双曲线及其性质 解答题 专项练 2025年高考数学一轮复习备考

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双曲线及其性质 解答题 专项练
2025年高考数学一轮复习备考
1．已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若动直线l与曲线C交于，两点（其中），点A关于x轴对称的点为A'，且直线BA'经过点．
（ⅰ）求证：直线l过定点；
（ⅱ）若，求直线l的方程．
2．已知双曲线的离心率，虚轴的一个端点与其左、右两焦点构成的三角形的面积为．
(1)求的标准方程；
(2)若直线与的左、右两支分别交于两点，
（i）当直线不过的两焦点时，求证：与的周长相等；
（ii）当时，若以线段为直径的圆过双曲线的右焦点，求的值．
3．已知双曲线：的左、右焦点分别为、．
(1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程：
(2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值；
(3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围．
4．已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程；
(3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：.
5．已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切，动圆的圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程：
(2)已知点，直线不过点并与曲线交于两点，且，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由，
6．已知双曲线经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线.
(1)求的标准方程；
(2)设是上任意一点，直线.证明：与双曲线相切于点；
(3)设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上.
7．已知直线l：与双曲线C：相切于点Q．
(1)试在集合中选择一个数作为k的值，使得相应的t的值存在，并求出相应的t的值；
(2)设直线m过点且其法向量，证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点N，使之到直线的距离为；
(3)已知过点Q且与直线l垂直的直线分别交x、y轴于A、B两点，又P是线段中点，求点P的轨迹方程．
8．设圆与两圆中的一个内切，另一个外切.
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)已知直线与轨迹交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值.
9．已知双曲线的离心率为，且经过点．点M，N在y轴上，（O为坐标原点），直线AM，AN分别交双曲线C于P，Q两点．
(1)求双曲线C的方程．
(2)求点O到直线PQ的距离的最大值．
10．已知双曲线：，其渐近线方程为，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的两条直线AP，AQ分别与双曲线交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点.
11．已知为平面上一个动点，到定直线的距离与到定点距离的比等于，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
（1）圆的圆心坐标为，半径．
动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，
所以，
所以点M在以，为焦点的双曲线上，且该双曲线的实轴长为，，
所以，
所以曲线C的方程是．
（2）（ⅰ）设直线l的方程为（显然l与x轴不平行），
与联立，得，
由题意知，，，即，
由韦达定理得，．
因为点A与A'关于x轴对称，不妨设A，B分别在第一、二象限，如图所示．

易知，
即，
化为，
即，化为，
当m变化时，该式恒成立，
所以，故直线l过定点（-3，0）．
（ⅱ）由（ⅰ）知，当时，，．
由，
，
，
，
化为，解得或（舍去），
故，
此时直线l的方程为．
2．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
（1）由题意知，解得，
所以的标准方程为.
（2）（i）不妨令两点的位置如图，由双曲线的定义可知：
．
所以，
即．
所以
即与的周长相等．
（ii）设，
由消去并整理，得．
因为
所以．
又双曲线的右焦点为，
所以．
由以线段为直径的圆过双曲线的右焦点知，，即．
所以．
所以，
即．
所以，整理得．
解得
3．(1)；
(2)；
(3).
（1）令双曲线的半焦距为，依题意，，由，得，则，
所以双曲线的渐近线方程为.
（2）设点的坐标为，，则，
于是，
当时，，因此，即，则，又，解得，
因此的最大值为.
（3）设点，，
由，得，整理得：，
由，得，因此，
当时，由，得，

