第二十七章 相似 评估测试卷（含答案） 2024-2025学年数学人教版九年级下册
文档属性
| 名称 | 第二十七章 相似 评估测试卷（含答案） 2024-2025学年数学人教版九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 328.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-25 21:22:25 | ||
图片预览
文档简介
第二十七章 相似 评估测试卷
(满分:120分 时间:120分钟)
一、选择题(共12题,每题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图,矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2),以原点O为位似中心,将这个矩形按相似比缩小,则顶点B在第一象限内对应点的坐标是 ( )
A.(9,4) B.(4,9) C. D.
2.下列各组线段中,不是成比例线段的是 ( )
A.1,,, B.3,6,2,4
C.4,6,5,10 D.2,,,2
3.如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,相似比为2∶3.若△ABC的面积为4,则△DEF的面积是 ( )
A.4 B.6 C.9 D.16
4.已知,则下列结论一定正确的是 ( )
A.x=2,y=3 B.2x=3y
C. D.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E,F分别在AD,BC上,且EF∥AB,矩形ABCD与矩形BFEA相似,则矩形BFEA的面积为 ( )
A.16 B.
C. D.
6.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为OC的中点,EF∥AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为 ( )
A. B.1
C. D.2
7.据《墨经》记载,在两千多年前,我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验,阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示,光线经过小孔O,物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A,B的对应点分别是C,D).若物体AB的高为5 cm,小孔O到地面距离OE为2 cm,则实像CD的高度为 ( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
8.如图,在 ABCD中,P是AD边上的一个点,连接PB,PC,M,N分别是PB,PC的中点.若S四边形BMNC=6,则S ABCD的值是( )
A.12 B.14
C.16 D.18
9.如图,在 ABCD中,E是AB延长线上一点,连接DE,交AC于点G,交BC于点F,那么图中相似三角形(不含全等三角形)共有 ( )
A.6对 B.5对 C.4对 D.3对
10.如图,在△ABC中,点D在AC边上,AD∶DC=1∶2,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于点E.若BE=1,则EC的长为 ( )
A.2 B.2.5 C.3 D.4
11.阅读与思考:宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.如图,已知矩形ABCD是黄金矩形,对角线AC,BD相交于点O,且BC=2.关于黄金矩形ABCD,下列结论不正确的是 ( )
A.AC=BD B.S△AOD=
C.AC=8-2 D.矩形ABCD的周长为2+2
12.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E在BC上,点F在CD上,连接AE,AF,EF,EF交AC于点G.下列结论错误的是 ( )
A.若,则EF∥BD B.若AE⊥BC,AF⊥CD,AE=AF,则EF∥BD
C.若EF∥BD,CE=CF,则∠EAC=∠FAC D.若AB=AD,AE=AF,则EF∥BD
二、填空题(共4题,每题3分,共12分)
13.如图,AB与CD交于点O,且AC∥BD.若,则= .
14.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上,且AB∥NP,“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处,且.若NP=2 cm,则BC的长为 cm.(结果保留根号)
15.如图,在平面直角坐标系中,每个网格小正方形的边长均为1个单位长度,以点P为位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6,…,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),则顶点A2 024的坐标为 .
16.如图,在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D是AB的中点,连接CD,过点B作BG⊥CD,分别交CD,CA于点E,F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连接DF.给出以下五个结论:①;②∠ADF=∠CDB;③点F是GE的中点;④AF=AB;⑤S△ABC=5S△BDF.其中正确结论的序号是 .
三、解答题(共8题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(4分)已知,且3a-2c=-8,求2c-3b+4a的值.
18.(10分)如图,△ABC在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-4,3),C(-3,1).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.
(2)以点B为位似中心,在点B的下方画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且相似比为3∶1.
(3)直接写出点A1,C2的坐标.
19.(8分)(2024德阳中考)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,对角线AC与BD相交于点O,F为BC的中点,连接AF与BD相交于点E,连接CE并延长交AB于点G.
求证:(1)△BEF∽△BCO.
(2)△BEG≌△AEG.
