBA=2∠PBA,
∴∠AOB=∠DCE,
又∵∠BAO=∠EDC,
∴△OAB∽△CDE.
7.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,∠ABE=90°.
∴∠PAF=∠AEB.
又∵PF⊥AE,
∴∠PFA=∠ABE=90°.
∴△PFA∽△ABE.
(2)当△EFP∽△ABE时,∠PEF=∠EAB,
∴PE∥AB.
∴∠BEP=∠B=∠BAP=90°.
∴四边形ABEP为矩形.
∴PA=EB=BC=2,即x=2.
当△PFE∽△ABE时,∠PEF=∠AEB,
∵∠PAF=∠AEB,
∴∠PEF=∠PAF.
∴PE=PA.
∵PF⊥AE,
∴F为AE的中点.
∵AE==2,
∴EF=AE=.
∵,即,
∴PE=5,即x=5.
∴x的值为2或5.
(3)当☉D与线段AE相切时,只有一个公共点,如图1,过点D作DH⊥AE于点H,则☉D与线段AE的距离d即为DH的长.
由(1)可得△DAH∽△AEB.
∴,即.
∴DH=.
当点P在AD边上时,☉D的半径r=DP=4-x,☉D与线段AE相切,此时d=r,
即=4-x,
∴x=4-.
当点P在AD的延长线上时,☉D的半径r=DP=x-4,此时☉D与线段AE相切,d=r,即=x-4,∴x=4+.
图1 图2
当AD∵DE==2,
∴PA=PD+AD=4+2.
∴当x=4-或4+或827.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
相似三角形的有关概念
1.(2024重庆大渡口区模拟)如图,△ABC∽△ACP,若∠A=75°,∠APC=65°,则∠B的大小为 °.
2.已知△ABC∽△DEF,△ABC的三条边分别为6,8,10,若△DEF的最短边为3,则最长边为 .
平行线分线段成比例
3.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论不正确的是 ( )
A. B. C. D.
4.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC.若,AE=6,则CE的长为 ( )
A.14 B. C.8 D.6
5.如图,直线a∥b∥c,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F,若AB∶BC=1∶2,DE=6,则EF的长为 .
6.如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC上的点,且DE∥AC,DF∥AE,,BF=9 cm.求EF和CE的长.
相似三角形的预备定理
7.如图,AB∥CD,点E在AB上,点F在CD上,AC,BD,EF相交于点O,则图中相似三角形共有 ( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
8.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC.若 AE=3,EC=1,且知 DE=,则 BC= .
1.(2024杭州上城区期末)如图,已知直线l1∥l2∥l3,直线m和直线n分别交l1,l2,l3于点A,B,C和点D,E,F,直线m和直线n交于点P.若DE=2,EF=4,AB=4,BP∶CP=1∶3,则CP的长为 ( )
A.4 B.5 C.7 D.6
2.如图,AB与CD相交于点E,点F在线段BC上,且AC∥EF∥DB.若BE=5,BF=3,AE=BC,则的值为 ( )
A. B. C. D.
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点B作BD⊥CB,垂足为B,且BD=3,连接CD,与AB相交于点M,过点M作MN⊥CB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为 .
4.如图,小华欲测一烟囱的高度,她借助一5 m长的标杆对烟囱进行测量.当烟囱顶部E、标杆顶部D与她的眼F在一条直线上时,她的助手小刚测出AB=4 m,AC=16 m,已知小华的眼睛离地面
1.60 m,请你帮她把烟囱的高度求出来.
5.(2024邢台襄都区月考)如图,AD是△ABC的中线,E是线段AD上的一点,且AD=3AE,连接CE并延长交AB于点F.
(1)求的值.
(2)若AF=2 cm,求AB的长.
6.(推理能力)如图,☉O的半径为4,B是☉O外一点,连接OB,且OB=6,过点B作☉O的切线BD,切点为D,延长BO交☉O于点A,过点A作切线BD的垂线,垂足为 C,连接 AD.
(1)求证:AD平分∠BAC.
(2)求AC的长.
【详解答案】
课堂达标
1.40 解析:∵∠A=75°,∠APC=65°,∴∠ACP=180°-∠A-∠APC=40°.∵△ABC∽△ACP,∴∠B=∠ACP=40°.
2.5 解析:设△DEF的最长边为x.∵△ABC∽△DEF,△ABC的最短边是6,最长边是10,△DEF的最短边为3,∴6∶3=10∶x.∴x=5.∴△DEF的最长边为5.
3.B 解析:∵AB∥CD∥EF,∴,,,故A、C、D正确,B错误.故选B.
4.C 解析:∵DE∥BC,∴,即.解得CE=8.故选C.
5.12 解析:∵直线a∥b∥c,∴.∵DE=6,∴EF=12.
6.解:∵DF∥AE,∴.
∵BF=9 cm,
∴EF=6 cm,BE=BF+EF=15 cm.
∵DE∥AC,
∴.
∴CE=10 cm.
7.C 解析:∵AB∥CD,∴△AEO∽△CFO,△BEO∽△DFO,△ABO∽△CDO.共有3对相似三角形.故选C.
8. 解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴.∵AE=3,AC=3+1=4,DE=,∴.∴BC=.
课后提升
1.D 解析:∵直线l1∥l2∥l3.
∴.
∵AB=4,∴BC=8.
∵BP∶CP=1∶3,
∴CP=BC=×8=6.故选D.
2.A 解析:设CF=x,则AE=BC=x+3.
∵EF∥AC,
∴.
∴.
解得x=.
∴CF=.
∵AC∥DB,∴△BDE∽△ACE.
∴.
故选A.
3. 解析:∵∠ACB=90°,BD⊥CB,MN⊥CB,∴AC∥MN∥BD.∴△MAC∽△MBD,△CMN∽△CDB.∴,.∴.∴.∴MN=.
4.解:如图,过点F作FG⊥EC于点G,交BD于点H.
由题意,得AF∥BD∥CE.
∴FG⊥BD.
∴四边形ABHF、四边形ACGF为矩形.
∴AF=BH=CG,FG=AC.
∵AF=1.6 m,BD=5 m,AC=16 m,AB=4 m,
∴CG=AF=1.6 m,DH=BD-BH=BD-AF=5-1.6=3.4(m),FH=AB=4 m,FG=AC=16 m.
∵BD∥CE.
∴△DFH∽△EFG.
∴,即.
∴EG=13.6 m.
∴EC=EG+CG=13.6+1.6=15.2(m).
∴烟囱的高度是15.2 m.
5.解:(1)∵AD=3AE,AD=AE+DE,
∴3AE=AE+DE.
∴2AE=DE.
∴.
(2)如图,过点D作DM∥CF交AB于点M.
∴.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=DC.
∴BM=MF.∵DM∥EF,
∴.
∵AF=2 cm,
∴MF=BM=4 cm.
∴AB=AF+MF+BM=10 cm.
6.解:(1)证明:如图,连接OD.
∵BD是☉O的切线,
∴OD⊥BD.
∵AC⊥BD,
∴OD∥AC.
∴∠DAC=∠ADO.
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO.
∴∠DAO=∠DAC,即AD平分∠BAC.
(2)∵OD∥AC,
∴△BOD∽△BAC.
∴.
∴.解得AC=.
