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一元二次方程 单元训练
一．选择题（共15小题）
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A．x2+3y＝5 B．x2﹣2x+3 C．5x22 D．x2﹣x﹣6＝0
2．一元二次方程5x2﹣2x+2＝0的一次项系数是（ ）
A．5 B．﹣2 C．2 D．0
3．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx+9＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．10 B．9 C．﹣6 D．﹣10
4．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则4a+8b＝（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．﹣6
5．关于x的方程（m﹣3）x2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m＞1 C．m≥1且m≠3 D．m＞1且m≠3
6．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7
C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.2
7．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（ ）
A．（44+x）（20+5x）＝1600
B．（44﹣x）（20+5x）＝1600
C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600
D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600
8．如图，在一块长92m，宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为885平方米的6个矩形小块，求水渠宽度．设水渠宽x m，列方程正确的是（ ）
A．（92+2x）（60+x）＝885
B．（92﹣2x）（60﹣x）＝885
C．（92+2x）（60+x）＝885×6
D．（92﹣2x）（60﹣x）＝885×6
9．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛．如果设邀请x个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）
A．2x＝15 B．x（x+1）＝15
C．x（x﹣1）＝15 D．
10．某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝2550 B．x（x﹣1）＝2550
C．2x（x+1）＝2550 D．x（x﹣1）＝2550×2
11．如图，要利用一面墙（墙足够长）建养圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的边长AB为x米，可列方程为（ ）
A． B．4（100﹣x）x＝400
C．（100﹣4x）x＝400 D．
12．有一人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程是（ ）
A．x（x+1）＝196 B．x（x﹣1）＝196
C．（1+x）2＝196 D．（1+2x）＝196
13．在一次野外实践时，小明发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是133，设这种植物每个枝干长出的小分支个数为x个，则下列方程符合题意的是（ ）
A．1+x+x2＝133 B．1+x+2x＝133
C．（1+x）2＝133 D．x（1+x）＝133
14．晨光文具店将进价为20元的商品按25元出售时能卖250个，已知该商品涨价1元，其销量就要减少5个，为了赚2250元的利润，设每个商品涨价x元，则可得方程（ ）
A．（x+1）（250﹣5x）＝2250 B．（x+5）（250﹣5x）＝2250
C．（x+1）（250+5x）＝2250 D．（x+5）（250+5x）＝2250
15．如图所示，AB⊥CB，AB＝10cm，BC＝8cm．一只螳螂由A点以每秒2cm的速度由A向B爬行，与此同时，一只蝉从C点以每秒1cm的速度由C向B爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了点M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24cm2．根据题意可得方程（ ）
A．2x x＝24 B．（10﹣2x）（8﹣x）＝24
C．（10﹣x）（8﹣2x）＝24 D．（10﹣2x）（8﹣x）＝48
二．填空题（共4小题）
16．方程x2＝3x的解是 ．
17．方程x2﹣7x﹣2＝0的两根之和等于 ．
18．已知方程2x2﹣3x+1＝0的两个根为α，β，则α+β＝ ，αβ＝ ．
19．设m，n是一元二次方程x2+3x﹣2002＝0的两个根，则m2+4m+n＝ ．
三．解答题（共6小题）
20．解下列方程：
（1）3x2﹣6x＝1；
（2）5y2﹣7y+2＝0．
21．用适当的方法解下列方程：
（1）（x+1）2＝9；
（2）x2﹣4x＝6；
（3）2x2﹣3x﹣1＝0；
（4）（x﹣1）2＝（2x+1）2．
22．天泉村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室．要求长宽的比为3：1．在温室内，沿前后两侧内墙各留3m宽的空地放置工具，其他两侧内墙各留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽多少时，蔬菜种植区的面积是300m3？