20.(8分)如图,在正方形ABCD中,E,G分别是边AD,BC的中点,AF=AB,分别连接AG,EF交于点O.
(1)求证:△EAF∽△ABG.
(2)求∠EOG的度数.
21.(10分)(2024上海青浦区期末)如图,已知在 ABCD中,E是边AD上一点,连接BE,CE,延长BA,CE相交于点F,CE2=DE·BC.
求证:(1)∠EBC=∠DCE.
(2)BE·CF=BF·AD.
22.(10分)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,.
(1)求证:△ACD∽△ECB.
(2)若AC=3,BC=1,求CE的长.
23.(10分)(2024上海中考)如图,在矩形ABCD中,E为边CD上一点,且AE⊥BD.
(1)求证:AD2=DE·DC.
(2)F为线段AE延长线上一点,且满足EF=CF=BD,求证:CE=AD.
24.(12分)(2024自贡中考)为测量水平操场上旗杆的高度,九(2)班各学习小组运用了多种测量方法.
图1(利用影子) 图2(利用镜子) 图3(利用标杆)
(1)如图1,小张在测量时发现,自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE.此时,小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3 m,据此可得旗杆高度为 m.
(2)如图2,小李站在操场上点E处,前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部A.小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5 m,小李到镜面距离EC=2 m,镜面到旗杆的距离CB=16 m.求旗杆的高度.
(3)小王所在小组采用图3的方法测量,结果误差较大.在更新测量工具、优化测量方法后,测量精度明显提高.研学旅行时,他们利用自制工具,成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下:
图4(找水平线) 图5(找定标高线) 图6(测雕塑高)
如图4,在透明的塑料软管内注入适量的水,利用连通器原理,保持管内水面M,N两点始终处于同一水平线上.
如图5,在支架上端P处,用细线系小重物Q,标高线PQ始终垂直于水平地面.
如图6,在江姐故里广场上点E处,同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D,G两点,并标记观测视线DA与标高线的交点C,测得CG=1.8 m,DG=1.5 m.将观测点D后移24 m到点D'处.采用同样方法,测得C'G'=1.2 m,D'G'=2 m.求雕塑的高度(结果精确到1 m).
【详解答案】
1.D 解析:∵以原点O为位似中心,将矩形OABC按相似比缩小,点B的坐标为(3,2),∴顶点B在第一象限内对应点的坐标为,即.故选D.
2.C 解析:A.1×,成比例线段,故本选项不符合题意;B.6×2=3×4,成比例线段,故本选项不符合题意;C.4×10≠5×6,不是成比例线段,故本选项符合题意;D.2××2,成比例线段,故本选项不符合题意.故选C.
3.C 解析:∵△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,相似比为2∶3,∴△ABC与△DEF的面积比为4∶9.∵△ABC的面积为4,∴△DEF的面积是9.故选C.
4.D 解析:∵,∴3x=2y.故A、B选项错误;∵,∴y=x.∴.故C选项错误;∵,∴+1=+1=.故D选项正确.故选D.
5.C 解析:∵矩形ABCD与矩形BFEA相似,∴.
∵矩形ABCD的面积=6×4=24,∴矩形BFEA的面积=.故选C.
6.B 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OC=AC.
∵点E为OC的中点,
∴CE=OC=AC.
∵EF∥AB,
∴△CEF∽△CAB.∴,
即.∴EF=1.故选B.
7.A 解析:∵OE∥AB,∴△COE∽△CAB.∴①.∵OE∥CD,∴△BOE∽△BDC.∴②.则①+②得.∴=1.
∵AB=5 cm,OE=2 cm,∴=1.
∴CD= cm.故选A.
8.C 解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴S△PBC=S ABCD.∵M,N分别是PB,PC的中点,∴MN∥BC,MN=BC.∴△PMN∽△PBC.∴.∴S四边形BMNC=S△PBC.而S四边形BMNC=6,∴S△PBC=8.∴S ABCD=16.故选C.
9.B 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,AB∥DC.∴∠EBF=∠EAD,∠EFB=∠EDA,∴△EBF∽△EAD.同理可得,△FGC∽△DGA,△EBF∽△DCF,△GAE∽△GCD,△ADE∽△CFD.共5对.故选B.
