专题训练九 求锐角三角函数值的方法归类
定义法
1.如图,在锐角三角形ABC中,以BC为直径的半圆O分别交AB,AC于D,E两点,且S△ADE∶S四边形BCED=1∶2,则cos∠BAC的值是 ( )
A. B. C. D.
2.如图,将∠BAC放置在5×5的正方形网格中,如果顶点A,B,C均在格点上,那么tan∠BAC的值为 .
3.如图,P是∠α的边OA上的一点,已知点P的横坐标为6,sin α=.
(1)求点P的纵坐标.
(2)求∠α其他的三角函数值.
利用同角或互余角三角函数间的关系
4.若α为锐角,且sin α=,则tan α的值为 ( )
A. B.
C. D.
5.小明在探究一个角的正弦值与余弦值之间的关系时发现:sin2A+cos2A=1,已知在Rt△ABC中,cos B=,则sin B= .
巧设参数
6.(2024哈尔滨南岗区月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,则tan B= ( )
A. B. C. D.
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D为AC上一点,DE⊥AB于点E,AC=12,BC=5.
(1)求cos∠ADE的值.
(2)当DE=DC时,求AD的长.
利用等角代换
8.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,下列三角函数值与的值不相等的是 ( )
A.sin B B.cos A
C.cos∠BCD D.cos∠ACD
9.如图,A,B,C三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB绕着点A 逆时针旋转得到△AC'B',则tan B'的值为 ( )
A. B. C. D.
10.如图,AB是☉O的直径,若AB=15,AC=9,则cos∠ADC= .
11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,将△ABC折叠,使点A落在BC边上的点D处,EF为折痕.若AE=3,则sin∠BFD 的值为 .
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,且AH=2CH.求sin B的值.
巧构直角三角形
13.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sin B的值为 ( )
A. B. C.1 D.
14.(2024阜阳期末)如图,在平面直角坐标系中,OC∶BC=1∶2,OP∥AB交AC的延长线于点P.若点P(1,1),则tan∠OAP的值是 ( )
A. B.
C. D.3
15.如图,在△ABC中,点O是角平分线AD,BE的交点.若AB=AC=20,BC=24,则tan∠OBD的值是 .
16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,延长斜边AB到点D,使AB=4BD,连接CD.若tan∠ABC=,则tan∠BCD= .
17.(2024滁州期末)如图,在△ABC中,AB=AC=4,BC=6.
(1)求sin B的值.
(2)延长BC至点D,使得∠ADB=30°,求CD的长.
【详解答案】
1.D 解析:如图,连接CD.
∵四边形BCED是半圆O的内接四边形,
∴∠ACB+∠BDE=180°.
∵∠ADE+∠BDE=180°,
∴∠ADE=∠ACB,∠DAE=∠CAB.
∴△ADE∽△ACB.
∵S△ADE∶S四边形BCED=1∶2,
∴S△ADE∶S△ACB=1∶3.
∴AD∶AC=∶3.
∵BC为半圆O的直径,∴∠BDC=90°.
∴cos∠BAC=.故选D.
2.1 解析:如图,连接BC.
∴AB=BC=,AC==2.
∴AB2+BC2=AC2.
∴△ABC是等腰直角三角形,
且∠ABC=90°.
∴∠BAC=45°.∴tan∠BAC=1.
3.解:(1)如图,过点P作PM⊥x轴于点M.
∴∠PMO=90°.
∵点P的横坐标为6,
sin α=,
∴.
设PM=4x,则OP=5x.
由勾股定理,得OM2+PM2=OP2,
即62+(4x)2=(5x)2.
解得x=2(负值已舍去).
PM=8,OP=10.
∴点P的纵坐标是8.
(2)∵在Rt△OMP中,∠PMO=90°,OP=10,PM=8,OM=6,
∴cos α=,
tan α=.
4.D 解析:∵α为锐角,且sin α=,
∴cos α=.
∴tan α=.故选D.
5. 解析:由题意,得sin2B+cos2B=1,cos B=.
∴sin B==.
6.C 解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,
设Rt△ABC的三边AB,AC,BC所对应的边为c,b,a.
∵cos A=,∴设b=2x,
则c=3x,a=x.
∴tan B=.
故选C.
7.解:(1)∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°.
∴∠A+∠ADE=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°.
∴∠ADE=∠B.
在Rt△ABC中,∵AC=12,BC=5,
∴AB==13.
