29.1 投影
第1课时 平行投影与中心投影
平行投影
1.下列光线所形成的投影是平行投影的是 ( )
A.太阳光线
B.台灯的光线
C.手电筒的光线
D.路灯的光线
2.正方形在太阳光下的投影不可能是 ( )
A.正方形
B.一条线段
C.矩形
D.三角形
中心投影
3.在一直线上有几根竹竿.它们在同一灯光下的影子(图中的粗线段)如图所示.
(1)根据灯光下的影子确定光源的位置.
(2)画出竹竿AB的影子(用线段表示).
(3)画出影子为CD的竹竿(用线段表示).
1.孟母像位于太谷区孟母园内.在晴天的日子里,从早到晚在太阳光下的孟母像的影子长度的变化情况为 ( )
A.逐渐变长
B.逐渐变短
C.先逐渐变短,后逐渐变长
D.保持不变
2.如图,在路灯下,小明的身高如线段AB所示,他在地面上的影子如线段AC所示,小亮的身高如线段FG所示,路灯灯泡在线段DE上.
(1)请你确定灯泡所在的位置,并画出小亮在灯光下形成的影子.
(2)如果小明的身高AB=1.6 m,他的影子长AC=1.4 m,且他到路灯的距离AD=2.1 m,求灯泡离地面的高度.
3.(应用意识)李航想利用太阳光测量楼高.他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:如示意图所示,李航边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2 m,CE=0.6 m,CA=30 m(点A,E,C在同一直线上).已知李航的身高EF是1.6 m,请你帮李航求出楼高AB.
【详解答案】
课堂达标
1.A 解析:四个选项中只有太阳光可认为是平行光线,故太阳光线下形成的投影是平行投影.故选A.
2.D 解析:在同一时刻,平行物体的投影仍旧平行.则正方形在太阳光下的影子得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形或线段,不可能是三角形.故选D.
3.解:(1)如图,点P即为光源所在位置.
(2)BE即为竹竿AB的影子.
(3)CF是以CD为影子的竹竿.
课后提升
1.C 解析:从早晨太阳升起的那一刻起到正午,孟母像在地面上的影子由长变短;由正午到晚上日落前,孟母像在地面上的影子由短变长.故选C.
2.解:(1)如图,点O即为灯泡所在的位置,线段FH为小亮在灯光下形成的影子.
(2)∵AB∥DE,
∴△CBA∽△COD.
∴,即,
解得OD=4.
∴灯泡离地面的高度为4 m.
3.解:如图,过点D作DN⊥AB于点N,交EF于点M.由题意,得ME⊥AC,DC⊥AC,BA⊥AC.
∴四边形CDME、ACDN是矩形.
∴AN=ME=CD=1.2 m,DN=CA=30 m,DM=CE=0.6 m.
∴MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4(m).
∵EF∥AB.
∴△DFM∽△DBN.
∴,即.
∴BN=20 m.
∴AB=BN+AN=20+1.2=21.2(m).
∴楼高AB为21.2 m.第2课时 正投影及其性质
正投影的概念
1.矩形的正投影不可能是 ( )
A.矩形 B.梯形 C.正方形 D.线段
2.一个正五棱柱如图摆放,光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是 ( )
A B C D
3.如图所示,画出物体满足下列条件的正投影.
(1)投影线由物体前方射到后方.
(2)投影线由物体左方射到右方.
(3)投影线由物体上方射到下方.
正投影的性质与计算
4.木棒的长为1.5 m,则它的正投影的长一定 ( )
A.大于1.5 m B.小于1.5 m
C.等于1.5 m D.小于或等于1.5 m
5.(2024菏泽巨野县期末)如图,A1B1是线段AB在投影面上的正投影,AB=20 cm,∠ABB1=70°,则投影A1B1的长为 ( )
A.20sin 70° cm B.20cos 70° cm
C.20tan 70° cm D. cm
6.如图,正方形纸板ABCD在投影面上的正投影为A1B1C1D1,其中边AB,CD与投影面平行,AD,BC与投影面不平行.若正方形ABCD的边长为5 cm,∠BCC1=45°,求其投影A1B1C1D1的面积.
