2024-2025学年湖北省荆荆襄宜四地七校联盟高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省荆荆襄宜四地七校联盟高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数( )
A. B. C. D.
2.如图，为水平放置的的直观图，的面积为，那么的面积为( )
A.
B.
C.
D.
3.在中，设，，若是线段中点，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，三个元件，，正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知点，若曲线上存在两点，，使为正三角形，则称为型曲线给定下列三条曲线：；；，其中，是型曲线的个数是( )
A. B. C. D.
6.若圆台有内切球与圆台的上下底面及每条母线均相切的球，且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为( )
A. B. C. D.
7.小明同学在某次数学测试中的成绩是班级第十五名每位同学测试的成绩两两不同，且小明同学的成绩恰好是该班成绩的第百分位数，则该班的人数可能为( )
A. B. C. D.
8.正四面体中，，点满足，则长度的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是两条不同直线，，是两个不同平面，下列命题为真命题的是( )
A. 若，，则或 B. 若，，则或
C. 若，，则 D. 若，，则
10.有以下说法，其中错误的是( )
A. 互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B. 互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C. 事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大
D. 事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小
11.某四面体的棱中恰好有一条的长度大于，则此四面体的体积可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数满足，则 ______．
13.如图，在梯形中，，，，且，若，是线段上的动点，且，则的取值范围为______．
14.已知圆：和直线：，折线：，若与恰有一个公共点，则实数 ______；若与恰有两个公共点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在三角形中，内角、、所对边分别为、、，已知．
求角的大小；
若，三角形的面积为，求三角形的周长．
16.本小题分
在如图所示的四棱锥中，底面是梯形，且，面，，为的中点．
若，证明：平面；
已知，，，斜线和平面所成角的正切值为，求平面和平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆：的焦点为和，短轴长为．
求椭圆的标准方程；
设椭圆上、下顶点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点不与、两点重合证明直线与直线交点的纵坐标为定值，并求出该值．
18.本小题分
某校艺术团共有人，男生与女生的比例是：为了解艺术团全体学生的身高，按性别比例进行分层随机抽样，抽取样本量为的样本，并观测样本身高数据单位：已知男生样本的身高平均数为，标准差为下表是抽取的女生样本的数据：
抽取次序
身高
记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，标准差．
用女生样本的身高频率分布情况估计艺术团女生总体的身高频率分布情况，试估计艺术团女生总体身高在范围内的人数；
用总样本的平均数和方差估计艺术团总体身高的平均数和方差，求的值；
若女生样本数据在之外的数据称为偏离值，剔除偏离值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差其中，样本平均数，标准差【参考数据：，，】
19.本小题分
球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学对于半径为的球过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作或，其值为二面角的大小，其中点称为球面角的顶点，大圆弧，称为球面角的边不在同一大圆上的三点，，，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，，，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，，，三点称为球面的顶点；三个球面角，，称为球面的三个内角．
已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点，，．
球面的三条边相等称为等边球面三角形，若，请直接写出球面的内角和无需证明；
与二面角类比，我们称从点出发的三条射线，，组成的图形为三面角，记为其中点称为三面角的顶点，，，称为它的棱，，，称为它的面角若三面角的三个面角的余弦值分别为．
求球面的三个内角的余弦值；
求球面的面积．
参考答案
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15.解：由正弦定理得，所以，
所以，整理得，
因为，所以，因此，所以，
所以；
由的面积为，得，解得，
又，则，，
由余弦定理得，解得，，
所以的周长为．
16.证明：因为平面，，平面，
可知，，
在中，为的中点，则，
因为，所以，所以，即，
又因为，，平面，
所以平面；
解：由题意可知：平面，
所以是斜线在平面上的射影，
即为和平面所成的角，
在中，，所以，
又因为，故AB，，两两垂直，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
可得，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，即，
令，可得，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，即，
令，可得，
从而可知，
所以平面和平面的夹角的余弦值为．
17.解：由题，，
则，
所以椭圆的标准方程为；
证明：因为直线过点，且与椭圆的交点不与，重合，
可知直线的斜率存在，且直线与椭圆必相交，
可设直线：，，，
联立方程，化简得，
所以，
因为，，
可得直线，
直线，
所以
，
则，解得：，
所以直线，的交点在直线上．
18.解：在女生样本中，身高在的频率，
艺术团女生总体身高在范围内的人数估计为人．
由题意知：男生样本的身高平均数为，方差为，
女生样本的身高平均数为，方差，
则总样本的平均数为，
方差为，
，．
因，，所以，即为，约为，
由样本数据知，为离群值，
所以剔除后，女生样本人的身高平均数为：；
由分层抽样方差公式可得．
19.解：由可知，在两个互相垂直即交点处切线垂直的大圆上，
从而，所以，
设
所以，因为到，到直线的距离均为，所以，
所以由知，所以，即，
解得，
所以，又，在两个互相垂直的大圆上，
所以，
所以，，两两垂直，
由，平面，且，可知平面，
而在平面和平面内，
所以平面平面，同理平面平面，
平面平面，
所以三个平面，，两两垂直，
故由球面角的定义知，
所以球面的内角和是．
由已知条件，可设，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，设，
设，则由可知：
；
；
，
所以，
设，则，
所以，
设平面，，的法向量分别为，设，
则，且，且，
则，即，
即，
故取
所以
，
，
，
所以球面的三个内角的余弦值分别为．
先证明一个引理．
引理：若球面的三个球面角，设该球面的面积为，
则，
证明：
记球的表面积为，则，
设，，的对径点分别为，，，
则所在的大圆和所在的大圆，
它们将球面分成了四个部分，
其中面积较小的两个部分的面积之和等于球的表面积的倍，
即，类似可定义，，同理有，
根据球面被这三个大圆的划分情况，又有，
所以，
所以，
得证，
回到原题，根据的结论，有，
再由引理知球面的面积．
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