第2课时 平面直角坐标系中的位似
用坐标表示位似
1.如图,△OA1B1与△OAB的形状相同,大小不同,△OA1B1是由△OAB的各顶点变化得到的,则各顶点变化情况是 ( )
A.横坐标和纵坐标都加2 B.横坐标和纵坐标都乘2
C.横坐标和纵坐标都除以2 D.横坐标和纵坐标都减2
2.如图,若△ABC与△A1B1C1是位似图形,则位似中心的坐标为 ( )
A.(1,0) B.(0,1) C.(-1,0) D.(0,-1)
3.如图,在平面直角坐标系中,将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD,若点B(0,1),D(0,3),则△OAB与△OCD的面积比是 ( )
A.2∶1 B.1∶3 C.1∶9 D.9∶1
4.(2024青岛期末)如图,将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中,两个“E”字是位似图形,位似中心为点O,①号“E”与②号“E”的相似比为1∶2.点M与点N为一组对应点,若点M的坐标为(-2,4),则点N的坐标为 .
5.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(10,10),B(12,6),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB按相似比缩小后得到线段CD,则端点C的坐标为 .
6.(2024遵化期中)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(4,2)和(3,0).
(1)以点O为位似中心,在网格中作出△OAB的位似图形,使新图形△OA1B1与原图形的相似比为1∶2.
(2)写出新图形各顶点的坐标.
1.在平面直角坐标系中,点E(-4,2),点F(-1,-1),以点O为位似中心,按相似比1∶2把△EFO缩小,则点E的对应点E'的坐标为 ( )
A.(2,-1)或(-2,1) B.(8,-4)或(-8,4) C.(2,-1) D.(8,-4)
2.(2024保定竞秀区期末)如图,正方形ABCD的边BC,AB分别在x轴、y轴的正半轴上,正方形ABCD与正方形A'B'C'D'是以AC的中点O'为中心的位似图形.已知AC=3,若点A'的坐标为(1,2),则正方形A'B'C'D'与正方形ABCD的相似比是 ( )
A. B. C. D.
3.如图,△ABO缩小后变为△A'B'O,其中点A,B的对应点分别为A',B',点A,B,A',B'均在格点上.若线段AB上有点P(m,n),则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为 ( )
A. B. C. D.
4.如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长都是1).△A1B1C1是以点B为位似中心的△ABC的位似图形,且△A1B1C1与△ABC相似比为2,则点C1的坐标是 ,△A1B1C1的面积是 .
5.(2024保定莲池区期中)如图,△ABC的顶点都在网格点上,点A的坐标为(-1,3).
(1)以点O为位似中心,在第二象限作△ABC的位似图形△A'B'C',使△ABC按相似比2放大,并直接写出点A的对应点A'的坐标: .
(2)若△ABC内部的一点M的坐标为(x,y),则点M的对应点M'的坐标是 .
(3)= .
6.(几何直观)如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2).
(1)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的一个位似图形△OA1B1,使它与△OAB的相似比为2∶1,并分别写出点A,B的对应点A1,B1的坐标.
(2)画出将△OAB向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度后的△O2A2B2,并写出点A,B的对应点A2,B2的坐标.
(3)判断△OA1B1与△O2A2B2,能否是关于某一点M为位似中心的位似图形 若是,请在图中标出位似中心M,并写出点M的坐标.
【详解答案】
课堂达标
1.C 解析:∵点A1(2,1),A(4,2),B1(1,3),B(2,6),∴各顶点变化情况为横坐标和纵坐标都除以2.
故选C.
2.D 解析:如图,位似中心的坐标为(0,-1).故选D.
3.C 解析:∵点B(0,1),D(0,3),
∴OB=1,OD=3.
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD,
∴△OAB与△OCD的相似比是OB∶OD=1∶3.
∴△OAB与△OCD的面积的比是1∶9.
故选C.
4.(4,-8) 解析:∵点M与点N为一组对应点,点M的坐标为(-2,4),相似比为1∶2,
∴点N(4,-8).
5.(5,5) 解析:∵线段AB两个端点的坐标分别为A(10,10),B(12,6),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB按相似比缩小后得到线段CD,
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为点A的一半.
∴端点C的坐标为(5,5).
6.解:(1)如图,△OA1B1,△OA2B2即为所求作.
(2)点A1(2,1),B1(1.5,0),A2(-2,-1),B2(-1.5,0),O(0,0).