∴cos B=.
∴cos∠ADE=cos B=.
(2)由(1),得cos∠ADE=.
设AD为x,则DE=DC=x.
∵AC=AD+CD=12,
∴x+x=12.
解得x=.
∴AD=.
8.D 解析:如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∴∠B+∠BCD=90°,∠A+∠ACD=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°.
∴∠B=∠ACD,∠A=∠BCD.
在Rt△BCD中,sin B=cos∠BCD=.
∵∠A=∠BCD,
∴cos A=cos∠BCD=.
综上所述,A、B、C均不符合题意.故选D.
9.B 解析:如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D.
根据旋转的性质可知,∠B'=∠B.
在Rt△BCD中,
∵tan B=,
∴tan B'=tan B=.故选B.
10. 解析:∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB = 90°,∠ADC=∠ABC.
∵AB=15,AC=9,
∴BC==12.
∴cos∠ADC=cos∠ABC=.
11. 解析:∵在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4,
∴∠A=∠B.
由折叠的性质,得△AEF≌△DEF.
∴∠EDF=∠A,AE=DE.
∴∠EDF=∠B.
∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°.
∴∠CDE=∠BFD.又∵AE=DE=3,
∴CE=4-3=1.
∴在Rt△ECD中,sin∠BFD=sin∠CDE=.
12.解:∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,
∴CD=BD.
∴∠BCD=∠B.
∵AE⊥CD,∠ACB=90°,
∴∠CAH+∠ACH=90°,∠BCD+∠ACH=90°.
∴∠BCD=∠CAH.∴∠B=∠CAH.
∵在Rt△ACH中,AH=2CH,
∴AC=CH.
∵sin∠CAH=,
∴sin B=sin∠CAH=.
13.D 解析:如图,过点A作BC的垂线,与BC的延长线交于点D.
在Rt△ABD中,
∵AD=3,BD=3,
∠ADB=90°,
∴∠ABD=45°.
∴sin B=sin 45°=.故选D.
14.C 解析:如图,过点P作x轴的垂线,垂足为M.
∵OP∥AB,
∴∠ABC=∠POC,∠BAC=∠OPC.
∴△ABC∽△POC.
∴AC∶PC=BC∶OC=2∶1.
∴AC∶AP=2∶3.
又∵PM∥CO,
∴AO∶AM=AC∶AP=2∶3.
∵点P的坐标为(1,1),
∴OM=PM=1.
∴.解得AO=2.
∴AM=2+1=3.
在Rt△PAM中,tan∠OAP=.
故选C.
15. 解析:如图,过点O作AB的垂线,垂足为M.
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,BD=BC=12.
又∵BE平分∠ABC,
∴OD=OM.
在Rt△ABD中,
AD==16.
∵S△ABO+S△DBO=S△ABD,
∴AB·OM+BD·OD=BD·AD.
∴×20·OD+×12·OD=×12×16.
解得OD=6.
在Rt△BOD中,tan∠OBD=.
16. 解析:如图,过点D作CB的垂线,交CB的延长线于点M.
在Rt△ABC中,
∵tan∠ABC=,
即,
∴设AC=3k,BC=4k.
∴AB==5k.
∵AB=4BD,
∴BD=k.
∵∠ACB=∠DMB,∠CBA=∠MBD,
∴△ABC∽△DBM.
∴.
∴DM=k,BM=k.
∴CM=4k+k=5k.
在Rt△DCM中,
tan∠BCD=.
17.解:(1)如图,过点A作BC的垂线,垂足为M.
∵AB=AC=4,BC=6,
∴BM=CM=3.
在Rt△ABM中,
∵AM=,
∴sin B=.
(2)在Rt△ADM中,tan D=tan 30°=,
即,
∴DM=.
∴CD=DM-CM=-3.专题训练十一 构造基本图形解直角三角形的实际问题
构造形如“”(母子型)的两个直角三角形
1.某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动,测量一座诸葛亮铜像的高度.如图,在点C处,探测器显示,热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32 m,从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°,看铜像底部B的俯角为63.4°.已知底座BD的高度为4 m,求铜像AB的高度.(结果保留整数.参考数据:sin 63.4°≈0.89,cos 63.4°≈0.45,tan 63.4°≈2.00,≈1.41)
2.如图,直线MN和EF为河的两岸,且MN∥EF,为了测量河两岸之间的距离,某同学在河岸FE的点B处测得∠CBE=30°,从点B沿河岸FE的方向走40 m到达点D,测得∠CDE=45°.
