第3课时 与坡度有关的解直角三角形的应用
利用坡度解直角三角形
1.如图,滑雪场有一坡角为20°的滑雪道,滑雪道AC的长为200 m,则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为 ( )
A. m B. m
C.200cos 20° m D.200sin 20° m
2.小朋周末在公园放风筝,已知风筝拉线长80 m且拉线与地面的夹角为64°(如图所示,假设拉线是直的,小朋的身高忽略不计),则风筝离地面的高度可以表示为 ( )
A.80sin 64° m B. m
C.80cos 64° m D. m
3.(2024邯郸期末)如图,河堤横截面迎水坡AB的坡比是1∶,则sin A的值是 ( )
A. B. C. D.
4.如图,传送带和地面所成斜坡的坡度i=1∶.如果它把某物体从地面送到离地面10 m高的地方,那么该物体所经过的路程是 m.
5.如图是某水库大坝的横截面,AD∥BC,AB为迎水坡,DC为背水坡,高度DE=6 m,现要防洪加固背水坡DC,已知DC的坡比为1∶1,加固后背水坡DF的坡比为1∶1.5.
(1)求CF的长度.
(2)若大坝长100 m,则加固背水坡所用的土石为多少立方米
6.如图是一新型可调节洗手装置的侧面示意图,可满足不同人的洗手习惯,AM为竖直的连接水管,当出水装置在点A处且水流AC与水平面夹角为63°时,水流落点正好在水盆的边缘点C处;将出水装置水平移动10 cm至点B处且水流与水平面夹角为30°时,水流落点正好在水盆的边缘点D处,MC=AB.(参考数据:sin 63°≈0.9,cos 63°≈0.5,tan 63°≈2.0,≈1.73)
(1)求连接水管AM的长(结果保留整数).
(2)求水盆两边缘点C,D之间的距离(结果保留一位小数).
1.如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图,剖面图的一部分可抽象为线段AB.已知斜坡AB的坡比接近3∶4,坡长AB为n m,则坡AB的铅垂高度AH约为( )
A. m B. m C. m D. m
2.如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为18 cm,深为30 cm,为方便残障人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡BC的坡度i=1∶5,则AC的长度为( )
A.210 cm B.120 cm C.504 cm D.60 cm
3.(2024烟台蓬莱区期中)如图,为确定某隧道AB的长度,在建设中测量人员在离地面2 700 m高度点C处的飞机上,测得正前方点A处的俯角为60°,BC的坡比为1∶,则隧道AB的长为
m.(结果保留根号)
4.图1是某越野车的侧面示意图,折线段ABC表示车后盖,已知AB=1 m,BC=0.6 m,∠ABC=123°,该车的高度AO=1.7 m.如图2,打开后备厢,车后盖ABC落在AB'C'处,AB'与水平面的夹角∠B'AD=27°.
图1 图2
(1)求打开后备厢后,车后盖最高点B'到地面l的距离.
(2)若小琳爸爸的身高为1.8 m,他从打开的车后盖点C'处经过,有没有碰头的危险 请说明理由.
(结果精确到0.01 m,参考数据:sin 27°≈0.454,cos 27°≈0.891,tan 27°≈0.510,≈1.732)
5.(应用意识)某学校组织学生在网上游览中央红军长征出发地纪念园,门口的主题雕塑平面示意图如图所示,底座上方四边形GDEF的边DE与底座四边形ABCD的边AD在同一条直线上,已知AB∥CD∥EF,AD=BC=1.6 m,∠FGC=∠A,雕塑的高为7.5 m,底座梯形下底边AB的长为8.6 m,斜坡AD的坡度为3∶1.
(1)判断四边形DEFG的形状.
(2)求底座四边形ABCD中CD的长度.
(3)若雕塑中所在圆的圆心为点D,且P为边DE的三等分点,求的长度.