课后提升
1.A 解析:∵点E(-4,2),相似比为1∶2,∴点E的对应点E'的坐标为(2,-1)或(-2,1).故选A.
2.B 解析:在正方形ABCD中,AC=3,∴BC=AB=3.如图,延长A'B'交BC于点E.
∵点A'的坐标为(1,2),
∴OE=1,EC=A'E=3-1=2.
∴OE∶BC=1∶3.
∵A'B'∥AB,
∴AA'∶AC=1∶3.
∵AA'=CC',
∴AA'=CC'=A'C'.
∴A'C'∶AC=1∶3.
∴正方形A'B'C'D'与正方形ABCD的相似比是.故选B.
3.D 解析:∵△ABO缩小后变为△A'B'O,其中点A,B的对应点分别为点A',B',点A,B,A',B'均在图中格点上,点A(4,6),点B(6,2),点A'(2,3),点B'(3,1),∴△ABO与△A'B'O'的相似比为2∶1.∵线段AB上有一点P(m,n),∴点P在A'B'上的对应点P'的坐标为.故选D.
4.(1,0) 10 解析:如图,△A1B1C1即为所求,
点C1的坐标是(1,0),
△A1B1C1的面积是4×6-×2×6-×2×4-×2×4=10.
5.解:(1)如图,△A'B'C'即为所求.
(-2,6)
(2)(2x,2y)
(3)1∶3
6.解:(1)如图,△OA1B1即为所求.
点A1(4,2),B1(2,-4).
(2)如图,△O2A2B2即为所求.
点A2(0,2),B2(-1,-1).
(3)如图,点M即为所求.
△OA1B1与△O2A2B2是以点M(-4,2)为位似中心的位似图形.27.3 位似
第1课时 位似图形的概念及画法
位似图形的概念
1.下列关于位似图形的表述:
①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;
②位似图形一定有位似中心;
③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形;
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.
其中正确命题的序号是 ( )
A.②③ B.①②
C.③④ D.②③④
2.下列各选项的两个图形中,不是位似图形的是 ( )
A. B.
C. D.
位似图形的性质和画法
3.(2024扬州广陵区期末)如图,以点O为位似中心,把△ABC按相似比1∶2放大得到△DEF.以下说法中错误的是 ( )
A.△ABC∽△DEF B.AB∥DE
C.OA∶OD=1∶2 D.EF=4BC
4.如图,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形,且相似比为.若五边形ABCDE的面积为17 cm2,周长为20 cm,则五边形A'B'C'D'E'的面积为 cm2,周长为 cm.
5.如图,在10×10的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点O和点A1在格点上,△ABC是格点三角形(顶点在网格线交点上).
(1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1,点A,B,C的对应点分别为点A1,B1和C1.
(2)△A1B1C1与△ABC的周长之比为 .
6.如图,点F在BD上,BC,AD相交于点E,且AB∥CD∥EF.
(1)图中有哪几对位似三角形 选其中一对加以证明.
(2)若AB=2,CD=3,求EF的长.
1.(2024滨州博兴县期末)《墨子·天志(上)》记载:“执其规、矩,以度天下之方圆”.度方知圆,感悟数学之美.如图,正方形ABCD的面积为1,以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形A'B'C'D'.若A'B'∶AB=2∶1,则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 ( )
A.4π B.3π C.2π D.π
2.(2024南京玄武区期末)如图,☉O与△OAB的边AB相切于点B.将△OAB绕点B按顺时针方向旋转并以点B为位似中心,按一定比例缩小得到△B'A'B,且点A',B'落在☉O上.若AB=2,A'B=4,则☉O的半径为( )
A. B.2.5 C. D.3
3.如图,在正方形网格中,以点O为位似中心,△ABC的位似图形是 (用图中字母表示),△ABC与该三角形的相似比为 .
4.如图,△ABC与△DEF是位似图形,位似中心为点O,且OD=3OA.若△ABC的面积为3,则阴影部分的面积是 .
5.如图,BD,AC相交于点P,连接AB,BC,CD,DA,∠DAP=∠CBP.
(1)求证:△ADP∽△BCP.
(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形
(3)若AB=8,CD=4,DP=3,求AP的长.
6.(推理能力)如图是由位似的正三角形A1B1C1、正三角形A2B2C2、正三角形A3B3C3、…、正三角形AnBnCn组成的相似图形,其中第一个△A1B1C1的边长为1,O是B1C1的中点,A2是OA1的中点,A3是OA2的中点,…,An是O的中点,顶点B2,B3,…,Bn.C2,C3,…,Cn都在B1C1边上.
