28.1 锐角三角函数
第1课时 锐角的正弦
已知直角三角形的边长求正弦
1.(2024迁安期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,则sin A的值为( )
A. B. C. D.
2.(2024六安期末)正方形网格中,∠AOB如图放置,则sin∠AOB的值为 ( )
A. B. C.1 D.
已知锐角的正弦值,求直角三角形的边长
3.如图,在△ACB中,∠C=90°,sin B=.若AC=6,则BC的长为 ( )
A.8 B.12 C.6 D.12
4.如图,l1∥l2,A,B分别是直线l1,l2上的点,AB=3,sin α=,则直线l1与l2之间的距离为 .
1.在△ABC中,已知∠C=90°,AC=4,sin A=,那么BC边的长是 ( )
A.2 B.8 C.4 D.12
2.如图,在4×4的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点.若△ABC的顶点都在格点上,则sin∠ABC的值是 ( )
A. B. C. D.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=α,∠ADC=β,用含α和β的代数式表示的值为 .
4.(推理能力)如图,AC是☉O的直径,PA⊥AC,连接OP,弦CB∥OP,直线PB交直线AC于点D, BD=2PA.
(1)求证:直线PB是☉O的切线.
(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系,并加以证明.
(3)求sin∠OPA的值.
【详解答案】
课堂达标
1.B 解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,则sin A=.故选B.
2.B 解析:如图,连接AD,CD,设正方形的网格边长是1,则根据勾股定理可以得到:
OD=AD=,OC=AC=,在△ODA中,由等腰三角形三线合一,得∠OCD=90°,则CD=.∴sin∠AOB=.故选B.
3.C 解析:在Rt△ACB中,sin B=,∴AB=12.
∴BC==6.故选C.
4.2 解析:如图,过点A作AC⊥l2于点C.
∵sin α=,
∴AC=AB·sin α.
∵AB=3,sin α=,
∴AC=3×=2.
∴直线l1与l2之间的距离为2.
课后提升
1.B 解析:∵sin A=,∴设BC=2k,则AB=3k.
由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,
即(4)2+(2k)2=(3k)2.
解得k=4(负值已舍去).
∴BC=2k=8.
故选B.
2.B 解析:由题意可知,AB==5,AC==2,BC=.
∵AB2=25,AC2=20,BC2=5,
∴AB2=AC2+BC2.
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
∴sin∠ABC=.
故选B.
3. 解析:在Rt△ABC中,sin α=,
∴AB=.
在Rt△ADC中,sin β=,
∴AD=.
∴·.
4.解:(1)证明:如图,连接OB.
∵PA⊥AC,∴∠PAO=90°.
∵BC∥OP,
∴∠BCO=∠POA,∠CBO=∠POB.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
∴∠POB=∠POA.
又∵PO=PO,OB=OA,
∴△POB≌△POA(SAS).
∴∠PBO=∠PAO=90°.
∵OB是☉O的半径,
∴直线PB是☉O的切线.
(2)2PO=3BC.
证明:∵△POB≌△POA,∴PB=PA.
∵BD=2PA,∴BD=2PB.
∴.
∵BC∥PO,∴△DBC∽△DPO.
∴.∴2PO=3BC.
(3)∵CB∥OP,
∴△DBC∽△DPO.
∴,即DC=OD.
∵OC+CD=OD,∴OC=OD.
∴DC=2OC.
设OA=x,PA=y.则OD=3x,OB=x,BD=2y.
在Rt△OBD中,由勾股定理,得OD2=OB2+BD2,(3x)2=x2+(2y)2,即2x2=y2.
∵x>0,y>0,
∴y=x,OP=x.
∴sin∠OPA=.第3课时 特殊角的三角函数值和用计算器计算
特殊角的锐角三角函数值
1.sin 60°的值为 ( )
A. B. C.1 D.
2.计算:4cos 30°-2tan 45°= .
3.计算:cos245°-sin230°= .
4.计算:
(1)3tan 30°-tan 45°+2sin 60°.
(2)(cos230°+sin230°)×tan 60°.
由三角函数值求特殊角
5.若∠A是锐角,sin A=,则∠A的度数为 ( )
A.60° B.45° C.30° D.75°
6.(2024桂林期末)若∠A为锐角,且tan A=1,则∠A的度数为 .
用计算器计算锐角三角函数值
7.用计算器求sin 24°37'18″的值,以下按键顺序正确的是 ( )
1.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sin A=,cos B=,则△ABC的形状是 ( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形
2.(2024西安雁塔区一模)在△ABC中,若=0,则∠C的度数是 .
3.规定:sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,sin(x+y)=sin x·cos y+cos x·sin y.
(1)判断下列等式成立的是 (填序号).
