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分课时教学设计
第一课时《 5.1.1二次根式的概念和性质 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《二次根式的概念及性质》是湘教版八年级上册数学中的一个重要内容。学生在学习这一节内容之前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数的运算和性质有一定的了解。本节内容主要介绍二次根式的概念及其性质，包括二次根式的定义、性质、运算等。这部分内容是后续学习更高级数学知识的基础，对于学生来说非常重要。
学习者分析 八年级学生正处于青春期，他们的思维逐渐从形象思维向抽象思维过渡。这一阶段的学生对新鲜事物充满好奇，但注意力容易分散，需要教师在教学过程中采用生动有趣的教学方法来吸引他们的注意力。且在学习二次根式之前，学生已经掌握了平方根的概念和性质，以及基本的代数运算技能。这些知识储备为学生学习二次根式提供了基础。然而，二次根式相对于平方根来说更为复杂，需要学生具备更强的抽象思维能力和代数运算能力。
教学目标 1.理解二次根式概念，掌握二次根式性质 。 2.通过学习二次根式的概念和性质，培养学生的抽象思维能力，使他们能够理解和处理更复杂的数学对象 。 3.在学习过程中，强调数学运算的准确性和严谨性，培养学生的严谨态度和良好的学习习惯 。 4.通过成功解决数学问题和完成练习，增强学生的自信心和成就感，使他们更加相信自己的数学能力和潜力 。
教学重点 准确理解二次根式的定义，并掌握其基本的性质 。
教学难点 掌握化简的方法和技巧，以便将复杂的二次根式化简为最简形式 。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 意大利物理学家伽利略曾在比萨斜塔塔顶上做过著名的自由落体实验， 验证了： “在地球上同一地点， 不同质量的物体从同一高度同时下落， 如果除地球引力外不考虑其他外力的作用， 那么它们的落地时间相同， 并且物体的下落距离 h（m）与下落时间 t（s）之间的关系约为？ h = 4.9 t2 或t= 像t=这样的式子叫作什么？学生活动1： 学生根据问题给出的数据回答问题活动意图说明： 利用实际问题，引出课题《二次根式的概念和性质》。环节二：新知讲解教师活动2： 一、二次根式的概念 （2）运用运载火箭发射航天飞船时， 火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度）， 才能克服地球的引力， 从而将飞船送入环地球运行的轨道． 而第一宇宙速度 v 与地球半径 R 之间存在如下关系：v2 = gR， 其中重力加速度常数 g≈9.8 m/s2. 若已知地球半径 R， 则第一宇宙速度 v 是多少？ 因为速度一定大于 0， 所以第一宇宙速度 v =. 根据（1）（2）可知： 每一个正实数 a 有且只有两个平方根， 一个记作，称为a的算术平方根； 另一个是－ . 我们把形如的式子叫作二次根式， 根号下的数叫作被开方数. 思考：对于负实数，如-5，-a（a＞0） ，是否有平方根？ 没有 由于在实数范围内， 负实数没有平方根， 因此只有当被开方数是非负实数时， 二次根式才在实数范围内有意义． 例1：当x是怎样的实数时， 二次根式在实数范围内有意义？ 解：由x-1≥0， 解得 x ≥ 1 因此， 当 x ≥ 1 时，在实数范围内有意义.学生活动2： 根据问题学生进行小组讨论，老师下台巡视，讨论时间为3分钟，讨论完后由学生代表发言，进行多元化评价，老师总结。 活动意图说明： 在本环节通过小组讨论可提高学生合作探究能力以及分析问题、解决问题的能力，提高分工合作的意识，加深团结的思想。环节三：新知讲解教师活动3： 二、二次根式的性质 对于非负实数a，找出a与的关系式？ =a（a≥0） 例2：计算 （1） （2） 解：（1）=5 （2）=22×=4×2=8 做一做： 填空： =2， =， =1.2， ... 根据上述结果猜想， 当 a≥0 时，a. 由于 a 的平方等于 a2， 因此 a 是 a2 的一个平方根. 