10.C 解析:如图,过点D作DF∥CE交AE于点F,∵DF∥BE,∴.∵O是BD的中点,∴OB=OD.∴DF=BE=1.∵DF∥CE,∴.∵AD∶DC=1∶2,∴AD∶AC=1∶3.∴.∴CE=3DF=3×1=3.故选C.
11.C 解析:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD.故A选项不符合题意;∵四边形ABCD是矩形,∴AC与BD互相平分.∴S△AOD=S矩形ABCD.∵BC=2,且,∴AB=-1.∴S矩形ABCD=AB·BC=2-2.∴S△AOD=×(2-2)=.故B选项不符合题意;在Rt△ABC中,AC=.又∵(8-2)2=84-32≠10-2,故C选项符合题意;∵2(AB+BC)=2+2,∴矩形的周长为2+2.故D选项不符合题意.故选C.
12.D 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=CD.A.若,即.又∵∠ECF=∠BCD,∴△CEF∽△CBD.∴∠CEF=∠CBD.∴EF∥BD.故A选项正确,不符合题意;B.若AE⊥BC,AF⊥CD,AE=AF,∴CA是∠BCD的平分线.∴∠ACB=∠ACD.∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.∴∠DAC=∠DCA.∴AD=DC.∴四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.在Rt△ACE和Rt△ACF中,∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL).∴CE=CF.又∵AE=AF,∴AC⊥EF.∴EF∥BD.故B选项正确,不符合题意;∵CE=CF,∴∠CFE=∠CEF.∵EF∥BD,∴∠CBD=∠CEF,∠CDB=∠CFE.∴∠CBD=∠CDB.∴CB=CD.∴四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.又∵EF∥BD,∴AC⊥EF.∵CE=CF,∴AC垂直平分EF.∴AE=AF.∴∠EAC=∠FAC.故C选项正确,不符合题意;若AB=AD,则四边形ABCD是菱形,当AE=AF,且BE=DF时,CE=CF,可得AC垂直平分EF,∵AC⊥BD,可得EF∥BD.故D选项不正确,符合题意.故选D.
13. 解析:∵AC∥BD,∴△AOC∽△BOD.
∴.
∴.
14.(-1) 解析:∵四边形MNPQ是正方形,∴∠N=∠P=90°.又∵AB∥NP,∴∠BAN+∠N=180°.∴∠BAN=90°.∴四边形ABPN是矩形.∴AB=NP=2 cm.又∵,∴BC=(-1)cm.
15.(1 347,0) 解析:∵点A2(-1,0),A5(1,0),A8(3,0),A11(5,0),…,∴点A3n-1(2n-3,0).∵2 024=3×675-1,∴点A2 024的坐标为(1 347,0).
16.①②④ 解析:依题意得,∠ABC=90°,GA⊥AB,∴BC∥AG,∴△AFG∽△CFB,∴.又AB=BC.
∴,故①正确;如图,
∵BG⊥CD,∠ABC=90°,
∴∠1+∠3=90°,∠1+∠4=90°,
∴∠3=∠4.在△ABG与△BCD中.
∴△ABG≌△BCD(ASA),∴AG=BD,又∵点D是AB的中点,∴BD=AD,
∴AG=AD,∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠DAF=45°,∵∠GAB=90°,
∴∠GAF=45°,∴∠GAF=∠DAF,
在△AFG与△AFD中,
∴△AFG≌△AFD(SAS),
∴∠5=∠2.∵∠5+∠3=∠1+∠3=90°,∴∠5=∠1,∴∠1=∠2,即∠ADF=∠CDB,故②正确;∵△AFG≌△AFD,∴FG=FD.∵△FDE是直角三角形,∴FD>FE.∴FG>FE,即点F不是GE的中点,故③错误;
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=AB.