①cos(-60°)=-;②sin 2x=2sin x·cos x;
③sin(x-y)=sin x·cos y-cos x·sin y.
(2)利用上面的规定求①sin 75°;②sin 15°.
4.(运算能力)对于钝角α,定义它的三角函数值如下:sin α=sin(180°-α),cos α=-cos(180°-α)
(1)求sin 120°,cos 120°,sin 150°的值.
(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4,A,B是这个三角形的两个顶点,sin A,cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A和∠B的大小.
【详解答案】
课堂达标
1.A 解析:sin 60°=.故选A.
2.2-2 解析:原式=4×-2×1=2-2.
3. 解析:原式= - .
4.解:(1)原式=3×-1+2×-1+=2-1.
(2)原式=×.
5.C 解析:∵∠A是锐角,sin A=,∴∠A=30°.故选C.
6.45° 解析:∵∠A为锐角,且tan A=1,tan 45°=1,∴∠A=45°.
7.A 解析:先按键sin,再输入角的度数24°37'18″,按键=即可得到结果.
故选A.
课后提升
1.C 解析:∵∠A,∠B都是锐角,且sin A=,cos B=,
∴∠A=45°,∠B=60°.
∴∠C=180°-∠A-∠B=75°.
∴△ABC的形状是锐角三角形.故选C.
2.105° 解析:∵sin A-+-cos B2=0,
∴sin A-=0,-cos B=0.
∴sin A=,cos B=.
∴∠A=30°,∠B=45°.
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°.
3.解:(1)②③
(2)①sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°·cos 45°+cos 30°·sin 45°=.
②sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°·cos 30°-cos 45°·sin 30°=.
4.解:(1)由题意,得
sin 120°=sin(180°-120°)=sin 60°=,
cos 120°=-cos(180°-120°)=-cos 60°=-,
sin 150°=sin(180°-150°)=sin 30°=.
(2)∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4,
∴三个内角分别为30°,30°,120°.
①当∠A=30°,∠B=120°时,则sin A=sin 30°=,cos B=cos 120°=-,则方程的两根分别为,-.
将x=代入方程,得4×-m×-1=0.解得m=0.
经检验,x=-是方程4x2-1=0的实数根.
∴m=0符合题意.
②当∠A=120°,∠B=30°时,则sin A=sin 120°=,cos B=cos 30°=,则方程的两根分别为,,两个根相等,不符合题意.
③当∠A=30°,∠B=30°时,则sin A=sin 30°=,cos B=cos 30°=,则方程的两根分别为,.
将x=代入方程,得4×-m×-1=0.
解得m=0.
经检验,x=不是方程4x2-1=0的实数根,不符合题意.
综上所述,m=0,∠A=30°,∠B=120°.第2课时 锐角的余弦和正切
余弦
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则cos B的值为( )
A. B. C. D.
2.如图,在正方形网格中,△AOC的顶点均在格点(网格线交点)上,则cos∠AOC的值为 .
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,cos B=,则AC的长为 .
4.在△ABC中,∠C=90°,BC=24 cm,cos A=,求这个三角形的周长.
正切
5.(2024石家庄期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3AC,则tan B的值为 ( )
A. B.3
C. D.
6.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,则AC的长为 ( )
A.6 B.16
C.12 D.4
7.如图,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则tan B的值为 .
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,求sin A,cos A,tan A的值.
锐角三角函数
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,则下列三角函数表示正确的是 ( )
A.sin A= B.cos A= C.tan A= D.tan B=
10.(2024合肥庐阳区期末)在△ABC中,∠C=90°,tan A=2,则cos A的值为 ( )
A. B. C. D.2
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,若cos A=,则sin A的值为 .
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,tan A=.求AB的长和sin B的值.
1.如图,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则tan A的值为 ( )
A. B.
C. D.
2.在Rt△ABC中,若2AB=AC,则cos C的值为 ( )
A.或 B.或
C.或 D.或
3.如图,点D在钝角三角形ABC的边BC上,连接AD,∠B=45°,∠CAD=∠CDA,CA∶CB=5∶7.则cos∠CAD的值为 .
4.(2024石家庄裕华区期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于点E,AE=6,cos A=.
(1)CD= .
(2)tan∠DBC= .
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O是AB的中点,CO=6.5,BC=5.
(1)求AC的长.
(2)求cos∠OCA与tan B的值.
6.(2024怀化期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tan B=,点D在BC上,且BD=AD.
(1)求AB的长.
(2)求cos∠ADC的值.
7.(几何直观)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以直角边AB的长为直径的☉O交AC于点D,在AC上截取AE=AB,连接BE交☉O于点F.
(1)求证:∠EBC=∠BAC.
(2)若☉O的半径r=5,tan∠CBE=,求CE的长.