(结果精确到0.1 m,sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3,≈3.2,π取3.14)
【详解答案】
课堂达标
1.D 解析:∵sin C=,
∴AB=AC·sin C=200sin 20° m.
故选D.
2.A 解析:如图,过点A作AC⊥BC于点C.
在Rt△ABC中,sin B=,
则AC=AB·sin B=80sin 64° m.
故选A.
3.D 解析:由题意,得AC⊥BC,
∵迎水坡AB的坡比是1∶,
∴.
∴设BC=x,则AC=x.
在Rt△ABC中,∵AB=x,
∴sin A=.
故选D.
4.20 解析:如图,过点A作AC⊥BC,垂足为C.
∵AC=10 m,
在Rt△ABC中,tan B=,
∴∠B=30°.∴AB=2AC=20 m.
∴该物体所经过的路程是20 m.
5.解:(1)由题意,得DE⊥BF.
∵DC的坡比为1∶1,∴.
∵DE=6 m,∴CE=DE=6 m.
∵DF的坡比为1∶1.5,
∴.∴EF=1.5DE=9 m.
∴CF=EF-CE=9-6=3(m).
∴CF的长度为3 m.
(2)∵DE⊥BF,DE=6 m,CF=3 m,
∴S△CDF=CF·DE=×3×6=9(m2).
∵大坝长100 m,
∴100×9=900(m3).
∴加固背水坡所用的土石为900 m3.
6.解:(1)∵MC=AB=10 cm,∠ACM=63°,
∴AM=MC·tan∠ACM=MC·tan 63°≈10×2.0=20(cm).
∴连接水管AM的长为20 cm.
(2)如图,连接BC.
∵AB∥MC,AB=MC,
∴四边形ABCM为平行四边形.
∵∠AMC=90°,
∴四边形ABCM为矩形.
∴BC=AM=20 cm,∠BCD=90°.
∵∠BDC=30°,
∴BD=2BC=40 cm.
∴CD==20≈34.6 cm.
∴水盆两边缘点C,D之间的距离约为34.6 cm.
课后提升
1.D 解析:由题意,得AH⊥BH.
∵斜坡AB的坡比接近3∶4,
∴.
∴设AH=3x m,则BH=4x m.
在Rt△ABH中,AB===5x(m).
∵AB=n m,
∴5x=n.解得x=.
∴AH= m.故选D.
2.A 解析:如图,延长BD交CA于点E.
由题意,得BE⊥CE,BE=3×18=54(cm),AE=2×30=60(cm).
∵斜坡BC的坡度i=1∶5,
∴.
∴CE=5BE=270 cm.
∴AC=CE-AE=270-60=210(cm).
∴AC的长度为210 cm.故选A.
3.1 800 解析:如图,连接AC.
由题意,得∠MCA=60°=∠CAH.
∵BC的坡比为1∶,
∴.∴∠B=30°.
∴∠ACB=∠B=30°.
∴AB=CA==1 800(m).
4.解:(1)如图,过点B'作B'E⊥AD,垂足为E.
在Rt△AB'E中,
∵∠B'AD=27°,AB'=AB=1 m,
∴sin∠B'AD=sin 27°=.
∴B'E=AB'·sin 27°≈1×0.454=0.454(m).
∵平行线间的距离处处相等,
∴B'E+AO=0.454+1.7=2.154≈2.15(m).
∴车后盖最高点B'到地面l的距离约为2.15 m.
(2)没有碰头的危险.理由如下:
如图,过点C'作C'F⊥B'E,垂足为F.
∵∠B'AD=27°,∠B'EA=90°,
∴∠AB'E=90°-∠B'AD=63°.
∵∠AB'C'=∠ABC=123°,
∴∠C'B'F=∠AB'C'-∠AB'E=60°.
在Rt△B'FC'中,B'C'=BC=0.6 m.
∵cos∠C'B'F=cos 60°=,
∴B'F=B'C'·cos 60°=0.3 m.