∵△AFG≌△AFD,∴AG=AD=AB=CB.∵△AFG∽△CFB,∴,∴CF=2AF.∴AF=AC=AB.故④正确;∵AF=AC,∴S△ABF=S△ABC,∵点D是AB的中点,∴S△BDF=S△ABF,∴S△BDF=S△ABC,即S△ABC=6S△BDF,故⑤错误.综上所述,①②④正确.
17.解:设=k,
∴a=2k,b=3k,c=5k.
∵3a-2c=-8,
∴6k-10k=-8.解得k=2.
∴a=4,b=6,c=10.
∴2c-3b+4a=20-18+16=18.
18.解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.
(3)点A1(1,2),C2(-1,-3).
19.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,AC⊥BD.
又∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=AC.
∵F为BC的中点,
∴AF⊥BC.
∴∠BFE=∠BOC=90°.
又∵∠EBF=∠CBO,
∴△BEF∽△BCO.
(2)∵BO⊥AC,AF⊥BC,
∴CG⊥AB.
∴∠BGE=∠AGE=90°.
又∵AC=BC,
∴BG=AG.
在△BEG和△AEG中,
∴△BEG≌△AEG(SAS).
20.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠EAF=∠ABG=90°,AB=BC=AD.
又∵E,G分别是边AD,BC的中点,
∴AE=AD=AB,BG=BC=AB.
又∵AF=AB,
∴.
∴△EAF∽△ABG.
(2)∵△AEF∽△BAG,
∴∠AEF=∠BAG.
∵∠BAG+∠EAO=90°,
∴∠AEF+∠EAO=90°,
∴∠AOE=90°.
∴∠EOG=180°-90°=90°.
21.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.∴∠ECB=∠DEC,
∵CE2=DE·BC,∴,
∴△ECB∽△DEC.
∴∠EBC=∠DCE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,AD=BC.
∴∠AEB=∠EBC,∠F=∠ECD.
∵∠EBC=∠ECD,
∴∠AEB=∠F.
又∵∠ABE=∠EBF,
∴△ABE∽△EBF.∴.
∵AE∥BC,∴.
∵BC=AD,∴.
∴.∴BE·CF=BF·AD.
22.解:(1)证明:∵,
∴∠ACD=∠ECB.
∵∠ADC=∠EBC,
∴△ACD∽△ECB.
(2)如图,过点B作BH⊥CD于点H,
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ACB中,AB=,
∵,
∴∠ABD=∠BAD=45°.
∴△ABD为等腰直角三角形.
∴BD=AB=.
在Rt△BCH中,
∵∠BCH=∠BAD=45°,
∴CH=BH=BC=.
在Rt△BDH中,DH=.
∴CD=CH+DH==2.
∵△ACD∽△ECB,
∴CA∶CE=CD∶CB,
即3∶CE=2∶1.
解得CE=,即CE的长为.
23.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,∠ADE=90°,AB=DC.
∴∠ABD+∠ADB=90°.
∵AE⊥BD,
∴∠DAE+∠ADB=90°.
∴∠DAE=∠ABD.
∵∠ADE=∠BAD=90°,
∴△ADE∽△BAD.
∴.∴AD2=DE·BA.
∵AB=DC,
∴AD2=DE·DC.
(2)如图,连接AC,交BD于点O,
∵∠ADE=90°,
∴∠DAE+∠AED=90°.
∵AE⊥BD,
∴∠DAE+∠ADB=90°.
∴∠ADB=∠AED.
∵∠FEC=∠AED,∴∠ADO=∠FEC.
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OD=BD.
∵EF=CF=BD,
∴OA=OD=EF=CF.
∴∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE.
∵∠ADO=∠FEC,
∴∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE.
在△FEC和△ODA中,
∴△FEC≌△ODA(AAS).
∴CE=AD.
24.解:(1)11.3
(2)由反射定律可知,∠DCE=∠ACB,
∵∠DEC=90°=∠ABC,
∴△DEC∽△ABC.
∴,即.
解得AB=12.
∴旗杆的高度为12 m.
(3)∵∠CDG=∠ADB,∠CGD=90°=∠ABD,
∴△DCG∽△DAB.
∴.
设AB=x m,BD=y m,则,
∴y=x.同理可得,
∴.