当 a ≥ 0 时， 根据算术平方根的意义， 有=a， 由此得出： =a（a≥0） 当 a < 0 时， =a是否仍然成立？ 为什么？ 一般地， 当 a ＜ 0 时，=-a.因此， 我们可以得到： =|a| =学生活动3： 学生自主探究a与的关系，由学生总结关系。再组织学生进行小组讨论思考二次根式的性质，讨论结束后有小组代表发言其他小组补充，师生共同归纳。活动意图说明： 学生通过自主探究可提高独立思考问题的能力。环节四：典例精析教师活动4： 例3 计算： （1） （2） 解：（1）==2 （2）==1.2学生活动4： 学生根据本节课知识完成问题活动意图说明： 通过练习加深本节课知识，并能正确运用。
板书设计 5.1.1二次根式的概念和性质 二次根式的概念和性质
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各式中，是二次根式的为 ( B ) A. B.- C. D.(a<1) 2.若式子-3有意义，则m的取值范围是 ( C ) A.m≥3 B.m≤3 C.m≥0 D.m≤0 3.要使二次根式有意义，则x的值可以为 ( D ) A.0 B.1 C.2 D.4 选做题： 4.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ( A ) A.x≥1且x≠2 B.x≤1 C.x>1且x≠2 D.x<1 5.已知=a-1，那么a的取值范围为( C ) A.a>1 B.a<1 C.a≥1 D.a≤1 【综合拓展类作业】 6.当x取何实数时，下列各式有意义 (1); (2). 解：(1)x+5≥0，解得x≥-5. (2)3-x≥0，解得x≤3.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．计算的结果是( B ) A．－3 B．3 C．－9 D．9 2．二次根式中，x的取值范围是( A ) A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1 3.若＋(y＋2)2＝0，则(x＋y)2 018等于( B ) A．－1 B．1 C．32 018 D．－32 018 选做题： 4.下列各式中，正确的是( B ) A．＝－3 B．－＝－3 C．＝±3 D．＝±3 【综合拓展类作业】 5.计算：（1） （2） （3） 解：(1)= (2) =42×()2＝16×3＝48 (3)=＝|－6|＝6
教学反思 本章节的教学主要围绕二次根式的定义、基本性质以及简单的运算展开。通过课堂讲解、例题演示和学生自主练习，大部分学生能够掌握二次根式的基本概念，理解其非负性、乘法分配律等重要性质，并能进行简单的二次根式运算。然而，也有部分学生在理解二次根式与平方根的区别、掌握二次根式的运算规则方面存在困难。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共23张PPT)
第五章 二次根式
5.1.1二次根式的概念和性质
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
典例分析
05
课堂练习
06
课堂小结
07
作业布置
08
板书设计
01
教学目标
1.理解二次根式概念，掌握二次根式性质 。
2.通过学习二次根式的概念和性质，培养学生的抽象思维能力，使他们能够理解和处理更复杂的数学对象 。
3.在学习过程中，强调数学运算的准确性和严谨性，培养学生的严谨态度和良好的学习习惯 。
4.通过成功解决数学问题和完成练习，增强学生的自信心和成就感，使他们更加相信自己的数学能力和潜力 。
02
新知导入
意大利物理学家伽利略曾在比萨斜塔塔顶上做过著名的自由落体实验， 验证了： “在地球上同一地点， 不同质量的物体从同一高度同时下落， 如果除地球引力外不考虑其他外力的作用， 那么它们的落地时间相同， 并且物体的下落距离 h（m）与下落时间 t（s）之间的关系约为？
h = 4.9 t2 或t=
像t=这样的式子叫作什么？
03
新知讲解
一、二次根式的概念
（1） 5 的平方根是 _____，
0 的平方根是_____ ，
正实数 a 的平方根是______ .
