2024-2025学年广东省广州四中等三校联考高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州四中等三校联考高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.直线与的距离是( )
A. B. C. D.
4.已知角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知点关于直线对称的点在圆：上，则( )
A. B. C. D.
7.过三点，，的圆交轴于，两点，则( )
A. B. C. D.
8.已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：及点，则下列说法正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 点在圆外
C. 若点在圆上，则直线的斜率为
D. 若是圆上任一点，则的取值范围为
10.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是( )
A. B.
C. 夹角是 D. 直线与直线的距离是
11.如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，则( )
A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
D. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点，且与直线垂直的直线方程是______．
13.已知向量，，则 ______．
14.已知圆：，为直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，是边上的点，，，．
求与的面积；
求边的长．
16.本小题分
在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点．
求点到直线的距离；
求证：面．
17.本小题分
已知直线的方程为：．
求证：不论为何值，直线必过定点；
过点引直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长．
18.本小题分
如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的正弦值；
若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离．
19.本小题分
已知圆：，点，为坐标原点．
若，求圆过点的切线方程；
若圆与直线交于，两点，点为线段中点，直线的斜率为，求的面积；
若圆上存在点，满足，求的取值范围．
参考答案
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15.解：在中，由余弦定理得，
，
，
；
由知，
，，
在中，由正弦定理得，
即．
16.解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
，，，
，，
点到直线的距离为．
证明：，，，，
，，，
，，，，
，面．
17.证明：由，可得，
令．
所以直线过定点；
解：由知，直线恒过定点，
由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点为，，
令，得；令，得，
所以面积 ，
当且仅当，即时，面积最小，
此时，，，
则的周长为．
所以当面积最小时，的周长为．
18.解：证明：连接，因为，，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，
因为点和分别为和的中点，所以且，
因为，，为的中点，所以且，
可得且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面．
因为平面，，
故以为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
依题意可得，，，，
，，，
，
设为平面的法向量，
则，即，取，
设为平面的法向量，
则，即，取，
所以，
设平面与平面夹角为，
所以，
即平面与平面夹角的正弦值为．
设，即，
则．
从而．
由知平面的法向量为，
而直线与平面所成的角为，
所以，
即，
整理得，解得或，
因为，
所以，所以，，
由知是平面的法向量，
点到平面的距离为．
19.解：时，圆：，圆心为，半径．
若过的直线与圆相切，则切线的斜率存在，
设切线的方程为，即，
点到切线的距离，即，解得或，
所以切线方程为或，即或．
若圆与直线交于、两点，且为中点，
则该直线与垂直，可得，直线：，即，
由，解得，所以，解得．
由此可得圆心，到直线的距离，所以．
因为原点到直线的距离，可得的面积．
设，由，得，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
根据题意，可得圆：与圆有公共点，
所以，即，解得．
综上所述，若圆上存在点，满足，求的取值范围是
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