2024-2025学年浙江省“衢州五校联盟”高一第一学期期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年浙江省“衢州五校联盟”高一第一学期期中联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则集合可用列举法表示为( )
A. B.
C. D.
2.对于实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知幂函数为偶函数，则( )
A. B. C. 或 D. 不存在
4.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
5.设函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若，则函数的最小值为( )
A. B. C. D.
7.我们知道，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数．已知函数，则下列函数中，关于对称的是( )
A. B. C. D.
8.若且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
10.若关于的不等式的解集为，则( )
A. 的解集为
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最小值为
11.定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“和谐方程”下列命题正确的是( )
A. 方程是“和谐方程”
B. 若关于的方程是“和谐方程”，则
C. 若关于的方程是“和谐方程”，则的函数图象与轴交点的坐标是和
D. 若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“，”的否定是_________________．
13.___________．
14.已知函数关于的方程恰有个不同的解，则实数的取值范围是________________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
判断是否为集合中的元素，并说明理由；
若全集，求，．
16.本小题分
已知函数
若，求的值；
若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策已知该市最多能容纳游客万人，每万名游客平均可创造万元的经济效益已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为万元年，每接待万名游客需要投入的流动成本为单位：万元，
当游客人数不超过万人时，；
当游客人数超过万人时，．
写出该市旅游净收入万元关于游客人数万人的函数解析式；注：旅游净收入旅游收入固定成本流动成本；
当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？
18.本小题分
已知函数为奇函数．
求的值；
判断并证明的单调性；
若存在实数，使得成立，求的取值范围．
19.本小题分
设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如，，取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质：
的定义域为，值域为；
任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分．
若，求关于的方程的解；
求关于的不等式的解集；
若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案
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12.，
13.
14.或
15.解：不是集合中的元素，
或，；
，
，
又，
．
16.解：，
，
，．
若对任意，恒成立，
即对任意，恒成立，
即，即，即，
在上单调递增，
所以当时，在上的最大值为，
由对任意，不等式恒成立，
得在上最大值小于，
．
17.解：根据题意得，当时，，
当时，，
故．
当时，，
且当时，单调递增，当时，单调递减，此时．
当时，，当且仅当时，等号成立．
因为，故当时，取得最大值，
即为使该市旅游净收入达到最大，游客人数应为万人．
18.解：由函数为奇函数，其定义域为，
所以，即，解得，
此时，满足，即为奇函数，
故的值为．
减函数，证明如下：由知，
，，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即函数在上单调递减，
即为上的减函数．
由，则，
又因为为奇函数，所以，
又由知函数在上单调递减，所以，
因为存在实数，使得成立，所以，解得，
所以的取值范围为
19.解：，此时，，
则方程可化为，解得，符合题意；
，此时，，
则方程可化为，解得，符合题意；
，此时，，
则方程可化为，解得，符合题意，
综上所述，关于的方程的解为或或．
，此时，，
，此时不等式恒成立；
，此时，，
则不等式可化为，解得，
又，，
，此时，，
则不等式可化为，解得，
又，
，此时，，
，此时不等式无解，
综上所述，关于的不等式的解集为；
，此时，则不等式可化为，
整理得：在上恒成立，
设，则，
又，，
当且仅当时等号成立，
，．
，此时，
则不等式可化为，
整理得：在上恒成立，
设，
又，，
在上单调递减，
，．
又，
综上所述，．


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