(共22张PPT)
第五章 二次根式
5.1.2积的算术平方根及最简二次根式等式
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
典例分析
05
课堂练习
06
课堂小结
07
作业布置
08
板书设计
01
教学目标
1.理解积的算术平方根的概念，掌握最简二次根式的标准 。
2.培养他们的问题解决能力和应用意识，特别是能够灵活运用积的算术平方根和最简二次根式的知识解决复杂问题 。
3.通过学习和实践，培养学生的逻辑思维能力，使他们能够准确理解二次根式的概念和性质，并进行合理的推理和判断 。
4.激发学生对数学学习的兴趣和热情，使他们能够积极参与课堂学习和实践活动，感受数学的魅力和乐趣 。
02
新知导入
1.二次根式的概念和性质是什么？
2.计算下列各式， 观察计算结果， 你发现了什么？
（1）=_______, ×=__________.
（2）=_______, ×=__________.
6
6
12
12
03
新知讲解
一、积的算术平方根
计算下列各式， 观察计算结果， 你发现了什么？
（1）=6, ×=6.
（2）=12, ×=12.
×
03
新知讲解
一、积的算术平方根
一般地， 当 a≥0， b≥0时 ， 由于
= =a b
因此 =
由此得出：
= (a≥0，b≥0）
03
新知讲解
二、最简二次根式
上述公式从左至右看， 是积的算术平方根的性质. 利用这一性质， 可以化简二次根式.
例4 化简二次根式
（1） （2） （3）
解 （1）==×=3
（2）=×=2
（3）===×2×=6
化简二次根式时， 最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
03
新知讲解
二、最简二次根式
例 4 说明， 在二次根式化简过程中， 可以把被开方数中的 “完全平方因数 （或因式）”， 用它的算术平方根代替， 直接从根号下移到根号外， 从而达到化简的目的.
03
新知讲解
二、最简二次根式
例5 化简二次根式
（1） （2）
解 （1） ===
（2） ===
化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含分母.
03
新知讲解
二、最简二次根式
从例 4、 例 5 可以看出， 这些式子的最后结果， 具有以下特点：
（1） 被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2） 被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式， 叫作最简二次根式.
在二次根式的运算中， 一般要把最后结果化为最简二次根式.
04
典例分析
化简的结果是( )
A.4 B.2 C.3 D.2
B
05
课堂练习
1．估计的值在( )
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间
2．化简二次根式的结果是 ( )
A．－3 B．3 C．18 D．6
3．下列式子为最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
C
B
【知识技能类作业】必做题：
A
05
课堂练习
4.化简的结果是( )
A．2 B．2 C．－2 D．±2
5.把－3 中根号外的因式移到根号内，所得结果为( )
A．－ B．－ C．－ D.
【知识技能类作业】选做题：
B
C
05
课堂练习
6.化简下列二次根式：
（1） （2）
解：(1)=×=0.1×0.4=0.04
(2)==×=×3×=12
【综合拓展类作业】
06
课堂小结
积的算术平方根及最简二次根式
1.积的算术平方根：
(a≥0，b≥0）
2.最简二次根式：
（1） 被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2） 被开方数不含分母.
07
作业布置
1. 下列各式是最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
2．化简的结果是( )
A．2 B．－2 C．－4 D．4
A
D
【知识技能类作业】必做题：
07
作业布置
3.化简的结果是 ( )
A.-5 B.5 C.35 D.
D
【知识技能类作业】必做题：
07
作业布置
4.等式=·成立的条件是 ( )
A.a≥-1 B.a≤1 C.-1
【知识技能类作业】选做题：
D
07
作业布置
5.如果一个正方形的边长为a,它的面积与长为96 cm、宽为12 cm的长方形的面积相等,求a的值.