(1)试写出△A10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心.
(2)求出第n个△AnBnCn(n≥2)的周长.
【详解答案】
课堂达标
1.A 解析:①相似图形不一定是位似图形,位似图形一定是相似图形,则原命题错误;②位似图形一定有位似中心,则原命题正确;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形,则原命题正确;④位似图形上任意一对对应点与位似中心的距离之比等于相似比,则原命题错误;综上,正确命题的序号是②③.故选A.
2.C 解析:对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.根据位似图形的概念,A、B、D三个选项中的两个图形都是位似图形;C中的两个图形不符合位似图形的概念,对应顶点不能相交于一点,故不是位似图形.故选C.
3.D 解析:A.∵位似属于相似,∴△ABC∽△DEF.正确,不符合题意;B.由位似可知,△OAB∽△ODE,∴∠OAB=∠ODE.∴AB∥DE.正确,不符合题意;C.,正确,不符合题意;D.∵△ABC与△DEF的相似比为1∶2,∴.∴EF=2BC.错误,符合题意.故选D.
4.68 40 解析:∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形,
∴五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'.
∴其对应的面积比等于相似比的平方,周长比等于相似比.
∵相似比为,五边形ABCDE的面积为17 cm2,周长为20 cm,
∴五边形A'B'C'D'E'的面积为68 cm2,周长为40 cm.
5.解:(1)如图,△A1B1C1即为所求作.
(2)3∶1
6.解:(1)△DFE与△DBA,△BFE与△BDC,△AEB与△DEC都是位似三角形.
证明:∵AB∥CD∥EF,
∴△DFE∽△DBA,△BFE∽△BDC,△AEB∽△DEC,且对应点的连线都交于一点.
∴△DFE与△DBA,△BFE与△BDC,
△AEB与△DEC都是位似三角形.
(2)△AEB∽△DEC,AB=2,CD=3,
∴.
∵△BFE∽△BDC,
∴.
解得EF=.
课后提升
1.C 解析:如图,连接B'D'.设B'D'的中点为O.
∵正方形ABCD∽正方形A'B'C'D',相似比为1∶2,
且正方形ABCD的面积为1,
∴正方形A'B'C'D'的面积为4.
∴A'B'=A'D'=2.
∵∠B'A'D'=90°,
∴B'D'==2.
∴正方形A'B'C'D'的外接圆的周长为2π.
故选C.
2.A 解析:∵AB与☉O相切于点B,∴OB⊥AB.∵将△OAB绕点B按顺时针方向旋转并以点B为位似中心,按一定比例缩小得到△B'A'B,AB=2,A'B=4,∴△OAB与△B'A'B的相似比为.∴.由旋转变换的性质可知,∠A'BB'=∠ABO=90°,∴A'B'为☉O的直径.设BB'=2x,则OB=x.∴A'B'=2x.∵A'B2+BB'2=A'B'2,∴42+(2x)2=(2x)2.解得x=1(负值舍去).∴☉O的半径为.故选A.
3.△GEH 解析:以点O为位似中心,△ABC的位似图形是△GEH,△ABC与△GEH的相似比为.
4.24 解析:∵△ABC与△DEF是位似图形,
∴△ABC∽△DEF,AB∥DE.
∴△OAB∽△ODE.
∵OD=3OA,∴.
∴.
∵△ABC的面积为3,
∴△DEF的面积为27.
∴阴影部分的面积是27-3=24.
5.解:(1)证明:∵∠DAP=∠CBP,∠DPA=∠CPB,
∴△ADP∽△BCP.
(2)△ADP与△BCP不是位似图形.
(3)∵△ADP∽△BCP,
∴.
∴.又∵∠APB=∠DPC,
∴△APB∽△DPC.
∴,即.
解得AP=6.
6.解:(1)∵正三角形A1B1C1的边长为1,O是B1C1的中点,A2是OA1的中点,
∴正三角形A2B2C2的边长为,
正三角形A3B3C3的边长为,
……
正三角形A7B7C7的边长为,
正三角形A10B10C10的边长为.
∴△A10B10C10和△A7B7C7的相似比为,它们的位似中心为点O.
(2)∵第n个△AnBnCn(n≥2)的边长为,
∴第n个△AnBnCn(n≥2)的周长为.