∴.解得x=28.8.
经检验,x=28.8是原方程的解.
故AB≈29 m.
∴雕塑的高度AB约为29 m.
(满分:120分 时间:120分钟)
一、选择题(共12题,每题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图,矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2),以原点O为位似中心,将这个矩形按相似比缩小,则顶点B在第一象限内对应点的坐标是 ( )
A.(9,4) B.(4,9) C. D.
2.下列各组线段中,不是成比例线段的是 ( )
A.1,,, B.3,6,2,4
C.4,6,5,10 D.2,,,2
3.如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,相似比为2∶3.若△ABC的面积为4,则△DEF的面积是 ( )
A.4 B.6 C.9 D.16
4.已知,则下列结论一定正确的是 ( )
A.x=2,y=3 B.2x=3y
C. D.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E,F分别在AD,BC上,且EF∥AB,矩形ABCD与矩形BFEA相似,则矩形BFEA的面积为 ( )
A.16 B.
C. D.
6.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为OC的中点,EF∥AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为 ( )
A. B.1
C. D.2
7.据《墨经》记载,在两千多年前,我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验,阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示,光线经过小孔O,物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A,B的对应点分别是C,D).若物体AB的高为5 cm,小孔O到地面距离OE为2 cm,则实像CD的高度为 ( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
8.如图,在 ABCD中,P是AD边上的一个点,连接PB,PC,M,N分别是PB,PC的中点.若S四边形BMNC=6,则S ABCD的值是( )
A.12 B.14
C.16 D.18
9.如图,在 ABCD中,E是AB延长线上一点,连接DE,交AC于点G,交BC于点F,那么图中相似三角形(不含全等三角形)共有 ( )
A.6对 B.5对 C.4对 D.3对
10.如图,在△ABC中,点D在AC边上,AD∶DC=1∶2,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于点E.若BE=1,则EC的长为 ( )
A.2 B.2.5 C.3 D.4
11.阅读与思考:宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.如图,已知矩形ABCD是黄金矩形,对角线AC,BD相交于点O,且BC=2.关于黄金矩形ABCD,下列结论不正确的是 ( )
A.AC=BD B.S△AOD=
C.AC=8-2 D.矩形ABCD的周长为2+2
12.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E在BC上,点F在CD上,连接AE,AF,EF,EF交AC于点G.下列结论错误的是 ( )
A.若,则EF∥BD B.若AE⊥BC,AF⊥CD,AE=AF,则EF∥BD
C.若EF∥BD,CE=CF,则∠EAC=∠FAC D.若AB=AD,AE=AF,则EF∥BD
二、填空题(共4题,每题3分,共12分)
13.如图,AB与CD交于点O,且AC∥BD.若,则= .
14.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上,且AB∥NP,“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处,且.若NP=2 cm,则BC的长为 cm.(结果保留根号)
15.如图,在平面直角坐标系中,每个网格小正方形的边长均为1个单位长度,以点P为位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6,…,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),则顶点A2 024的坐标为 .
16.如图,在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D是AB的中点,连接CD,过点B作BG⊥CD,分别交CD,CA于点E,F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连接DF.给出以下五个结论:①;②∠ADF=∠CDB;③点F是GE的中点;④AF=AB;⑤S△ABC=5S△BDF.其中正确结论的序号是 .
三、解答题(共8题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(4分)已知,且3a-2c=-8,求2c-3b+4a的值.
18.(10分)如图,△ABC在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-4,3),C(-3,1).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.
(2)以点B为位似中心,在点B的下方画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且相似比为3∶1.
(3)直接写出点A1,C2的坐标.
19.(8分)(2024德阳中考)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,对角线AC与BD相交于点O,F为BC的中点,连接AF与BD相交于点E,连接CE并延长交AB于点G.
求证:(1)△BEF∽△BCO.
(2)△BEG≌△AEG.
20.(8分)如图,在正方形ABCD中,E,G分别是边AD,BC的中点,AF=AB,分别连接AG,EF交于点O.
(1)求证:△EAF∽△ABG.