【详解答案】
课堂达标
1.A 解析:∵∠C=90°,AB=10,AC=8,
∴BC==6.
∴cos B=.
故选A.
2. 解析:∵在正方形网格中,△AOC的顶点均在格点上,
∴∠ACO=90°,OC=2,AC=4.
∴AO==2.
∴cos∠AOC=.
3.12 解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,
cos B=,AB=15,
∴.解得BC=9.
由勾股定理,得
AC==12.
4.解:∵cos A=,
∴设AC=5x cm,AB=13x cm.
则BC=12x cm.
由12x=24,得x=2.
∴AB=26 cm,AC=10 cm.
∴△ABC的周长为10+24+26=60(cm).
5.A 解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3AC,
∴tan B=.故选A.
6.B 解析:如图,
∵tan A=,BC=8,
∴AC=16.故选B.
7. 解析:如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中,BD=3,AD=2.∴tan B=.
8.解:∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB==5.
∴sin A=,cos A=,
tan A=.
9.A 解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,
∴AC=.
∴sin A=,cos A=,tan A=,tan B=.
故选A.
10.A 解析:在△ABC中,∠C=90°,令∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
∵tan A==2,∴设b=k,则a=2k.由勾股定理,得c=k.
∴cos A=.
故选A.
11. 解析:在Rt△ABC中,令∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
∵∠C=90°,cos A=,
∴设b=5k,c=13k.
∴a==12k.
∴sin A=.
12.解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,tan A=,
∴AC==12.
∴AB==6.
∴sin B=.
课后提升
1.A 解析:如图,连接CD.由图可知,CD=,AD=2,AC=.
∵AC2=CD2+AD2,
∴△ACD是直角三角形.
∵AE=DE=CD,
∴CD=AD.
∴tan A=.故选A.
2.C 解析:①当AC为直角边,∠A=90°时.
∵2AB=AC,
∴BC=AB.
∴cos C=.
②当AC为斜边时.
∵2AB=AC,
∴BC=AB.
∴cos C=.
综上所述,cos C的值为或.
故选C.
3. 解析:如图,过点A作AH⊥BC于点H.设AC=CD=5k,BC=7k.
∵∠B=45°,∠AHB=90°,
∴AH=BH.
设AH=BH=x.
在Rt△ACH中,
∵AH2+HC2=AC2,
∴x2+(7k-x)2=(5k)2.
解得x=3k或x=4k(舍弃,与钝角三角形矛盾).
当x=3k时,BD=BC-CD=7k-5k=2k,
∴BH=AH=3k,DH=BH-BD=k.
∴AD=k.
∴cos∠CAD=cos∠ADH=.
4.(1)8 (2) 解析:(1)在Rt△ADE中,
∵AE=6,cos A=,
∴AD=10.
∴DE==8.
∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DC⊥CB,
∴DE=CD=8.
(2)由(1)知,AE=6,AD=10,CD=8,
∴AC=AD+CD=18.
在Rt△ABC中,∵cos A=,
∴AB=30.
∴BC==24.
在Rt△DBC中,tan∠DBC=.
5.解:(1)∵∠ACB=90°,O是AB的中点,CO=6.5,
∴AB=2CO=13.
∵BC=5,
∴AC==12.
(2)∵∠ACB=90°,O是AB的中点,
∴OC=AB,OA=AB.
∴OA=OC.
∴∠OAC=∠OCA.
∴cos∠OCA=cos∠OAC=,tan B=.
6.解:(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tan B=,
∴tan B=.
解得AC=4.
在Rt△ABC中,
AB==4.
(2)设CD=x,则AD=BD=8-x.
在Rt△ACD中,根据勾股定理,得
AD2=CD2+AC2,即(8-x)2=x2+42.
解得x=3.
∴CD=3,AD=5.
∴cos∠ADC=.
7.解:(1)证明:如图,连接AF.
∵AB为☉O的直径,
∴∠AFB=90°.
∴∠BAF+∠ABF=90°.
∵∠ABC=90°,
∴∠ABF+∠EBC=90°.
∴∠BAF=∠EBC.
∵AB=AE,∠AFB=90°,
∴∠BAF=∠BAC.
∴∠EBC=∠BAC.
(2)如图,过点E作EG⊥BC于点G.
∴∠AFB=∠BGE=90°.
∵∠BAF=∠EBG,
∴△BAF∽△EBG.
∴.
∵tan∠BAF=tan∠CBE=,
∴.∴AF=2BF.
∵AB=2OA=10,
∴BF=2,AF=4.
∵AF⊥BE,AB=AE,
∴BE=2BF=4.
∴.
解得EG=4,BG=8.
∵∠ABC=∠EGC=90°,∠C=∠C,
∴△ABC∽△EGC.
∴.
∴.
解得CG=.
∴CE=.
