2024-2025学年江苏省扬州市高邮高二年级（上）11月期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省高邮市高二年级（上）11月期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D. 不存在
2.若直线与直线平行，则它们之间的距离为( )
A. B. C. D.
3.设为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是( )
A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定
4.如图，一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面下降后，桥洞内水面宽为( )
A. B. C. D.
5.已知圆和圆，则两圆的公切线条数为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线，则抛物线上一点到直线的最小距离为( )
A. B. C. D.
7.椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点如图已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则( )
A. B. C. D.
8.已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 直线的斜率越大，倾斜角越大
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的斜率为
D. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限
10.已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，，且，则下列说法正确的是
A. B. 双曲线的方程为
C. 的面积为 D. 的周长为
11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”如图，对于此曲线，下列说法正确的是( )
A. 曲线与直线有个公共点
B. 曲线与圆有个公共点
C. 曲线所围成的图形的面积为：
D. 若点在曲线上，点，线段的长度可能为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，则实数的值为_______．
13.过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为___________________．
14.若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，且，则实数的取值范围为___________________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，，．
求边上的高所在直线的方程；
求经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线的方程．
16.本小题分
已知圆的圆心在第一象限，半径为，且经过直线与直线的交点．
求圆的方程；
过点作圆的切线，求切线的方程．
17.本小题分
已知抛物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，为抛物线上两点．
求抛物线的标准方程及其准线方程；
若，求线段的中点到轴的距离．
18.本小题分
已知，，点满足，记点的轨迹为．
求轨迹的方程；
直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于两点在之间，若，，求的值；
已知点，过点作直线与轨迹交于两点，记直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的焦距为，，分别为其左右焦点，为原点，且点在椭圆上．
求椭圆的标准方程；
经过左焦点的直线与椭圆交于，两点异于左右顶点，为线段的中点，
若，求线段的长度；
求点到直线的距离的最小值．
参考答案
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13.【解答】解：假设直线斜率不存在，则，
此时直线与和的交点为，，此时点不是中点，不符合题意，舍去．
假设直线斜率存在，过点作直线，
由点斜式设直线的方程为，
设点的横坐标为，则由点在直线上，得，又由中点坐标公式，得，
把点的坐标代入直线，解得，
则
故，
故直线的方程为，
整理为一般式为．
或写为：
14.
15.解：记边上的高为，由题知，则，
故直线的方程为：，即，
所以边上的高所在直线的方程为：；
当所求直线的截距为时，直线方程为：，
当所求直线的截距不为时，设直线方程为：，
代入点，得，解得，直线方程为，即，
综上所述，直线方程为：或．
16.解：联立，解得两直线的交点为，
由得，
又因为，所以，圆心为圆的方程为：；
当切线的斜率不存在时，直线为：，此时，圆心到直线的距离，舍去；
当切线的斜率存在时，设直线方程为：，即，
此时，圆心到直线的距离，解得，
切线方程为：或．
17.解：由题知双曲线的上焦点为，
故，设抛物线的标准方程为：，
则，，
抛物线的标准方程为：，
其准线方程为：
设，，线段的中点记为，
由得，
即，所以，
即线段的中点到轴的距离为．
18.解：由题知，点的轨迹为：以，为焦点，的双曲线，
设此双曲线方程为，
易知，又由得，
即轨迹的方程为：
直线的方程为：，联立
得点和点，
则，，
由知解得
法一：
由题知，直线不可能与轴重合，设为：，，，
联立得，，
，
定值
法二：当直线的斜率不存在时，直线方程为：，
可得，，得
当直线的斜率存在时，设直线方程为：，
联立得
，
综上所述，为定值．
19.解：法一：由题知，，即，，
又由点在椭圆上知：，解得，
所以，椭圆的标准方程为：
法二：由题知，，即，两焦点分别为：，，
由椭圆的定义知，
所以，，，
所以，椭圆的标准方程为：
由题意可知，直线不与轴垂直，且经过点，
所以可设直线的方程为，并设，
由，得．
易知判别式，，
因为，即，
即，
解得，
法一：
由，所以的中点为，
即点，
法二：
所以，
法一：
由可知的中点为，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为．
设点到直线的距离为，因为点是弦的中点，所以点到直线的距离也为，
则．
因为点，位于直线的异侧，所以．
所以．
又因为，
可知当时，，即点到直线的距离的最小值为．
法二：由知．得，下同法一．
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