整理得:，解得或(舍)，
由，解得；
当时，由，得，

整理得：，在有解，
故，即，解得:或（舍），
综上，曲线的离心率的取值范围是.
4．(1)
(2)或.
(3)证明见解析
（1）设双曲线的渐近线为，
因为点在双曲线的一条渐近线上，所以，
又，故，
又解得，故双曲线的方程为.
（2）
如图，当直线斜率不存在时，，满足题意；
如图，当斜率存在时，由双曲线的性质结合看图可得，
当直线过点且平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线也只有一个公共点，
此时，，
此时直线方程为：，即
综上：直线的方程为或.
（3）由题，直线斜率存在，
设直线方程为，即，，
联立，整理得：，
则
由弦长公式：
令，则,
则,，则
令,与同正负.，此时，则，即单调递增，
则，且，
则，使得
则当，即，则单调递减.
当，即，则单调递增.
则在出取得最小值,且，
故
即，原命题得证.
5．(1)，；
(2)直线恒过点,，理由见解答．
（1）如图，设圆的圆心为，半径为，
由题可得圆半径为3，圆半径为1，则，，
所以，
由双曲线定义可知，的轨迹是以，为焦点、实轴长为4的双曲线的右支，
又,，,，
所以动圆的圆心的轨迹方程为，，
即曲线的方程为，．
（2）设直线的方程为，
联立，消去得，
由题意直线与曲线有两个交点，则，
设,，,，其中，，
由韦达定理得：，，
又点，所以,，,，
因为，所以，
则
，
即，
解得舍去），
当，直线的方程为，，
故直线恒过点,．
6．(1)
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
（1）因为双曲线经过点，且直线是的一条渐近线，
所以，解得，
所以的标准方程为；
（2）
首先设是上任意一点，所以有，
这表明了点也在直线上，也可以得到，
联立直线的方程与椭圆的方程有，
化简并整理得，
而，且，
这也就是说与双曲线相切于点；
（3）
不妨设，
由（2）可知过点的直线的方程为，
因为点在直线上，
所以，即有，
又，从而，
所以，
若，则
，
整理得，
因为，所以，也就是说，
从而，
所以点在定直线上上.
7．(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
（1）由题得双曲线渐近线方程为，
所以当时，直线与双曲线不可能相切，故
联立， 消去可得:，
所以， ，
当时，；
当时，.
（2）由题任取直线上一点，则由题意，
，
即直线的直线方程为，与切线平行，
所以直线与过原点的平行直线的距离为，
因为，所以，故，
故，即，
由（1），所以直线与过原点的平行直线的距离为：
，
因为，所以，故，即，如图，
所以时，直线与与曲线C右支相切的切线距离为，
故当时，在双曲线C的右支上不存在点N，使之到直线的距离为.
（3）由题可设切点且，则即，
对求关于的导数可得:， 所以，
则切线斜率， 又过点与垂直的直线分别交，轴于两点，
所以， 所以，
令， 得， 所以，
令， 得， 所以，
所以， 设，
则，则由以及消参得：，
即的轨迹方程是.
8．(1)；
(2)7.
（1）圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为1，
设圆的半径为，
若圆与圆内切，与圆外切，则，得；
若圆与圆内切，与圆外切，则，得，
因此，则圆心的轨迹是以为焦点的双曲线，
且实半轴长，半焦距，虚半轴长，
所以圆心的轨迹的方程为.
（2）由消去得：，
显然，设，线段的中点，
于是，即，
由在圆上，得，解得，又，
所以实数的值为7.

9．(1)；
(2)3.
（1）依题意，，解得，所以双曲线C的方程为.
（2）解法一（常规设点设线法）：依题意，点M，N在y轴上，且关于原点对称，直线PQ的斜率存在，
设直线PQ的方程为，点，
由，消去y得，则，
由，得且，则，，
直线AP的方程为，令，得，同理得，
由，得，即，
整理得，
展开得，
于是，
化简得，即，
当时，，此时直线PQ：，恒过定点，不符合题意，
则，直线PQ的方程为，恒过定点，
设点O到直线PQ的距离为d，则，当且仅当时取等号，
所以点O到直线PQ的距离的最大值为3．
解法二（平移齐次化法）：由得O为MN的中点，
由中线斜率推论得，即，
将点平移到原点，可得方程，整理得，
设平移后的直线，由，
得，整理得，
由韦达定理得，解得，
则直线恒过点，平移回去后得定点，
设点O到直线PQ的距离为d，则，当且仅当时取等号，
所以点O到直线PQ的距离的最大值为3.
10．(1)；
(2)证明见解析
（1）∵，，依题意，
解得：，，
所以双曲线C的方程为
（2）依题意可知斜率存在，设方程为，，，
则，即①，
所以
设直线AP，AQ的斜率分别为，，由题意知：，故有：
，
整理得
当，，过舍去，
当，，过点，
此时，将代入①得，得，满足题意.
∴直线PQ过定点
11．(1)
(2)在轴上存在点，使得为定值，定值为.
（1）设点的坐标为，则，
即，化简得：，所以双曲线的标准方程为；
（2）如图
当直线的斜率不为0时，设其方程为.
由于直线与双曲线交点两个，则直线不能与渐近线平行，渐近线斜率为，则.
代入，整理得，，设，，，，，
则，
所以
．
若要上式为定值，则必须有，即，，故存在点满足．
当直线的斜率为0时，，，此时点亦满足，故存在点满足．
综上所得，在轴上存在点，使得为定值，定值为.
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