2024-2025学年安徽省“卓越县中联盟&皖豫名校联盟”高二（上）期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年安徽省“卓越县中联盟&皖豫名校联盟”高二（上）期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.若直线与平行，则( )
A. B. C. D.
3.已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线所在直线的方程是( )
A. B. C. D.
4.已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知四面体的所有棱长都等于，棱，的中点分别是，，则( )
A. B. C. D.
6.已知直线过点和，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，若为坐标原点，表示面积，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知，，分别为“空间斜坐标系”下三条数轴轴、轴、轴正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作如图，在平行六面体中，，，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面，的法向量分别是，，直线的方向向量为，则( )
A. B.
C. 可以作为空间的一个基底 D. 在上的投影向量的模长为
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，若是直角三角形，则的面积可以是( )
A. B. C. D.
11.已知点，，曲线是满足的点的轨迹，，分别是曲线与圆上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 若曲线与圆有公共点，则
B. 若，则两曲线交点所在直线的方程为
C. 若，则的取值范围为
D. 若，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆的半径的最小值为 ．
13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点，则，，三点能构成边长为的正三角形时，的方程为 ．
14.如图，在棱长为的正方体中，，点是底面内包括边界的动点，且满足，则符合条件的点形成的轨迹的长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，
Ⅰ若，，共面，求的值
Ⅱ若，求的值．
16.本小题分
已知直线的方程为．
Ⅰ证明：直线过定点．
Ⅱ当为何值时，点到直线的距离最大最大值是多少
17.本小题分
已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
Ⅰ求圆的方程
Ⅱ若为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当最小时，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，，，分别是棱，的中点，平面平面．
Ⅰ求证：．
Ⅱ在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为若存在，求出点的位置若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为，，离心率为，为上任意一点，且．
Ⅰ求的方程．
Ⅱ设过点的直线与有两个不同的交点，均不与点重合．
(ⅰ)若以线段为直径的圆恒过点，求的值
(ⅱ)在(ⅰ)的条件下，若直线的斜率存在且线段的中点为，求证：直线与直线是坐标原点的斜率之积为定值．
参考答案
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15.解：Ⅰ，，
与不平行，
，，共面，
存在实数，，使得，即
解得
故实数的值为．
Ⅱ，，且，
，
即，解得．
16.解：Ⅰ将直线的方程整理得，
由解得
所以直线恒过点
Ⅱ由Ⅰ可得直线过定点，设定点为，
当时，点到直线的距离最大，且最大距离，
即点到直线的最大距离为，
此时，而直线的斜率，
所以，解得．
17.解：Ⅰ设圆的标准方程为，
由已知得，解得
所以圆的方程为．
Ⅱ由Ⅰ知圆的方程为，圆心为，半径．
因为，
所以要使最小，则需最小，此时与直线垂直，
由直线，可得直线的斜率为，
直线的方程为，即，
由解得即，
则以为直径的圆的方程为．
由两式相减可得直线的方程为．
18.解：Ⅰ连接，如图，
由题知四边形是菱形，则，
又，分别为棱，的中点，所以，故．
因为为等边三角形，为的中点，所以．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，故BDC.
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以．
Ⅱ连接，
由，，可知为等边三角形，
又是的中点，所以，
由Ⅰ得平面，所以，，两两互相垂直．
故以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
假设在棱上存在符合要求的点，设，
则，．
设平面的法向量为，则即
即取，则，所以
由Ⅰ得是平面的一个法向量，
因为平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，，即，解得或舍去，
故存在点，且为棱上靠近点的一个三等分点，使得平面与平面的夹角的余弦值为．
19.解：Ⅰ设椭圆的半焦距为．
由题意得，．
因为的离心率，所以，结合，得，
所以的方程为．
设直线的方程为，，，
由消去，得，
所以，，，
所以，
，
因为以线段为直径的圆恒过点，
所以，即，
所以，即，
即，解得或舍去，满足，故．
由题可知
结合可知，，所以，
所以直线的斜率，
又直线的斜率，所以，为定值，证毕．
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