∵平行线间的距离处处相等,
∴点C'到地面的距离为2.15-0.3=1.85(m).
∵1.85>1.8,
∴没有碰头的危险.
5.解:(1)如图,延长FG交AB于点Q.
∵AB∥CD,∴∠FGC=∠FQB.
∵∠FGC=∠A,∴∠FQB=∠A.
∴FQ∥EA.
∵CD∥EF,
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)如图,过点D,C分别作AB的垂线DM,CN.
∵AD=BC,DC∥AB,
∴四边形ABCD是等腰梯形.
∴AM=BN.
∵斜坡AD的坡度为3∶1,
∴设AM=k m,则DM=3k m.
在Rt△ADM中,
∵AM2+DM2=AD2,
∴k2+(3k)2=1.62.
解得k=≈=0.5(负值已舍去).
∴AM=BN=0.5 m,DM=1.5 m.
∴CD=AB-AM-BN=8.6-0.5-0.5=7.6(m).
∴底座四边形ABCD中CD的长度约为7.6 m.
(3)∵tan∠DAM=3∶1,tan 72°≈3,
∴∠DAM≈72°.
∵DC∥AB,
∴∠PDH=∠DAM≈72°.
如图,过点E作EI⊥AB交CD于点J.
∵AB∥CD,∴EJ⊥CD.
由题意,得EI=7.5 m,IJ=DM=1.5 m.
∴EJ=EI-IJ=7.5-1.5=6(m).
在Rt△EDJ中,∵sin∠EDJ=,
∴DE=≈≈6.32(m).
∵P为边DE的三等分点,
∴DP=DE=×6.32≈4.21(m).
∴的长度=≈5.3(m).
∴的长度约为5.3 m.28.2.2 应用举例
第1课时 与视角有关的解直角三角形的应用
利用解直角三角形解决简单问题
1.(2024唐山古冶区期末)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC=20 cm,∠ABC=α,则高AD为 ( )
A.20sin α cm B.40cos α cm
C.20tan α cm D. cm
2.如图是一把圆规的平面示意图,OA是支撑臂,OB是旋转臂.已知OA=OB=a,使用时,以点A为支撑点,笔芯端点B可绕点A旋转作出圆.若支撑臂与旋转臂的夹角∠AOB=2θ,则圆规能画出的圆的半径AB的长度为 ( )
A.2asin θ B.asin 2θ
C.2atan θ D.atan 2θ
3.如图,彩旗旗杆AB用AC,AD两根钢丝固定在地面上,点A,B,C,D在同一平面内,AB⊥CD,BC=2 m,∠ACB=45°,∠ADB=30°.
(1)求旗杆AB部分的长.
(2)求钢丝的总长度(结果保留根号).
仰角、俯角问题
4.如图,小明在点C处测得树的顶端点A处的仰角为α,同时测得BC=15 m,则树的高度AB为( )
A.15tan α m B. m
C.15sin α m D. m
5.某滑雪场举办冰雪嘉年华活动,采用直升机航拍技术拍摄活动盛况.如图,通过直升机的镜头C观测水平雪道一端A处的俯角为30°,另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300 m,点A,D,B在同一直线上,则雪道AB的长度为 m.
6.(2024邢台期中)数学活动小组到某景点测量标志性建筑古塔CD的高度.如图,他们在地面上点A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50 m至点B处,测得仰角为60°,点A,B,C在同一直线上.(身高忽略不计,结果保留根号)
(1)求证:AB=BD.
(2)求塔CD的高度.