(1)河两岸之间的距离是多少米(结果保留根号)
(2)若从点D继续沿DE的方向走(12+12)m到达点P,求tan∠CPE的值.
构造形如“”(背靠背型)的两个直角三角形
3.如图,在建筑物AB上,挂着40 m长的宣传条幅AE,从另一建筑物CD的顶端D处看条幅顶端A,仰角为45°,看条幅底端E处,俯角为30°.求两建筑物间的距离BC.(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.41,≈1.73)
4.人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A,B养殖场捕捞海产品.经测量,A在灯塔C的南偏西60°方向,B在灯塔C的南偏东45°方向,且在A的正东方向,AC=3 600 m,如图所示.
(1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果精确到个位).
(2)甲组完成捕捞后,乙组还未完成捕捞,甲组决定前往B处协助捕捞.若甲组航行的平均速度为600 m/min,请计算说明甲组能否在9 min内到达B处
(参考数据:≈1.414,≈1.732)
构造形如“”(拥抱型)的两个直角三角形
5.“游张家界山水,逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色.某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度,测量方案如图,先将无人机垂直上升至距水平地面225 m的点P处,测得奇楼顶端A的俯角为15°,再将无人机沿水平方向飞行200 m到达点Q,测得奇楼底端B的俯角为45°,求奇楼AB的高度.(结果精确到1 m,参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27)
6.如图,AB为东西走向的滨海大道,小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动,小宇在点A处时,某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处,观光船到滨海大道的距离CB为200 m.当小宇沿滨海大道向东步行200 m到达点E时,观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处,此时,观光船恰好在小宇的正北方向.求观光船从点C处航行到点D处的距离.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,sin 68°≈0.93,cos 68°≈0.37,tan 68°≈2.48)
【详解答案】
1.解:由题意,得四边形BFCG、四边形BDEF为矩形.∴BG=CF,CG=BF,EF=BD.
∵在矩形BDEF中,EF=BD=4 m,CE=32 m,
∴CF=32-4=28(m).
∵tan∠CBF=tan 63.4°=,
∴2.00=,即BF=14 m.
∴CG=BF=14 m.
∵∠GCA=45°,∴AG=GC=14 m.
∴AB=BG-AG=CF-AG=28-14=14(m).
∴铜像AB的高度为14 m.
2.解:(1)如图,过点C作CH⊥EF于点H.
在Rt△CHB中,
∵tan∠CBH=tan 30°=,
∴HB=CH.
在Rt△CHD中,∵∠CDH=45°,
∴CH=DH.
又∵HB-DH=BD=40.
∴CH-CH=40.
解得CH=20+20.
∴河两岸之间的距离是(20+20)m.
(2)在Rt△CHP中,HP=HD-PD=CH-PD=20+20-(12+12)=8+8(m).
∴tan∠CPE=.
3.解:如图,过点D作DF⊥AE于点F,设DF=x m.
∵仰角为45°,DF⊥AE,
∴∠DAF=45°.
∴△ADF是等腰直角三角形.
∴AF=DF=x m,
EF=(40-x)m.
在Rt△DEF中,tan∠EDF=tan 30°=,
∴.
∴3(40-x)=x.
∴x≈25.4.
∴两建筑物间的距离BC约为25.4 m.
4.解:(1)如图,过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ACD中,∠ACD=60°,AC=3 600 m,cos 60°=,sin 60°=,
∴AD=3 600×=1 800(m),
CD=×3 600=1 800(m).
在Rt△BCD中,∠BCD=45°,
∴∠B=∠BCD=45°.∴BD=CD=1 800 m.
∴BC==1 800≈1 800×1.414≈2 545(m).
∴B养殖场与灯塔C的距离约为2 545 m.
(2)AB=AD+BD=1 800+1 800≈1 800×1.732+1 800=4 917.6(m),
600×9=5 400(m).
∵5 400 m>4 917.6 m.
∴甲组能在9 min内到达B处.
5.解:如图,延长BA交PQ的延长线于点C.
则∠ACQ=90°.
由题意,得BC=225 m,PQ=200 m.
在Rt△BCQ中,∵∠BQC=45°,
∴CQ=BC=225 m.
∴PC=PQ+CQ=425 m.
