2024-2025学年河北省保定市清苑区高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省保定市清苑区高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的渐近线与圆相切，则的值是( )
A. B. C. D.
3.在四面体中记，，，若点、分别为棱、的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是( )
A. B. C. 与相交但不垂直 D. 或
5.若直线与圆：相切，且点到直线的距离为，则这样的直线的条数为( )
A. B. C. D.
6.设双曲线，为其右顶点，直线与双曲线交于、两点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知圆过点，，设圆心，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且：：，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，分别是椭圆：的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是( )
A. 的周长为 B. 面积的最大值为
C. 椭圆的焦距为 D. 椭圆的离心率为
10.在三棱锥中，为边长为的正三角形，，，设二面角的大小为，，为的重心，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与所成的角为
D. 若，则
11.已知曲线：，则下列说法正确的是( )
A.
B. 曲线关于直线对称
C. 曲线围成的封闭图形的面积不大于
D. 曲线围成的封闭图形的面积随的增大而增大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若圆：上存在两点关于直线对称，则的值为______．
13.已知点，，，则点到直线的距离是______．
14.过椭圆上一点作圆：的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，圆：．
求与直线平行且与圆相切的直线方程；
设直线，且与圆相交于，两点，若，求直线的方程．
16.本小题分
设双曲线：，，，分别是的左、右焦点，是左支上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为．
若直线的倾斜角为，求的离心率；
若直线在轴上的截距为，且，求，．
17.本小题分
如图，在正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且．
证明：，，，四点共面．
设平面与棱的交点为，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆经过球心的平面截球面所得的圆在这两点间的一段劣弧的长度这个弧长就被称作两点的球面距离．
在正四棱柱底面为正方形的直棱柱中，，，求顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离．
如图，在直角梯形中，，，，现将沿边折起到，如图，使得点在底面的射影在上．
求点到底面的距离；
设棱锥的外接球为球，求，两点在球上的球面距离．
参考数据：，．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，点在线段上，点在线段上，且，设直线与交于点．
证明：当变化时，点始终在某个椭圆上运动，并求出椭圆的方程．
过点作直线与椭圆交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与椭圆交于，不同的两点．
证明：为定值．
求面积的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设直线的方程为，圆心，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
则，得或，
故直线的方程为或；
设直线的方程为，
圆心到直线的距离为，则，
所以，得，或，
所以直线的方程为或．
16.解：设，，
因与轴垂直，设，
则，可得，又，
则，即，
即，又，
所以，解得：，
即的离心率为；
如图，设与轴交点为，则，
因为，中点，与轴垂直，
则，为中点，
则由中位线定理可得，
因，设，
则，，
所以，则，
因，，三点共线，则，
所以，
由余弦定理得：
，
化简得：，或，
当时，不合题意，
当时，则，解得：，
所以，
所以，
综上，，．
17.证明：设正方体的棱长为，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设，则，
所以，解得，，
所以，
故D，，，四点共面．
解：在棱上取一点，使得，连接，，则，
因为，分别为，的中点，
所以，所以，即，，，四点共面，
所以点在平面上，即平面直线，
所以点与点重合，即，
而，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设与平面所成角为，
则，，
故D与平面所成角的正弦值为．
18.解：正四棱柱的外接球直径，球半径，
因此球心与点，构成正三角形，弦所对球过，的大圆圆心角为，弧长为，
所以顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离为．
在直角梯形中，，，，，
，，则为正三角形，
在棱锥中，平面，而平面，则，
又，，，平面，则平面，
而平面，因此，，
在中，，，，
所以点到底面的距离为．
取中点，则为外接圆圆心，令正三角形的外接圆圆心为，
连接，，，，，则，
平面，平面，
于是，，
在中，，
因此棱锥的外接球半径，
有，
球的弦所对大圆的圆心角为，
，
即是钝角，而，
则，
在大圆中所对劣弧长为，
所以，两点在球上的球面距离为．
19.解：证明：令点，根据已知可得，所以，
因此，所以；
同理可得．
因此的斜率，
因此直线的方程为，
所以的方程为，所以，
设直线与的交点坐标为，
根据可得，
整理可得，
因此当变化时，点始终在椭圆：上运动．
证明：令直线的方程为，
联立直线和椭圆方程可得，化简得，
由于椭圆与直线交于两点，，
因此，所以或，
根据韦达定理可得，，
又因为，
因此，
令的方程为，椭圆与直线交于两点，，
联立直线和椭圆方程，化简得，
同理可得：，，
，
因此为定值．
又因为当的方程为时，直线与直线重合，不符合题意．
所以定值．
由于，
又由于，
因此，
化简可得，
设，由于，因此，
因此，
又由于当时，，因此，
因此，
所以面积的取值范围为．

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