1.(2024张家口宣化区期末)如图,钓鱼竿AC长8 m,露在水面上的鱼线BC长4 m,钓者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC逆时针转动15°到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'的长度是( )
A.3 m B.3 m C.4 m D.4 m
2.2024年5月3日17时27分,搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭在海南文昌航天发射中心成功点火发射.如图,在发射的过程中,火箭从地面O处竖直向上发射,当火箭到达点A处时,从位于地面点C处的雷达站测得AC的距离是8 km,仰角为30°;当火箭到达点B处时,从位于地面点C处的雷达站测得仰角为45°,则从点A处到点B处的飞行距离为 ( )
A.4 km B.4 km
C.(4-4)km D.(4+4)km
3.如图,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处.若已知杠杆AB=6 m,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3 m,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时,∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为 m.(结果保留根号)
4.某科技小组利用无人机测量高速路口一广告牌AB的高度.如图,在广告牌AB的对面楼CD的顶点C处测得点A的俯角为24°,无人机从点C出发沿水平方向向左移动15 m到达点E,此时测得点A的俯角为48°.(图中的点均在同一平面内)
(1)求广告牌AB与楼CD之间的距离BD.
(2)已知楼CD的高为26 m.若市政规定此处的广告牌的高度不高于16 m,且不低于10 m,请判断该广告牌的高度是否符合要求,并说明理由(参考数据:≈2.2).
5.(应用意识)如图,塔AB前有一座高为DE的观景台,已知CD=6 m,∠DCE=30°,点E,C,A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台点C处测得塔顶部B的仰角为45°,在观景台点D处测得塔顶部B的仰角为27°.
(1)求DE的长.
(2)设塔AB的高度为h(单位:m).
①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号).
②求塔AB的高度(tan 27°取0.5,取1.7,结果取整数).
【详解答案】
课堂达标
1.A 解析:在Rt△ABD中,AD=AB·sin∠ABC=20sin α cm.故选A.
2.A 解析:如图,过点O作OC⊥AB交AB于点C.
∵OA=OB,
∴OC平分∠AOB,点C平分AB.
∵∠AOB=2θ,
∴∠AOC=θ.
∵OA=OB=a,
∴AC=asin θ.∴AB=2AC=2asin θ.
故选A.
3.解:(1)∵AB⊥CD,
∴∠ABC=∠ABD=90°.
∵∠ACB=45°,BC=2 m,
∴AB=BC·tan∠ACB=2×1=2(m).
∴旗杆AB部分的长为2 m.
(2)∵∠ABC=90°,AB=2 m,BC=2 m,
∴AC==2 m.
∵∠ABD=90°,∠ADB=30°,AB=2 m,
∴AD=2AB=4 m.
∴钢丝的总长度=AC+AD=(2+4)m.
∴钢丝的总长度为(2+4)m.
4.A 解析:在Rt△ABC中,BC=15 m,∠ACB=α,tan α=,∴AB=BC·tan α=15tan α m.故选A.
5.(300+300) 解析:根据题意,得∠BCD=45°,∠DCA=60°.
∴∠A=90°-∠DCA=30°,∠B=45°.∵CD⊥AB,CD=300 m,∴AD==300(m),BD==300(m).∴AB=AD+BD=(300+300) m.
∴雪道AB的长度为(300+300)m.
6.解:(1)证明:∵∠DAB=30°,∠DBC=∠A+∠ADB=60°,
∴∠ADB=∠DBC-∠DAB=60°-30°=30°.
∴∠A=∠ADB=30°.
∴AB=BD.
(2)∵AB=50 m,
∴BD=50 m.
又∵∠DCB=90°,
∴CD=BD·sin∠CBD=50×=25(m).
∴塔CD的高度为25 m.
课后提升
1.D 解析:由题意,得AC'=AC=8 m.
∵sin∠CAB=,
∴∠CAB=45°.
∵∠C'AC=15°,
∴∠C'AB'=∠CAB+∠C'AC=60°.
∴sin∠C'AB'=sin 60°=.
解得B'C'=4.故选D.
2.C 解析:在Rt△AOC中,∵∠AOC=90°,∠ACO=30°,AC=8 km,
∴AO=AC·sin 30°=AC=×8=4(km),OC=AC·cos 30°=AC=×8=4(km).在Rt△BOC中,∵∠BOC=90°,∠BCO=45°,∴OB=OC=4 km,∴AB=OB-OA=(4-4) km.故选C.