±
0
±
03
新知讲解
一、二次根式的概念
（2）运用运载火箭发射航天飞船时， 火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度）， 才能克服地球的引力， 从而将飞船送入环地球运行的轨道． 而第一宇宙速度 v 与地球半径 R 之间存在如下关系：v2 = gR， 其中重力加速度常数 g≈9.8 m/s2. 若已知地球半径 R， 则第一宇宙速度 v 是多少？
因为速度一定大于 0， 所以第一宇宙速度 v =.
03
新知讲解
一、二次根式的概念
根据（1）（2）可知：
每一个正实数 a 有且只有两个平方根， 一个记作，称为a的算术平方根； 另一个是－ .
我们把形如的式子叫作二次根式， 根号下的数叫作被开方数.
03
新知讲解
一、二次根式的概念
思考：对于负实数，如-5，-a（a＞0） ，是否有平方根？
没有
由于在实数范围内， 负实数没有平方根， 因此只有当被开方数是非负实数时， 二次根式才在实数范围内有意义．
03
新知讲解
一、二次根式的概念
例1：当x是怎样的实数时， 二次根式在实数范围内有意义？
解：由x-1≥0， 解得
x ≥ 1
因此， 当 x ≥ 1 时，在实数范围内有意义.
03
新知讲解
二、二次根式的性质
对于非负实数a，找出a与的关系式？
=a（a≥0）
例2：计算
（1） （2）
解：（1）=5
（2）=22×=4×2=8
03
新知讲解
二、二次根式的性质
做一做：
填空：
=_______,
=_______,
=_______,
...
根据上述结果猜想， 当 a≥0 时，_______.
2
1.2
a
03
新知讲解
二、二次根式的性质
由于 a 的平方等于 a2， 因此 a 是 a2 的一个平方根. 当 a ≥ 0 时， 根据算术平方根的意义， 有=a， 由此得出：
=a（a≥0）
当 a < 0 时， =a是否仍然成立？ 为什么？
一般地， 当 a ＜ 0 时，=-a.因此， 我们可以得到：
=|a| =
04
典例分析
例3 计算：
（1） （2）
解：（1）==2
（2）==1.2
05
课堂练习
1.下列各式中,是二次根式的为 ( )
A. B.-
C. D.(a<1)
2.若式子-3有意义,则m的取值范围是 ( )
A.m≥3 B.m≤3 C.m≥0 D.m≤0
3.要使二次根式有意义,则x的值可以为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
B
C
【知识技能类作业】必做题：
D
05
课堂练习
4.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≥1且x≠2 B.x≤1
C.x>1且x≠2 D.x<1
5.已知=a-1,那么a的取值范围为( )
A.a>1 B.a<1 C.a≥1 D.a≤1
【知识技能类作业】选做题：
A
C
05
课堂练习
6.当x取何实数时,下列各式有意义
(1); (2).
解:(1)x+5≥0,解得x≥-5.
(2)3-x≥0,解得x≤3.
【综合拓展类作业】
06
课堂小结
二次根式的概念及性质
1.二次根式的概念：
把形如的式子叫作二次根式， 根号下的数叫作被开方数.
2.二次根式的性质：
=a（a≥0）
=|a| =
07
作业布置
1．计算的结果是( )
A．－3 B．3 C．－9 D．9
2．二次根式中，x的取值范围是( )
A．x≥1 B．x＞1
C．x≤1 D．x＜1
3.若＋(y＋2)2＝0，则(x＋y)2 018等于( )
A．－1 B．1 C．32 018 D．－32 018
B
A
【知识技能类作业】必做题：
B
07
作业布置
4.下列各式中，正确的是( )
A．＝－3 B．－＝－3
C．＝±3 D．＝±3
【知识技能类作业】选做题：
B
07
作业布置
5.计算：（1） （2） （3）
解：(1)=
(2) =42×()2＝16×3＝48
(3)=＝|－6|＝6
【综合拓展类作业】
08
板书设计
二次根式的概念和性质
二次根式的概念
二次根式的性质
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