(2)求∠EOG的度数.
21.(10分)(2024上海青浦区期末)如图,已知在 ABCD中,E是边AD上一点,连接BE,CE,延长BA,CE相交于点F,CE2=DE·BC.
求证:(1)∠EBC=∠DCE.
(2)BE·CF=BF·AD.
22.(10分)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,.
(1)求证:△ACD∽△ECB.
(2)若AC=3,BC=1,求CE的长.
23.(10分)(2024上海中考)如图,在矩形ABCD中,E为边CD上一点,且AE⊥BD.
(1)求证:AD2=DE·DC.
(2)F为线段AE延长线上一点,且满足EF=CF=BD,求证:CE=AD.
24.(12分)(2024自贡中考)为测量水平操场上旗杆的高度,九(2)班各学习小组运用了多种测量方法.
图1(利用影子) 图2(利用镜子) 图3(利用标杆)
(1)如图1,小张在测量时发现,自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE.此时,小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3 m,据此可得旗杆高度为 m.
(2)如图2,小李站在操场上点E处,前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部A.小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5 m,小李到镜面距离EC=2 m,镜面到旗杆的距离CB=16 m.求旗杆的高度.
(3)小王所在小组采用图3的方法测量,结果误差较大.在更新测量工具、优化测量方法后,测量精度明显提高.研学旅行时,他们利用自制工具,成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下:
图4(找水平线) 图5(找定标高线) 图6(测雕塑高)
如图4,在透明的塑料软管内注入适量的水,利用连通器原理,保持管内水面M,N两点始终处于同一水平线上.
如图5,在支架上端P处,用细线系小重物Q,标高线PQ始终垂直于水平地面.
如图6,在江姐故里广场上点E处,同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D,G两点,并标记观测视线DA与标高线的交点C,测得CG=1.8 m,DG=1.5 m.将观测点D后移24 m到点D'处.采用同样方法,测得C'G'=1.2 m,D'G'=2 m.求雕塑的高度(结果精确到1 m).
【详解答案】
1.D 解析:∵以原点O为位似中心,将矩形OABC按相似比缩小,点B的坐标为(3,2),∴顶点B在第一象限内对应点的坐标为,即.故选D.
2.C 解析:A.1×,成比例线段,故本选项不符合题意;B.6×2=3×4,成比例线段,故本选项不符合题意;C.4×10≠5×6,不是成比例线段,故本选项符合题意;D.2××2,成比例线段,故本选项不符合题意.故选C.
3.C 解析:∵△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,相似比为2∶3,∴△ABC与△DEF的面积比为4∶9.∵△ABC的面积为4,∴△DEF的面积是9.故选C.
4.D 解析:∵,∴3x=2y.故A、B选项错误;∵,∴y=x.∴.故C选项错误;∵,∴+1=+1=.故D选项正确.故选D.
5.C 解析:∵矩形ABCD与矩形BFEA相似,∴.
∵矩形ABCD的面积=6×4=24,∴矩形BFEA的面积=.故选C.
6.B 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OC=AC.
∵点E为OC的中点,
∴CE=OC=AC.
∵EF∥AB,
∴△CEF∽△CAB.∴,
即.∴EF=1.故选B.
7.A 解析:∵OE∥AB,∴△COE∽△CAB.∴①.∵OE∥CD,∴△BOE∽△BDC.∴②.则①+②得.∴=1.
∵AB=5 cm,OE=2 cm,∴=1.
∴CD= cm.故选A.
8.C 解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴S△PBC=S ABCD.∵M,N分别是PB,PC的中点,∴MN∥BC,MN=BC.∴△PMN∽△PBC.∴.∴S四边形BMNC=S△PBC.而S四边形BMNC=6,∴S△PBC=8.∴S ABCD=16.故选C.
9.B 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,AB∥DC.∴∠EBF=∠EAD,∠EFB=∠EDA,∴△EBF∽△EAD.同理可得,△FGC∽△DGA,△EBF∽△DCF,△GAE∽△GCD,△ADE∽△CFD.共5对.故选B.