3.(3+) 解析:如图,过点O作OC⊥BT,垂足为C.
由题意,得BC∥OM.
∴∠AOM=∠OBC=45°.
∵AB=6 m,AO∶OB=2∶1,
∴AO=4 m,OB=2 m.
在Rt△OBC中,BC=OB·cos 45°=2×(m).
∵OM=3 m,
∴此时点B到水平地面EF的距离=BC+OM=(3+)m.
4.解:(1)如图,延长BA交CE于点G.
由题意,得BG⊥CG,CG=BD,∠AEG=48°,∠ACE=24°,CE=15 m.
∵∠AEG是△AEC的一个外角,
∴∠EAC=∠AEG-∠ACE=24°.
∴∠EAC=∠ACE=24°.
∴EA=EC=15 m.
在Rt△AEG中,
∵EG=AE·cos 48°≈15×=10(m),
∴BD=CG=EG+EC=10+15=25(m).
∴广告牌AB与楼CD之间的距离BD约为25 m.
(2)该广告牌的高度符合要求.理由如下:
由题意,得GB=CD=26 m.
在Rt△AEG中,∵AE=15 m,EG=10 m,
∴AG==5(m).
∴AB=BG-AG=26-5≈15(m).
∵市政规定此处的广告牌的高度不高于16 m,且不低于10 m,
∴该广告牌的高度符合要求.
5.解:(1)由题意,得DE⊥EC.
在Rt△DEC中,
∵CD=6 m,∠DCE=30°,
∴DE=CD=3 m.
∴DE的长为3 m.
(2)①由题意,得BA⊥EA.
在Rt△DEC中,
∵DE=3 m,∠DCE=30°,
∴CE=DE=3 m.
在Rt△ABC中,
∵AB=h m,∠BCA=45°,
∴AC==h m.
∴AE=EC+AC=(3+h)m.
∴线段EA的长为(3+h)m.
②如图,过点D作DF⊥AB,垂足为F.
由题意,得DF=EA=(3+h)m,DE=FA=3 m.
∵AB=h m,
∴BF=AB-AF=(h-3)m.
在Rt△BDF中,∵∠BDF=27°,
∴BF=DF·tan 27°=0.5(3+h)m.
∴h-3=0.5(3+h).
解得h=3+6≈11.
∴AB=11 m.
∴塔AB的高度约为11 m.第2课时 与方位角有关的解直角三角形的应用
利用方位角解直角三角形
1.如图,以机场为观测点,飞机甲在北偏东30°方向30 km处,则在南偏东60°方向60 km处的是 ( )
A.乙 B.丙 C.丁 D.甲
2.(2024唐山乐亭县期中)如图,海中有一小岛A,在点B处测得小岛A在北偏东30°方向上,渔船从点B处出发由西向东航行10 n mile到达点C处,在点C处测得小岛A恰好在正北方向上,此时渔船与小岛A的距离为 ( )
A. n mile B. n mile C.20 n mile D.10 n mile
3.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向,距离灯塔2 n mile的点A处,如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向,海轮航行的距离AB的长是 ( )
A. n mile B.2sin 55° n mile C. n mile D.2cos 55° n mile
4.如图,一艘快艇从A地出发,向正北方向航行5 n mile后到达B地,然后右转60°继续航行到达C地.若C地在A地北偏东30°方向上,则AC的长为 ( )
A.5 n mile B. n mile
C.5 n mile D. n mile
5.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向,距离灯塔60 n mile的点A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的点B处,这时,点B处与灯塔P的距离为 n mile.
6.如图,小欢从公共汽车站A出发,沿北偏东30°方向走2 000 m到达东湖公园B处,参观后又从点B处沿正南方向行走一段距离,到达位于公共汽车站南偏东45°方向的图书馆C处.