23．如图，矩形ABCD的边AB＝200cm，O为AB的中点．OE⊥AB交CD于点E．质点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动；另一质点Q同时从点O出发，以3cm/s的速度沿OE向点E运动．经过多少秒时，△POQ的面积为1800cm2？
24．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB＝x m．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值．
（2）若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S能否为196m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
25．某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵数有关．当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元．以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应当种植该种花卉多少棵？中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程 单元训练
一．选择题（共15小题）
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A．x2+3y＝5 B．x2﹣2x+3 C．5x22 D．x2﹣x﹣6＝0
【思路点拔】只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．
【解答】解：A、x2+3y＝5含有2个未知数，不符合题意；
B、x2﹣2x﹣3不是方程，不符合题意；
C、5x22为分式方程，不符合题意；
D、x2﹣x﹣6＝0只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，符合题意．
故选：D．
2．一元二次方程5x2﹣2x+2＝0的一次项系数是（ ）
A．5 B．﹣2 C．2 D．0
【思路点拔】根据题意可得一次项为﹣2x，即可求解．
【解答】解：由题意可得：一次项为﹣2x，其系数为﹣2，
故选：B．
3．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx+9＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．10 B．9 C．﹣6 D．﹣10
【思路点拔】先把x＝1代入一元二次方程x2+mx+9＝0即可得出m的值．
【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx+9＝0的一个根，
∴12+m+9＝0，
∴m＝﹣10．
故选：D．
4．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则4a+8b＝（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．﹣6
【思路点拔】根据题意可得：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0中得：12+a+2b＝0，从而可得a+2b＝﹣1，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0中得：
12+a+2b＝0，
解得：a+2b＝﹣1，
∴4a+8b＝4（a+2b）＝4×（﹣1）＝﹣4，
故选：B．
5．关于x的方程（m﹣3）x2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m＞1 C．m≥1且m≠3 D．m＞1且m≠3
【思路点拔】根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出实数m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣3）x2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞1且m≠3．
故选：D．
6．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7
C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.2
【思路点拔】根据2020年的人均可支配收入×（1+年平均增长率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得：3.2（1+x）2＝3.7，
故选：B．
7．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（ ）
A．（44+x）（20+5x）＝1600
B．（44﹣x）（20+5x）＝1600
C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600
D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600
【思路点拔】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．
【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：
（44﹣x）（20+5x）＝1600
故选：B．
8．如图，在一块长92m，宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为885平方米的6个矩形小块，求水渠宽度．设水渠宽x m，列方程正确的是（ ）
A．（92+2x）（60+x）＝885
B．（92﹣2x）（60﹣x）＝885
C．（92+2x）（60+x）＝885×6
D．（92﹣2x）（60﹣x）＝885×6