10.C 解析:如图,过点D作DF∥CE交AE于点F,∵DF∥BE,∴.∵O是BD的中点,∴OB=OD.∴DF=BE=1.∵DF∥CE,∴.∵AD∶DC=1∶2,∴AD∶AC=1∶3.∴.∴CE=3DF=3×1=3.故选C.
11.C 解析:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD.故A选项不符合题意;∵四边形ABCD是矩形,∴AC与BD互相平分.∴S△AOD=S矩形ABCD.∵BC=2,且,∴AB=-1.∴S矩形ABCD=AB·BC=2-2.∴S△AOD=×(2-2)=.故B选项不符合题意;在Rt△ABC中,AC=.又∵(8-2)2=84-32≠10-2,故C选项符合题意;∵2(AB+BC)=2+2,∴矩形的周长为2+2.故D选项不符合题意.故选C.
12.D 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=CD.A.若,即.又∵∠ECF=∠BCD,∴△CEF∽△CBD.∴∠CEF=∠CBD.∴EF∥BD.故A选项正确,不符合题意;B.若AE⊥BC,AF⊥CD,AE=AF,∴CA是∠BCD的平分线.∴∠ACB=∠ACD.∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.∴∠DAC=∠DCA.∴AD=DC.∴四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.在Rt△ACE和Rt△ACF中,∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL).∴CE=CF.又∵AE=AF,∴AC⊥EF.∴EF∥BD.故B选项正确,不符合题意;∵CE=CF,∴∠CFE=∠CEF.∵EF∥BD,∴∠CBD=∠CEF,∠CDB=∠CFE.∴∠CBD=∠CDB.∴CB=CD.∴四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.又∵EF∥BD,∴AC⊥EF.∵CE=CF,∴AC垂直平分EF.∴AE=AF.∴∠EAC=∠FAC.故C选项正确,不符合题意;若AB=AD,则四边形ABCD是菱形,当AE=AF,且BE=DF时,CE=CF,可得AC垂直平分EF,∵AC⊥BD,可得EF∥BD.故D选项不正确,符合题意.故选D.
13. 解析:∵AC∥BD,∴△AOC∽△BOD.
∴.
∴.
14.(-1) 解析:∵四边形MNPQ是正方形,∴∠N=∠P=90°.又∵AB∥NP,∴∠BAN+∠N=180°.∴∠BAN=90°.∴四边形ABPN是矩形.∴AB=NP=2 cm.又∵,∴BC=(-1)cm.
15.(1 347,0) 解析:∵点A2(-1,0),A5(1,0),A8(3,0),A11(5,0),…,∴点A3n-1(2n-3,0).∵2 024=3×675-1,∴点A2 024的坐标为(1 347,0).
16.①②④ 解析:依题意得,∠ABC=90°,GA⊥AB,∴BC∥AG,∴△AFG∽△CFB,∴.又AB=BC.
∴,故①正确;如图,
∵BG⊥CD,∠ABC=90°,
∴∠1+∠3=90°,∠1+∠4=90°,
∴∠3=∠4.在△ABG与△BCD中.
∴△ABG≌△BCD(ASA),∴AG=BD,又∵点D是AB的中点,∴BD=AD,
∴AG=AD,∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠DAF=45°,∵∠GAB=90°,
∴∠GAF=45°,∴∠GAF=∠DAF,
在△AFG与△AFD中,
∴△AFG≌△AFD(SAS),
∴∠5=∠2.∵∠5+∠3=∠1+∠3=90°,∴∠5=∠1,∴∠1=∠2,即∠ADF=∠CDB,故②正确;∵△AFG≌△AFD,∴FG=FD.∵△FDE是直角三角形,∴FD>FE.∴FG>FE,即点F不是GE的中点,故③错误;
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=AB.
∵△AFG≌△AFD,∴AG=AD=AB=CB.∵△AFG∽△CFB,∴,∴CF=2AF.∴AF=AC=AB.故④正确;∵AF=AC,∴S△ABF=S△ABC,∵点D是AB的中点,∴S△BDF=S△ABF,∴S△BDF=S△ABC,即S△ABC=6S△BDF,故⑤错误.综上所述,①②④正确.
