角平分线的性质
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专题2 角平分线的性质
知识归纳
1．画法：依据是SSS。
2．性质: ①角的平分线上的点到角的两边的距离相等；②△的三条角平分线相交于一点，这一点到△的三条边的距离相等。
3．判定: 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
4．重要辅助线：翻折法、作距离。
特别提示
性质是证“线段相等”的又一重要方法；判定是证“角相等”的又一重要方法。
典例精析
1．如图1，在△ABC中，AD平分∠CAE，∠B=，∠CAD=，则∠ACD等于 （ ）
A． B． C． D．
2．如图2，在△ABD中，AD=4，AB=3，AC平分∠BAD，则= （ ）
A． B． C． D．不能确定
3．如图3，在△ABC中，∠C=，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；
②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB。其中正确的有 （ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
4．如图4，AD∥BC，∠D=，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关系是 （ ）
A．PD>PC B．PD5．如图5，在△ABC中，∠C=，AD平分∠BAC，CD=6cm，AB=15cm，则= 。
6．如图6，在△ABC中，∠C=，BC=16cm，∠BAC的平分线AD交BC于D，且，则D到AB的距离等于 。
7．如图7，AB∥CD，点P到AB、BC、CD的距离相等，则∠P= 。
8．如图8，OB与OC分别是△ABC的∠B与∠C的平分线，那么∠BAO与∠CAO大小关系为 。
9．如图9，在△ABC中，∠ACB=，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分线，CD交AE于点F。点E到AB的距离等于3cm，则CF= 。
10．如图10，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N。求证：PM=PN。
11．如图11，∠B=∠C=，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AM平分∠DAB。
12．如图12，PA=PB，∠1+∠2=。求证：OP平分∠AOB。
13．如图13，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，若AQ=PQ，RP=PS。
则PQ与AB是否平行？请说明理由。
☆14．如图14，△ABC中，AB=AC，∠A=，∠B的平分线交AC于D，过C作BD的垂线，交BD的延长线于E。求证：BD=2CE。
☆15．如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD。求证：CD⊥AC。
专题2 角平分线的性质
1．C 2．A 3．B 点拨：①②③正确
4．C 点拨：作PE⊥AB于E。温馨提示：已知角平分线常考虑“翻折”或“作距离”。 5．45 6．6 7．
8．相等 点拨：三角形的三条角平分线相交于一点。
9．3 点拨：作EG⊥AB于G。则CF=CE=EG=3
10．点拨：只需证DP平分∠ADC。
11．点拨：作MN⊥AD于N。只需证MN=BM。
12．点拨：作PE⊥OB于E， PF⊥OA于F，由△PAF≌△PBE得PF=PE即可得证。
13．点拨：PQ∥AB。连结AP，由内错角相等即可得证。
14．点拨：延长BA、CE交于F。由△BCE≌△BFE得CE=EF，CF=2CE。
再由△BAD≌△CAF得BD=CF。
15．点拨：延长AC到E，使CE=AC，连结DE。
图3
图4
图1
图2
图9
图5
图6
图7
图8
图10
图11
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专题2 角平分线的性质
知识归纳
1．画法：依据是SSS。
2．性质: ①角的平分线上的点到角的两边的距离相等；②△的三条角平分线相交于一点，这一点到△的三条边的距离相等。
3．判定: 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
4．重要辅助线：翻折法、作距离。
特别提示
性质是证“线段相等”的又一重要方法；判定是证“角相等”的又一重要方法。
典例精析
1．如图1，在△ABC中，AD平分∠CAE，∠B=，∠CAD=，则∠ACD等于 （ ）
A． B． C． D．
2．如图2，在△ABD中，AD=4，AB=3，AC平分∠BAD，则= （ ）
A． B． C． D．不能确定
3．如图3，在△ABC中，∠C=，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；
②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB。其中正确的有 （ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
4．如图4，AD∥BC，∠D=，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关系是 （ ）
A．PD>PC B．PD
6．如图6，在△ABC中，∠C=，BC=16cm，∠BAC的平分线AD交BC于D，且，则D到AB的距离等于 。
7．如图7，AB∥CD，点P到AB、BC、CD的距离相等，则∠P= 。
8．如图8，OB与OC分别是△ABC的∠B与∠C的平分线，那么∠BAO与∠CAO大小关系为 。
9．如图9，在△ABC中，∠ACB=，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分线，CD交AE于点F。点E到AB的距离等于3cm，则CF= 。
10．如图10，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N。求证：PM=PN。
11．如图11，∠B=∠C=，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AM平分∠DAB。
12．如图12，PA=PB，∠1+∠2=。求证：OP平分∠AOB。
13．如图13，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，若AQ=PQ，RP=PS。
则PQ与AB是否平行？请说明理由。
☆14．如图14，△ABC中，AB=AC，∠A=，∠B的平分线交AC于D，过C作BD的垂线，交BD的延长线于E。求证：BD=2CE。
☆15．如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD。求证：CD⊥AC。
专题2 角平分线的性质
1．C 2．A 3．B 点拨：①②③正确
4．C 点拨：作PE⊥AB于E。温馨提示：已知角平分线常考虑“翻折”或“作距离”。 5．45 6．6 7．
8．相等 点拨：三角形的三条角平分线相交于一点。
9．3 点拨：作EG⊥AB于G。则CF=CE=EG=3
10．点拨：只需证DP平分∠ADC。
11．点拨：作MN⊥AD于N。只需证MN=BM。
12．点拨：作PE⊥OB于E， PF⊥OA于F，由△PAF≌△PBE得PF=PE即可得证。
13．点拨：PQ∥AB。连结AP，由内错角相等即可得证。
14．点拨：延长BA、CE交于F。由△BCE≌△BFE得CE=EF，CF=2CE。
再由△BAD≌△CAF得BD=CF。
15．点拨：延长AC到E，使CE=AC，连结DE。
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