在Rt△PCA中,
tan∠APC=tan 15°=≈0.27,
∴AC≈114.75 m.
∴AB=BC-AC=225-114.75=110.25≈110(m).
∴奇楼AB的高度约为110 m.
6.解:如图,过点C作CF⊥DE于点F.
由题意,得∠D=40°,
∠ACB=68°.
在Rt△ABC中,
∠CBA=90°,
∵tan∠ACB=,
∴AB=CB·tan 68°≈200×2.48=496(m).
∴BE=AB-AE=496-200=296(m).
∵∠CFE=∠FEB=∠CBE=90°,
∴四边形FEBC为矩形.
∴CF=BE=296 m.
在Rt△CDF中,∠DFC=90°.
∵sin D=,
∴CD=≈=462.5(m).
∴观光船从点C处航行到点D处的距离约为462.5 m.专题训练十 解直角三角形的常用方法
已知两边
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC的中点,AB=5,AC=3.
(1)求AD的长.
(2)求sin∠DAB的值.
2.(2024承德兴隆县期末)如图,在四边形ABCD中,∠DCB=∠B=90°,对角线CA⊥AD,AB=8,BC=6,P为折线BA-AD上的点.
(1)求AD的长.
(2)若点P在∠ACB的平分线上,求AP的长.
(3)若AP=2,求tan∠PCB的值.
备用图 备用图
已知一边和一锐角
3.如图,已知在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,AD=2,BD=6,tan B=,E是边BC的中点.
(1)求边AC的长.
(2)求sin∠EAB的值.
4.如图,已知在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A=60°,求BC的长.
(2)若sin A=,求AD的长.
(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
已知非直角三角形中的边和角
5.如图,在△ABC中,∠B=45°,CD是AB边上的中线,过点D作DE⊥BC,垂足为E.若CD=5,sin∠BCD=.
(1)求BC的长.
(2)求tan∠ACB的值.
解直角三角形与其他知识的综合
6.如图, ABCD在平面直角坐标系中,AD=6.若OA,OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根,且OA>OB.
(1)求sin∠ABC的值.
(2)若E为x轴上的点,且S△AOE=,求出点E的坐标,并判断△AOE与△DAO是否相似,请说明理由.
7.如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,Q是x轴上方抛物线上一点,射线QM⊥x轴于点N.若QM=BM,且tan∠MBN=,请直接写出点Q的坐标.
(3)如图2,E是第一象限内一点,连接AE交y轴于点D,AE的延长线交抛物线于点P,点F在线段CD上,且CF=OD,连接FA,FE,BE,BP,若S△AFE=S△ABE,求△PAB的面积.
图1 图2
【详解答案】
1.解:(1)∵∠C=90°,AB=5,AC=3,
∴BC==4.
∵D是BC的中点,∴CD=BC=2.
∴AD=.
(2)如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E.
∵D为BC的中点,
∴S△ACD=S△ADB=AC·CD=3.
∵S△ABD=AB·DE=3,
∴DE=.
∴sin∠DAB=.
2.解:(1)∵∠B=90°,AB=8,BC=6,
∴AC==10.
∵∠DCB=∠B=90°,
∴DC∥AB.∴∠DCA=∠CAB.
∵CA⊥AD,∴∠DAC=∠B.
∴△DAC∽△CBA.
∴,即.
∴AD=.
(2)如图,设AP=x,则PB=AB-AP=8-x.过点P作PH⊥AC,垂足为H.
∵CP为∠ACB的平分线,∠B=90°,
∴PH=PB=8-x.
∵∠PAH=∠CAB,
∠AHP=∠B,
∴△APH∽△ACB.
∴,即.
∴AP=5.
(3)分两种情况:
①当点P在AB边上时,如图1,
∵AP=2,∴PB=6.∴tan∠PCB==1.
图1 图2
②当点P在AD边上时,如图2,过点P作PE⊥BC于点E,过点P作PF⊥BA交BA的延长线于点F.
∵∠B=∠F=∠BEP=90°,
∴四边形PFBE是矩形.
∴PF=BE,PE=FB.
∵∠F=∠B=∠PAC,
∴∠PAF+∠APF=∠PAF+∠CAB=90°.
∴∠APF=∠CAB.
∴△APF∽△CAB.
∴,即.
∴PF=,AF=.
∴BE=PF=.
∴CE=CB-BE=6-,
PE=AF+AB=+8=.