解:由题意,得a2=96×12,
所以a===
=×××
=24（cm）
【综合拓展类作业】
08
板书设计
积的算术平方根及最简二次根式
积的算术平方根
最简二次根式
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分课时教学设计
第二课时《 5.1.2积的算术平方根及最简二次根式 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《积的算术平方根及最简二次根式》是初中数学二次根式章节中的重要内容。学生在此之前已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数的运算和性质有一定的了解。本节课主要介绍积的算术平方根的性质以及最简二次根式的概念，这些内容既是后续学习二次函数、不等式等知识的基础，也是培养学生数学思维能力的重要一环。通过学习，学生能够理解和掌握二次根式的运算规则，提高解决问题的能力。
学习者分析 八年级学生正处于数学学习的关键时期，他们的抽象思维能力和逻辑推理能力正在逐步发展。对于积的算术平方根和最简二次根式等式，学生需要具备一定的代数基础和空间想象能力。然而，由于这些概念相对抽象，学生可能难以直接理解其本质，需要通过具体的例子和实践活动来加深认识。
教学目标 1.理解积的算术平方根的概念，掌握最简二次根式的标准 。 2.培养他们的问题解决能力和应用意识，特别是能够灵活运用积的算术平方根和最简二次根式的知识解决复杂问题 。 3.通过学习和实践，培养学生的逻辑思维能力，使他们能够准确理解二次根式的概念和性质，并进行合理的推理和判断 。 4.激发学生对数学学习的兴趣和热情，使他们能够积极参与课堂学习和实践活动，感受数学的魅力和乐趣 。
教学重点 准确识别最简二次根式的特征，即被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式 。
教学难点 掌握化简二次根式的方法 。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 1.二次根式的概念和性质是什么？ 2.计算下列各式， 观察计算结果， 你发现了什么？ （1）=6， ×=6. （2）=12， ×=12.学生活动1： 学生根据问题给出的数据回答问题活动意图说明： 利用回顾所学知识，引出课题《积的算术平方根及最简二次根式》。环节二：新知讲解教师活动2： 一、积的算术平方根 计算下列各式， 观察计算结果， 你发现了什么？ （1）=6， ×=6. （2）=12， ×=12. × 一般地， 当 a≥0， b≥0时 ， 由于 = =a b 因此 = 由此得出： = (a≥0，b≥0）学生活动2： 组织学生根据问题讨论积的算术平方根的概念，以小组为单位讨论，讨论结束后由小组代表发言，并给出评价，最后总结积的算术平方根的概念。活动意图说明： 在本环节通过小组讨论可加深学生对知识点的理解，并提高解决问题的能力。环节三：新知讲解教师活动3： 二、最简二次根式 上述公式从左至右看， 是积的算术平方根的性质. 利用这一性质， 可以化简二次根式. 例4 化简二次根式 （1） （2） （3） 解 （1）==×=3 （2）=×=2 （3）===×2×=6 化简二次根式时， 最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数. 例 4 说明， 在二次根式化简过程中， 可以把被开方数中的 “完全平方因数 （或因式）”， 用它的算术平方根代替， 直接从根号下移到根号外， 从而达到化简的目的. 例5 化简二次根式 （1） （2） 解 （1） === （2） === 化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含分母. 从例 4、 例 5 可以看出， 这些式子的最后结果， 具有以下特点： （1） 被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）； （2） 被开方数不含分母. 我们把满足上述两个条件的二次根式， 叫作最简二次根式. 在二次根式的运算中， 一般要把最后结果化为最简二次根式.学生活动3： 学生自主探究最简二次根式的定义和化简二次根式的方法，并尝试解答，教师总结给出正确答案。活动意图说明： 学生通过自主探究可提高独立思考问题的能力。环节四：典例精析教师活动4： 化简的结果是( B ) A.4 B.2 C.3 D.2学生活动4： 学生根据本节课知识完成问题活动意图说明： 通过练习加深本节课知识，并能正确运用。
板书设计 5.1.2积的算术平方根及最简二次根式 积的算术平方根及最简二次根式
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．估计的值在( C ) A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 2．化简二次根式的结果是 ( B ) A．－3 B．3 C．18 D．6 3．下列式子为最简二次根式的是( A ) A． B． C． D． 选做题： 4.化简的结果是( B ) A．2 B．2 C．－2 D．±2 5.把－3 中根号外的因式移到根号内，所得结果为( C ) A．－ B．－ C．－ D. 【综合拓展类作业】 6.化简下列二次根式： （1） （2） 解：(1)=×=0.1×0.4=0.04 (2)==×=×3×=12
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列各式是最简二次根式的是 ( A ) A. B. C. D. 2．化简的结果是( D ) A．2 B．－2 C．－4 D．4 3.化简的结果是 ( ) A.-5 B.5 C.35 D. 选做题： 4.等式=·成立的条件是 ( D ) A.a≥-1 B.a≤1 C.-1教学反思 本章节内容紧凑且逻辑性强，积的算术平方根与最简二次根式是二次根式学习中的重要组成部分。在教学过程中，我注重了知识的连贯性和系统性，确保学生能够逐步深入理解并掌握这些概念。且通过课堂讲解、例题分析和学生练习，大部分学生能够准确理解积的算术平方根的概念，掌握最简二次根式的判断方法，并能熟练进行相关的等式运算。然而，仍有少数学生在运算过程中存在困难，需要进一步的辅导和练习。
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