(1)求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间的最短距离.
(2)如果小欢以100 m/min的速度从图书馆C沿CA回到公共汽车站A,那么她在15 min内能否到达公共汽车站(注:≈1.414,≈1.732)
1.如图,嘉淇一家自驾到风景区C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4 km至B地,再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C,嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向,那么B,C两地的距离为 ( )
A.2 km B.(2+3)km
C.3 km D.5 km
2.如图,淇淇一家驾车从A地出发,沿着北偏东60°的方向行驶,到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地,C地恰好位于A地正东方向上,则①B地在C地的北偏西50°方向上;②A地在B地的北偏西30°方向上;③cos∠BAC=;④∠ACB=50°.其中错误的是 ( )
A.①② B.②④ C.①③ D.③④
3.某区域的平面示意图如图,点O在河的一侧,AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在点A处测得点O位于北偏东45°,乙勘测员在点B处测得点O位于南偏西73.7°,测得AC=840 m, BC=500 m,则点O到BC的距离为( )
A.140 m B.340 m C.360 m D.480 m
4.如图,一段东西向的限速公路MN长500 m,在此公路的南面有一监测点P,从监测点P观察,限速公路MN的端点M在监测点P的北偏西60°方向,端点N在监测点P的东北方向,那么监测点P到限速公路MN的距离是 m.(结果保留根号)
5.东昌湖西岸的明珠大剧院,隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应.如图所示,城门楼B在角楼A的正东方向520 m处,南关桥C在城门楼B的正南方向1 200 m处.在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向,南关桥C在南偏东56.31°方向(点A,B,C,P四点在同一平面内).求明珠大剧院到龙堤BC的距离.(结果精确到1 m,参考数据:sin 68.2°≈0.928,cos 68.2°≈0.371,tan 68.2°≈2.50,sin 56.31°≈0.832,cos 56.31°≈0.555,tan 56.31°≈1.50)
6.(应用意识)如图,某渔船沿正东方向以30 n mile/h的速度航行,在点A处测得岛C在北偏东60°方向,20 min后渔船航行到点B处,测得岛C在北偏东30°方向,已知岛C周围9 n mile内有暗礁.(参考数据:≈1.732,sin 75°≈0.966,cos 75°≈0.259)
(1)点B处离岛C n mile.
(2)如果渔船继续向东航行,有无触礁危险 请说明理由.
(3)如果渔船在点B处改为向东偏南15°方向航行,有无触礁危险 请说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.B 解析:∵以机场为观测点,飞机甲在北偏东30°方向30 km处,
∴南偏东60°方向60 km处的是丙.
故选B.
2.D 解析:由题意,得AC⊥BC.
在Rt△ABC中,∠ABC=90°-30°=60°,BC=10 n mile,
∴AC=BC·tan 60°=10 n mile.
∴此时渔船与小岛A的距离为10 n mile.
故选D.
3.D 解析:由题意,得AB⊥BP,
NP∥AB,∠NPA=55°.
∴∠NPA=∠A=55°.
在Rt△APB中,
∵AP=2 n mile.
∴AB=AP·cos 55°=2cos 55°(n mile).
∴海轮航行的距离AB的长是2cos 55° n mile.
故选D.
4.C 解析:如图,过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.
由题意,得AB=5 n mile,∠CBD=60°,∠CAB=30°.
∴∠ACB=∠CBD-CAB=60°-30°=30°.
∴∠ACB=∠CAB.
∴BC=AB=5 n mile.
在Rt△BCD中,∵sin∠CBD=,
∴CD=5·sin 60°=(n mile).
在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,
∴CD=AC.
∴AC=2CD=5 n mile.故选C.
5.60 解析:如图,过点P作PC⊥AB,垂足为C.
在Rt△APC中,
∵AP=60 n mile,∠APC=90°-45°=45°,
∴PC=AP·cos 45°=60×=30(n mile).在Rt△CBP中,
∵∠BPC=90°-30°=60°,
∴BP==60(n mile).