7.如图是一个几何体从正面和上面照射下的正投影,其尺寸大小如图所示,求该几何体的体积.(π取3.14)
1.图中的几何体是用3个大小相同的正方体拼成的,它的正投影不可能是 ( )
A. B. C. D.
2.若只增大物体与投影面之间的距离,则其正投影 ( )
A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定
3.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影,则该圆锥的侧面积是 .
4.如图,一块含30°角的直角三角形木板ABC,将它的直角顶点C放置于直线上,点A,B在直线l上的正投影分别是点P,Q.若AB=20,BQ=6,求AB在直线l上的正投影的长.
5.一个几何体如图所示.
(1)画出下列物体的各个正投影.
①投影线由物体前方射到后方.
②投影线由物体左方射到右方.
③投影线由物体上方射到下方.
(2)求出该几何体的表面积和体积.
6.(推理能力)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,投影线方向如图所示,点C在斜边AB上的正投影为点D.
(1)试写出边AC,BC在AB上的投影.
(2)试探究线段AC,AB和AD之间的关系.
(3)线段BC,AB和BD之间也有类似的关系吗 请直接写出结论.
【详解答案】
课堂达标
1.B 解析:用平行光线对矩形从不同的方向、不同的角度正投影,可以得到矩形、正方形、线段,不可能是梯形,故选B.
2.B 解析:把一个正五棱柱如题图摆放,光线由上向下照射此正五棱柱时的正投影是正五边形.故选B.
3.解:(1)如图所示:
(2)如图所示:
(3)如图所示:
4.D 解析:正投影的长度与木棒的摆放角度有关系,但无论怎样摆都不会超过1.5 m.故选D.
5.A 解析:如图,过点A作AH⊥BB1于点H,则四边形AHB1A1是矩形.
∴AH=A1B1.在Rt△ABH中,
∵AH=AB·sin 70°=20sin 70°(cm),
∴A1B1=AH=20sin 70° cm.故选A.
6.解:如图,过点B作BH⊥CC1于点H.
∵∠BCC1=45°,
∴BH=BC= cm.
∵正方形纸板ABCD在投影面上的正投影为A1B1C1D1,
∴B1C1=BH= cm,C1D1=CD=5 cm.
∴四边形A1B1C1D1的面积=×5=(cm2).
7.解:由题图可知,该几何体的下半部分是长方体,上半部分是圆柱.
∴该几何体的体积为30×25×40+3.14××32=30×25×40+3.14×100×32=30 000+10 048=40 048(cm3).
课后提升
1.C 解析:A.从正面看第一层两个小正方形,第二层右边一个小正方形,故A不符合题意;B.从上面看是两个并排的小正方形,故B不符合题意;C.从哪个方向看都不是并排的三个小正方形,故C符合题意;D.从左边看上边一个小正方形,下边一个小正方形,故D不符合题意.故选C.
2.C 解析:若只增大物体与投影面之间的距离,则其正投影不变.故选C.
3.2π 解析:∵BC=4,AD=3,AD⊥BC,AB=AC,∴CD=BC=2.
在Rt△ACD中,AC=,
∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×2×=2π.
4.解:在Rt△ABC中,∠ABC=30°,AB=20,
∴AC=AB=10,BC=AB·cos 30°=20×=10.
∵点A,B在直线l上的正投影分别是点P,Q,
∴∠APC=∠CQB=90°.
在Rt△CBQ中,CQ==8.
∵∠CAP+∠ACP=90°,∠BCQ+∠ACP=90°,
∴∠CAP=∠BCQ.
∴△ACP∽△CBQ.
∴,即.
∴CP==6.
∴PQ=PC+CQ=6+8.
∴AB在直线l上的正投影的长是6+8.
5.解:(1)①如图所示:
②如图所示:
③如图所示:
(2)该几何体的表面积为9×4.5×3+3×9×2+1.5×9×3+(4.5×4.5-3×1.5)×2=247.5(cm2),
该几何体的体积为(4.5×4.5-3×1.5)×9=141.75(cm3).
6.解:(1)边AC,BC在AB上的投影分别为AD,BD.
(2)∵点C在斜边AB上的正投影为点D,
∴CD⊥AB.
∴∠ADC=90°.
又∵∠DAC=∠CAB.
∴△ADC∽△ACB.
∴AC∶AB=AD∶AC.
∴AC2=AD·AB.
(3)线段BC,AB和BD之间的关系为BC2=BD·AB.