17.解:设=k,
∴a=2k,b=3k,c=5k.
∵3a-2c=-8,
∴6k-10k=-8.解得k=2.
∴a=4,b=6,c=10.
∴2c-3b+4a=20-18+16=18.
18.解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.
(3)点A1(1,2),C2(-1,-3).
19.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,AC⊥BD.
又∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=AC.
∵F为BC的中点,
∴AF⊥BC.
∴∠BFE=∠BOC=90°.
又∵∠EBF=∠CBO,
∴△BEF∽△BCO.
(2)∵BO⊥AC,AF⊥BC,
∴CG⊥AB.
∴∠BGE=∠AGE=90°.
又∵AC=BC,
∴BG=AG.
在△BEG和△AEG中,
∴△BEG≌△AEG(SAS).
20.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠EAF=∠ABG=90°,AB=BC=AD.
又∵E,G分别是边AD,BC的中点,
∴AE=AD=AB,BG=BC=AB.
又∵AF=AB,
∴.
∴△EAF∽△ABG.
(2)∵△AEF∽△BAG,
∴∠AEF=∠BAG.
∵∠BAG+∠EAO=90°,
∴∠AEF+∠EAO=90°,
∴∠AOE=90°.
∴∠EOG=180°-90°=90°.
21.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.∴∠ECB=∠DEC,
∵CE2=DE·BC,∴,
∴△ECB∽△DEC.
∴∠EBC=∠DCE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,AD=BC.
∴∠AEB=∠EBC,∠F=∠ECD.
∵∠EBC=∠ECD,
∴∠AEB=∠F.
又∵∠ABE=∠EBF,
∴△ABE∽△EBF.∴.
∵AE∥BC,∴.
∵BC=AD,∴.
∴.∴BE·CF=BF·AD.
22.解:(1)证明:∵,
∴∠ACD=∠ECB.
∵∠ADC=∠EBC,
∴△ACD∽△ECB.
(2)如图,过点B作BH⊥CD于点H,
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ACB中,AB=,
∵,
∴∠ABD=∠BAD=45°.
∴△ABD为等腰直角三角形.
∴BD=AB=.
在Rt△BCH中,
∵∠BCH=∠BAD=45°,
∴CH=BH=BC=.
在Rt△BDH中,DH=.
∴CD=CH+DH==2.
∵△ACD∽△ECB,
∴CA∶CE=CD∶CB,
即3∶CE=2∶1.
解得CE=,即CE的长为.
23.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,∠ADE=90°,AB=DC.
∴∠ABD+∠ADB=90°.
∵AE⊥BD,
∴∠DAE+∠ADB=90°.
∴∠DAE=∠ABD.
∵∠ADE=∠BAD=90°,
∴△ADE∽△BAD.
∴.∴AD2=DE·BA.
∵AB=DC,
∴AD2=DE·DC.
(2)如图,连接AC,交BD于点O,
∵∠ADE=90°,
∴∠DAE+∠AED=90°.
∵AE⊥BD,
∴∠DAE+∠ADB=90°.
∴∠ADB=∠AED.
∵∠FEC=∠AED,∴∠ADO=∠FEC.
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OD=BD.
∵EF=CF=BD,
∴OA=OD=EF=CF.
∴∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE.
∵∠ADO=∠FEC,
∴∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE.
在△FEC和△ODA中,
∴△FEC≌△ODA(AAS).
∴CE=AD.
24.解:(1)11.3
(2)由反射定律可知,∠DCE=∠ACB,
∵∠DEC=90°=∠ABC,
∴△DEC∽△ABC.
∴,即.
解得AB=12.
∴旗杆的高度为12 m.
(3)∵∠CDG=∠ADB,∠CGD=90°=∠ABD,
∴△DCG∽△DAB.
∴.
设AB=x m,BD=y m,则,
∴y=x.同理可得,
∴.
∴.解得x=28.8.
经检验,x=28.8是原方程的解.
故AB≈29 m.
∴雕塑的高度AB约为29 m.