【思路点拔】把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程即可．
【解答】解：由题意得：（92﹣2x）（60﹣x）＝885×6．
故选：D．
9．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛．如果设邀请x个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）
A．2x＝15 B．x（x+1）＝15
C．x（x﹣1）＝15 D．
【思路点拔】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数，由此可得出方程．
【解答】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得，15，
故选：D．
10．某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝2550 B．x（x﹣1）＝2550
C．2x（x+1）＝2550 D．x（x﹣1）＝2550×2
【思路点拔】如果全班有x名学生，那么每名学生应该送的相片为（x﹣1）张，根据“全班共送了2550张相片”，可得出方程为x（x﹣1）＝2550．
【解答】解：∵全班有x名学生，
∴每名学生应该送的相片为（x﹣1）张，
∴x（x﹣1）＝2550．
故选：B．
11．如图，要利用一面墙（墙足够长）建养圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的边长AB为x米，可列方程为（ ）
A． B．4（100﹣x）x＝400
C．（100﹣4x）x＝400 D．
【思路点拔】利用矩形的面积公式，构建方程即可．
【解答】解：列方程为（100﹣4x）x＝400，
故选：C．
12．有一人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程是（ ）
A．x（x+1）＝196 B．x（x﹣1）＝196
C．（1+x）2＝196 D．（1+2x）＝196
【思路点拔】若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染后患流感的总人数为（1+x）．由此可得答案．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
依题意得（1+x）+x（1+x）＝196，即（1+x）2＝196．
故选：C．
13．在一次野外实践时，小明发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是133，设这种植物每个枝干长出的小分支个数为x个，则下列方程符合题意的是（ ）
A．1+x+x2＝133 B．1+x+2x＝133
C．（1+x）2＝133 D．x（1+x）＝133
【思路点拔】设这种植物每个枝干长出的小分支个数为x个，根据主干、枝干和小分支的总数是133，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设这种植物每个枝干长出的小分支个数是x，
依题意得：1+x+x2＝133，
故选：A．
14．晨光文具店将进价为20元的商品按25元出售时能卖250个，已知该商品涨价1元，其销量就要减少5个，为了赚2250元的利润，设每个商品涨价x元，则可得方程（ ）
A．（x+1）（250﹣5x）＝2250 B．（x+5）（250﹣5x）＝2250
C．（x+1）（250+5x）＝2250 D．（x+5）（250+5x）＝2250
【思路点拔】直接利用销量×每个利润＝总利润进而得出等式即可．
【解答】解：设每个商品涨价x元，则可得方程：
（5+x）（250﹣5x）＝2250．
故选：B．
15．如图所示，AB⊥CB，AB＝10cm，BC＝8cm．一只螳螂由A点以每秒2cm的速度由A向B爬行，与此同时，一只蝉从C点以每秒1cm的速度由C向B爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了点M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24cm2．根据题意可得方程（ ）
A．2x x＝24 B．（10﹣2x）（8﹣x）＝24
C．（10﹣x）（8﹣2x）＝24 D．（10﹣2x）（8﹣x）＝48
【思路点拔】分别表示出螳螂和蝉爬行的距离后表示出MB和NB的值，利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：根据题意得：AM＝2xcm，CN＝xcm，
则MB＝（10﹣2x）cm，NB＝（8﹣x）cm，
∵△MNB的面积恰好为24cm2，
∴（10﹣2x）（8﹣x）＝24，
即：（10﹣2x）（8﹣x）＝48，
故选：D．
二．填空题（共4小题）
16．方程x2＝3x的解是 x1＝0，x2＝3 ．
【思路点拔】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：x2＝3x，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
17．方程x2﹣7x﹣2＝0的两根之和等于 7 ．
【思路点拔】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【解答】解：设x1，x2为方程x2﹣7x﹣2＝0的两根，
则，
∴方程x2﹣7x﹣2＝0的两根之和等于7，
故答案为：7．
18．已知方程2x2﹣3x+1＝0的两个根为α，β，则α+β＝ ，αβ＝ ．
【思路点拔】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得α+β，αβ．
故答案为：，．
19．设m，n是一元二次方程x2+3x﹣2002＝0的两个根，则m2+4m+n＝ 1999 ．
【思路点拔】将x＝m代入方程可得m2+3m﹣2002＝0，再结合根与系数的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
m+n＝﹣3．
又m是一元二次方程的根，