∴tan∠PCB=.
综上所述,tan∠PCB的值为1或.
3.解:(1)∵CD⊥AB,
∴△CDA、△CDB均为直角三角形.
在Rt△CDB中,
∵BD=6,tan B=,
∴CD=4.
在Rt△CDA中,
AC==2.
(2)如图,过点E作EF⊥AB,垂足为F.
∵CD⊥AB,EF⊥AB,
∴CD∥EF.
又∵E是边BC的中点,
∴EF是△CDB的中位线.
∴DF=BF=BD=3,EF=CD=2.
∴AF=AD+DF=5.
在Rt△AEF中,
AE=,
∴sin∠EAB=.
4.解:(1)∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tan A=,
∴∠E=30°,BE=tan 60°·6=6.
又∵∠CDE=90°,CD=4,sin E=,∠E=30°,
∴CE=2CD=8.
∴BC=BE-CE=6-8.
(2)∵∠ABE=90°,AB=6,sin A=,∴设BE=4x,则AE=5x,AB==3x.
∴3x=6.∴x=2.
∴BE=8,AE=10.
∴tan E=.
解得DE=.
∴AD=AE-DE=10-.
∴AD的长为.
5.解:(1)∵DE⊥BC,sin∠BCD=,
∴设DE=3x,
则CD=5x,CE==4x.
∵CD=5,∴x=1.
∵∠B=45°,∴BE=DE=3x.
∴BC=BE+CE=7x=7.
(2)如图,过点A作AF⊥BC于点F.
∴DE∥AF.
∵D是AB的中点,
∴DE是△ABF的中位线.
∴AF=2DE,BF=2BE.
由(1)可知,DE=BE=3,
∴AF=6,BF=6.
∴CF=BC-BF=7-6=1.
∴tan∠ACB==6.
6.解:(1)解方程x2-7x+12=0,
得x1=3,x2=4.
∵OA>OB,∴OA=4,OB=3.
由勾股定理,得
AB==5.
∴在Rt△OAB中,sin∠ABC=.
(2)∵S△AOE=,
∴OA·OE=.
∴OE=.
∴点E的坐标为或.
△AOE与△DAO相似.理由如下:
∵,,∴.
∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥OC.
∴∠AOE=∠DAO=90°.∴△AOE∽△DAO.
7.解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)·(x-3)=a(x2-2x-3).
∴-3a=3.∴a=-1.∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)点Q的坐标为(2,3)或-,.
解法提示:由(1)可知,抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
设点Q(m,-m2+2m+3),则点N(m,0).
∴BN=3-m.
∵tan∠MBN=,即,
∴MN=(3-m).∴BM=(3-m).
∴QM=BM=(3-m).
如图1.分两种情况讨论:
①当点M在线段QN上时,Q1N1=Q1M1+M1N1,
∴-m2+2m+3=(3-m)+(3-m),
即m2-5m+6=0.
解得m1=2,m2=3(舍去).
当m=2 时,-m2+2m+3=3,
∴点Q1的坐标为(2,3);
图1
②当点M在线段QN的延长线上时,Q2N2=Q2M2-M2N2,
∴-m2+2m+3=(3-m)-(3-m),
即3m2-7m-6=0,解得m1=-,m2=3(舍去).
当m=-时,-m2+2m+3=.
∴点Q2的坐标为.
综上所述,点Q的坐标为(2,3)或.
(3)如图2,过点F作FH⊥AP于点H,过点 B作BG⊥AP于点G,过点B作BK∥y轴交 AP的延长线于点K.∴KB∥y轴.
∴∠FDH=∠K,∠FHD=∠BGK=90°.
又∵S△AFE=S△ABE,
∴AE·FH=AE·BG.
∴FH=BG.∴△FDH≌△BKG.
∴FD=BK.
由(1)易得点C(0,3),∴OC=3.
设点D(0,t),∴OD=t.
∵CF=OD,∴DF=CO-CF-OD=3-2t.
∴BK=3-2t.
∵点A(-1,0),B(3,0),
∴AO=1,AB=4.
∵BK∥y轴,∴△AOD∽△ABK.
∴.∴.
∴t=.∴点D.
设直线AD的函数解析式为y=kx+e.
将点A(-1.0),D代入,
得解得
∴y=x+.点P为直线AD与抛物线的交点,联立,得
解得(舍)
∴S△PAB=AB·yP=×4×.
图2