∴点B处与灯塔P的距离为60 n mile.
6.解:(1)如图,过点A作AD⊥BC于点D.
∵点B位于点A的北偏东30°方向,AB=2 000 m,
∴∠B=30°,AD=AB=1 000 m.
∴小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间的最短距离是1 000 m.
(2)在Rt△ADC中,
∵∠DAC=45°,AD=1 000 m,
∴AC==1 000≈1 414(m).
∵1 414<15×100,
∴小欢15 min内能到达公共汽车站.
课后提升
1.A 解析:如图所示,过点B作BD⊥AC于点D.
由题意,得∠BAC=60°,∠ABC=180°-60°-45°=75°.
∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=45°.
∵BD⊥AC,
∴∠BDC=∠BDA=90°.
∴∠ABD=30°,∠DBC=45°=∠C.
∴AD=AB=2 km,CD=BD.
∴CD=BD==2 km.
∴BC==2 km.故选A.
2.B 解析:如图所示,
由题意,得∠1=60°,∠4=50°.
∴∠5=∠4=50°,即B地在C地的北偏西50°方向上.故①正确;
∵∠2=∠1=60°,
∴A地在B地的南偏西60°方向上.故②错误;
∵∠1=∠2=60°,
∴∠BAC=30°.
∴cos∠BAC=.故③正确;
∠ACB=90°-∠5=40°.故④错误.故选B.
3.D 解析:如图,过点O分别作OM⊥BC于点M,ON⊥AC于点N.
∴四边形ONCM为矩形.
∴ON=MC,
OM=NC.
设OM=x m,
则NC=x m,AN=(840-x)m.
在Rt△ANO中,∵∠OAN=45°,
∴ON=AN=(840-x)m,MC=ON=(840-x)m.
在Rt△BOM中,BM=x.
由题意,得840-x+x=500.
解得x=480.
∴点O到BC的距离为480 m.
故选D.
4.(250-250) 解析:如图,过点P作PA⊥MN于点A.
则∠PAM=∠PAN=90°.设PA=x m.
由题意,得∠MPA=60°,∠NPA=45°.
∴△PAN是等腰直角三角形.
∴NA=PA=x m.
∵tan∠MPA==tan 60°=,
∴MA=PA=x(m).
∵MA+NA=MN=500,
∴x+x=500.解得x=250-250.
∴监测点P到限速公路MN的距离是(250-250)m.
5.解:如图,过点P作PE⊥BC于点E,过点A作AD⊥PE于点D.
∴四边形ADEB是矩形.
∴DE=AB=520 m.
设PD=x m.
在Rt△APD中,
∵∠PAD=68.2°,
∴AD=≈ m.
∴BE=AD= m.
∴PE=PD+DE=(x+520)m,CE=BC-BE=1 200-m.
在Rt△PCE中,tan C=tan 56.31°=≈1.5.
解得x=800.
∴PD=800 m.
∴PE=PD+DE=800+520=1 320(m).
∴明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1 320 m.
6.解:(1)10
(2)渔船继续向东航行,有触礁危险.理由如下:
如图,过点C作CO⊥AB于点O.
∴CO为渔船向东航行到岛C的最短距离,
由题意,得∠CAB=90°-60°=30°,∠CBO=90°-30°=60°.
∵CO⊥AB,∠CBO=60°,BC=10,
∴CO=sin 60°·BC=5≈8.66<9.
∴如果渔船继续向东航行,有触礁危险.
(3)如果渔船在点B处改为向东偏南15°方向航行,没有触礁危险.理由如下:
如图,过点C作CD⊥BF,交BF于点D,交BO于点E.
在Rt△BCD中,∵∠CBD=∠CBO+∠DBO=60°+15°=75°,BC=10,
∴CD=BC·sin 75°≈9.66>9.
∴没有触礁的危险.
