28.2.1　解直角三角形 课时作业（含答案） 2024-2025学年数学人教版九年级下册

28.2　解直角三角形及其应用
28.2.1　解直角三角形
已知两边解直角三角形
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,CD是△ABC的高,则tan∠BCD的值是 (　　)
A. B.
C. D.
2.(2024上海徐汇区期末)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(4,3),直线OA与x轴正半轴的夹角为α,那么sin α的值是 (　　)
A. B.
C. D.
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线.若AC=3,CD=2.5,则cos A的值是　　　　.
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,AB=2,解这个直角三角形.
已知一边及一锐角解直角三角形
5.如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为m,∠A=35°,则直角边BC的长是 (　　)
A.msin 35° B.mcos 35° C. D.
6.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AB=6,解这个直角三角形.
已知一锐角三角函数值解直角三角形　　　　　　　　　　　　
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,sin A=,则tan A的值为 (　　)
A. B. C. D.
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,tan A=,则BC的长为　　　　.
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=6,求AC的长和sin A的值.
1.(2024衡阳期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,cos B=,则AC的长为 (　　)
A. B.3 C.4 D.5
2.如图,AB是☉O的直径,点C,D分别位于AB两侧,BC=2AC,则cos∠BDC的值为 (　　)
A. B.2 C. D.
3.如图,CD是Rt△ABC斜边上的高,若sin A=,BD=1,则AD=　　　　.
4.在△ABC中,∠ABC=30°,AB=4,AC=4,则BC=　　　　　.
5.(2024长春南关区期中)如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于点E,设∠ADE=α,且sin α=,AB=4.求AD的长.
6.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,sin C=,D是边BC上一点,连接AD.
(1)求∠CAB的度数.
(2)若AC=6,BD=3,求CD的长度.
7.如图,在△ABC中,sin B=,点F在BC上,AB=AF=5,过点F作EF⊥CB交AC于点E,且AE∶EC=3∶5.求BF的长与sin C的值.
8.(推理能力)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC,交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:四边形ADCF为矩形.
(2)若BC=6,sin∠BAD=,求EF的长.
【详解答案】
课堂达标
1.B　解析:∵∠ACB=90°,
∴∠BCD+∠ACD=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°.
∴∠ACD+∠A=90°.
∴∠BCD=∠A.
在Rt△ABC中,∵tan A=,
∴tan∠BCD=tan A=.故选B.
2.A　解析:如图,过点A作x轴的垂线,垂足为B.
由点A的坐标为(4,3)可知,OB=4,AB=3,
∴AO===5.
在Rt△AOB中,sin α=.故选A.
3.　解析:∵∠ACB=90°,且CD是AB边上的中线.
∴AB=2CD=5.
在Rt△ABC中,cos A=.
4.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,AB=2.
∴BC=.
∵tan A==1,
∴∠A=45°.
∴∠B=90°-∠A=90°-45°=45°.
5.A　解析:由题图可知,sin A=.
∵AB=m,∠A=35°,
∴BC=msin 35°.故选A.
6.解:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∠B=60°,AB=6,
∴∠A=90°-∠B==90°-60°=30°.
∴BC=AB=3.
∴AC==3.
7.A　解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,sin A=.
∴AB==5.
∴AC==4.
∴tan A=.故选A.
8.5　解析:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,tan A=,
∴设BC=5x,则AC=12x.
∴AB===13x.
∵AB=13,
∴13x=13.
解得x=1.
∴BC=5x=5.
9.解:在Rt△ABC中,∵tan A=,BC=6,
∴AC=8.
∴AB==10.
∴sin A=.
课后提升
1.B　解析:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
cos B=.
∵AB=5,
∴BC=4.
∴AC==3.
故选B.
2.D　解析:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵BC=2AC,∴设AC=a.则BC=2a,AB=a.
∴cos∠BDC=cos∠BAC=.
故选D.
3.2　解析:∵CD是Rt△ABC斜边上的高,
∴∠ADC=90°.∴∠A+∠ACD=90°.
又∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°.
∴∠A=∠BCD.
∵sin A=,∴sin∠BCD=.
∵BD=1,∴BC=.
∴CD=.
∵sin A=,∴AC=.
∴AD==2.
4.8或4　解析:①当∠ACB为锐角时,如图1,过点A作AD⊥BC,垂足为D.
在Rt△ABD中,∵∠ABC=30°,AB=4,AC=4,
∴AD=AB=2,BD=cos 30°·AB=6.
在Rt△ADC中,∵DC==2,
∴BC=BD+DC=6+2=8.
②当∠ACB为钝角时,如图2,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中,∵∠ABC=30°,AB=4,
∴AD=AB=2,BD=cos 30°·AB=6.
在Rt△ADC中,∵DC==2,
∴BC=BD-DC=6-2=4.
综上所述,BC的长为8或4.
图1　 图2
5.解:∵四边形ABCD为矩形,
∴AD=BC,∠BAD=90°.
∴∠BAC+∠DAE=90°.
∵DE⊥AC,
∴∠ADE+∠DAE=90°.
∴∠BAC=∠ADE=α.
在Rt△ABC中,∵sin∠BAC=,
∴.
设BC=4x,则AC=5x.
∴AB==3x.
∴3x=4.解得x=.
∴BC=.∴AD=BC=.
6.解:(1)在Rt△ABC中,∵sin C=,
∴∠C=30°.
∴∠CAB=90°-∠C=90°-30°=60°.
(2)在Rt△ABC中,
∵cos C=,∠C=30°,
∴.
∴BC=3.
∴CD=BC-BD=3-3.
7.解:如图,过点A作AD⊥CB,垂足为D.
∵sin B=,AB=5,∴AD=4.
∴BD==3.
∵AB=AF,AD⊥CB,
∴DF=BD=3.∴BF=2DF=6.
∵EF⊥CB,AD⊥CB,
∴EF∥AD.∴.
∵AE∶EC=3∶5,DF=3,
∴CF=5.
∴CD=CF+DF=8.
在Rt△ABD中,AD=AB·sin B=5×=4,
在Rt△ACD中,AC==4,
∴sin C=.
8.解:(1)证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,AD⊥BC,即∠ADC=90°.
∵E是AD的中点,
∴AE=ED.
∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE.
在△AFE和△DBE中,
∴△AFE≌△DBE(AAS).
∴AF=BD.
∵BD=CD,
∴AF=DC.
又∵AF∥BC,
∴四边形ADCF为平行四边形.
∵∠ADC=90°,
∴四边形ADCF为矩形.
(2)∵BC=6,AD为BC边上的中线,
∴BD=BC=3.
∵在Rt△ABD中,sin∠BAD=,
∴AB==5.
∴AD==4.
又∵E为AD的中点,
∴ED=AD=2.
∴在Rt△EBD中,BE=.
由(1)知,△AFE≌△DBE,
∴EF=BE=.