所以m2+3m﹣2002＝0，
则m2+4m+n
＝m2+3m+m+n
＝2002+（﹣3）
＝1999．
故答案为：1999．
三．解答题（共6小题）
20．解下列方程：
（1）3x2﹣6x＝1；
（2）5y2﹣7y+2＝0．
【思路点拔】（1）利用配方法得到（x﹣1）2，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法把方程转化为5y﹣2＝0或y﹣1＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）3x2﹣6x＝1，
x2﹣2x，
x2﹣2x+1，
（x﹣1）2，
x﹣1＝±，
所以x1＝1，x2＝1；
（2）5y2﹣7y+2＝0，
（5y﹣2）（y﹣1）＝0，
5y﹣2＝0或y﹣1＝0，
所以y1，y2＝1．
21．用适当的方法解下列方程：
（1）（x+1）2＝9；
（2）x2﹣4x＝6；
（3）2x2﹣3x﹣1＝0；
（4）（x﹣1）2＝（2x+1）2．
【思路点拔】（1）根据直接开平方法进行求解方程即可；
（2）根据配方法进行求解方程即可；
（2）根据公式法进行求解方程即可；
（4）根据因式分解法进行求解方程即可．
【解答】解：（1）（x+1）2＝9，
∴x+1＝±3，
∴x1＝2，x2＝﹣4；
（2）x2﹣4x＝6，
x2﹣4x+4＝10，
（x﹣2）2＝10，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2，x2＝2；
（3）2x2﹣3x﹣1＝0，
整理a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
∴x，
∴x1，x2；
（4）（x﹣1）2＝（2x+1）2，
（x﹣1）2﹣（2x+1）2＝0，
[（x﹣1）+（2x+1）][（x﹣1）﹣（2x+1）]＝0，
3x（﹣x﹣2）＝0，
∴3x＝0或﹣x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣2．
22．天泉村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室．要求长宽的比为3：1．在温室内，沿前后两侧内墙各留3m宽的空地放置工具，其他两侧内墙各留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽多少时，蔬菜种植区的面积是300m3？
【思路点拔】设长为3x m，则宽为x m，根据“种植区面积是300m2”利用矩形的面积公式列出方程求解可得．
【解答】解：设长为3x m，则宽为x m，
根据题意可列方程为：（3x﹣6）（x﹣2）＝300，
整理，得：x2﹣4x﹣96＝0，
解得：x1＝﹣8（舍去）、x2＝12，
∴3x＝36m，
答：矩形温室的长为36m，宽为12m时，种植面积为300m2．
23．如图，矩形ABCD的边AB＝200cm，O为AB的中点．OE⊥AB交CD于点E．质点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动；另一质点Q同时从点O出发，以3cm/s的速度沿OE向点E运动．经过多少秒时，△POQ的面积为1800cm2？
【思路点拔】用未知数x表示出△POQ的面积，AP＝2x，OP＝（100﹣2x），OQ＝3x，△POQ的面积为 OQ OP，即再解一元二次方程即可．
【解答】解：当点P在AO上运动时，设P、Q两点运动x秒时，△POQ的面积为1800cm2，
则AP＝2x，OP＝（100﹣2x），OQ＝3x，
∴3x（100﹣2x）＝1800，
解得x1＝20，x2＝30；
当P点在OB上时，3x（2x﹣100）＝1800，x2﹣50x﹣600＝0，
解得x1＝60，x2＝﹣10（舍去），
答：P、Q两点运动20、30、60秒时，△POQ的面积为1800cm2．
24．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB＝x m．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值．
（2）若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S能否为196m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值．
【解答】解：（1）∵AB＝x，则BC＝（28﹣x），
∴x（28﹣x）＝192，
解得：x1＝12，x2＝16，
答：x的值为12或16；
（2）不能，理由如下：
∵AB＝x m，
∴BC＝28﹣x，
∴S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28﹣15＝13，
∴6≤x≤13，
∴当x＝13时，S取到最大值为：S＝﹣（13﹣14）2+196＝195，
∴不能
答：花园面积S的最大值为195平方米．
25．某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵数有关．当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元．以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应当种植该种花卉多少棵？
【思路点拔】根据题意可知：每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3﹣0.5x）元，由此得出每盆盈利y＝（x+3）（3﹣0.5x），令y＝10进一步解方程求出即可．
【解答】解：如果每盆花苗（假设原来花盆中有3株）增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，平均单株盈利为3﹣0.5x元，
则每盆盈利y＝（x+3）（3﹣0.5x）；
由题意得：（x+3）（3﹣0.5x）＝10．
化简整理得：x2﹣3x+2＝0．
解得x1＝1，x2＝2，
则3+1＝4（株），2+3＝5（株），
答：每盆应植4株或者5株．
