广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
1．（2024高二上·潮阳期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·潮阳期中）已知为虚数单位，复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·潮阳期中）如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·潮阳期中）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高二上·潮阳期中）两条平行直线与间的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·潮阳期中）空间四边形中，，点在上，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二上·潮阳期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·潮阳期中）如图，若是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当在平面内运动时，四棱锥的体积变化.
B．若是棱的中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是
C．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为
D．当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是
9．（2024高二上·潮阳期中）下列说法正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．已知直线l过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是
10．（2024高二上·潮阳期中）若，，，则关于事件A与B的关系正确的是（ ）
A．事件A与B互斥 B．事件A与B不互斥
C．事件A与B相互独立 D．事件A与B不相互独立
11．（2024高二上·潮阳期中）已知定义在上的函数满足，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．的图象关于点对称
12．（2024高二上·潮阳期中）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，直角三角形中较小的锐角为θ，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为 ．
13．（2024高二上·潮阳期中）已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 .
14．（2024高二上·潮阳期中）空间四边形ABCD中，，且异面直线AD与BC成，异面直线AB与CD所成角的正切值为 .
15．（2024高二上·潮阳期中）已知三角形的内角的对边分别为，且这些边和角的关系满足．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，且，求的周长．
16．（2024高二上·潮阳期中）在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
17．（2024高二上·潮阳期中）已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和.
（1）求圆C的方程；
（2）若线段的端点，端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程.
18．（2024高二上·潮阳期中）如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，.
（1）若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率；
（2）若，求的面积的最大值；
（3）设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：，，则.
故答案为：A.
【分析】利用并集的运算法则得出集合M和集合N的并集.
2．【答案】A
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：A.
【分析】根据复数除法的运算法则化简，再由复数模长公式，从而得出复数z的模.
3．【答案】A
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：设直线，，的倾斜角分别为，由题中图象知：
，
所以，即，
故答案为：A．
【分析】设直线，，的倾斜角分别为，可得，再由直线的斜率与直线的倾斜角的关系，从而比较出，，的大小关系.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由一元二次不等式求解方法和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
5．【答案】D
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线，即为，
原问题转化为求两平行直线与间的距离，
由平行直线间的距离公式可得.
故答案为：D.
【分析】根据转化法和两平行线间的距离公式，从而得出答案.
6．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：点为的中点，如图所示：
则有，
所以.
故答案为：B.
【分析】由向量的三角形法则和平行四边形法则，再利用基底表示所求向量．
7．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：圆可化为，圆心，半径为，
圆可化为，圆心，半径为，
设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示：
由题意得，三点共线，三点共线，，，
∴，
∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，，∴，
∴点的轨迹方程为.
故答案为：C.
【分析】计算两个已知圆的圆心和半径，再根据三点共线和圆与圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，再结合椭圆的定义得出动圆圆心的轨迹方程.
8．【答案】B
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；扇形的弧长与面积；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：由平面平面，即到面的距离恒为定值，
故四棱锥体积恒定不变，所以A错；
对于B：若分别是的中点，是棱的中点，如图所示：
所以，面，面，故面，
同理可证面，由均在面内，
所以面面，又面面，即在上运动，
根据上述分析易知，面截正方体的截面是边长为的正六边形，
所以最小是的长度为，所以B对；
对于C：由直线AP与平面ABCD所成的角为，结合正方体的结构特征，
显然，在如下图的线段及圆弧上运动时，满足题设如图所示：
所以的轨迹长度为，所以C错；
对于D：由正方体结构知：，则与所成角，即为与所成角，
由在线段AC上运动，如下图是等边三角形，如图所示：
故与所成角范围是，所以D错.
故答案为：B.
【分析】由平面平面得出点到面的距离恒为定值，再结合棱锥体积公式判断出选项A；若分别是的中点，利用正方体的结构特征和线面、面面平行的判定定理，从而证明点在上运动，再结合截面为正六边形，从而求出PF长度的最小值，则判断出选项B；根据正方体的结构特征确定点的轨迹，再结合弧长公式，从而得出点P的轨迹长度，则判断出选项C；由正方体的结构特征得出线线平行，从而得出与所成角为与所成角，由在线段AC上运动结合三角形是等边三角形，从而得出与所成角的取值范围，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
9．【答案】A,D
【知识点】充要条件；斜率的计算公式；直线的截距式方程；直线的方向向量
【解析】【解答】解：对于A：由方向向量与斜率的关系知，该直线的斜率为，所以A对；
对于B：直线与直线互相垂直，有或，故已知条件间关系为充分不必要条件，所以B错；
对于C：对于不过原点且垂直于坐标轴的直线，不能用表示，所以C错；
对于D：由，，且在y轴两侧，
所以斜率的取值范围是，所以D对.
故答案为：AD.
【分析】根据方向向量与直线斜率的关系，从而判断选项A；利用两直线垂直斜率之积等于-1，再结合充要条件判断方法，从而判断出选项B；注意不过原点且垂直于坐标轴的直线和直线截距式方程的满足要求，从而判断出选项C；利用两点式求出线段端点处的直线斜率，再利用数形结合确定直线的斜率的取值范围，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，故A错误，B正确；
，所以，
又因为，故成立，故事件A与B相互独立，故C正确，D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据互斥事件与独立事件的定义，从而判断出关于事件A与B的正确关系.
11．【答案】A,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的值
【解析】【解答】解：令，则，所以A对；
因为，而，即或，
若，则，必有，与题设矛盾；
所以，故，
令，则，而，则，所以B错；
令，则①，
令，，则，即为偶函数，
令，则②，
由①②，得，即，
所以的图象关于点对称，所以D对；
结合，则关于对称，故为奇函数，所以C错.
故答案为：AD.
【分析】令结合已知条件，从而判断选项A；由选项A可得或，再结合已知条件有，再令，从而判断选项B；令得，再令，和奇、偶函数的定义，从而判断函数奇偶性，再令得，进而可得，则可判断选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】5
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：已知如图所示：
设大正方形边长为1，则，，小正方形的边长为，
由，两边同时平方得，，
所以，
则图中的大正方形与小正方形的面积之比为.
故答案为：5.
【分析】用三角函数表示直角三角形的两条直角边，则得出小正方形的边长为，由结合平方法和同角三角函数基本关系式，从而解出的值，即可求出大正方形与小正方形的面积之比.
13．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设幂函数，因为函数图象过点，
则，解得，
则，其定义域为，且在单调递减.
则由，
可得，解得.
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
【分析】设出幂函数解析式，再代入点求出待定的的值，再结合函数的单调性与定义域，从而得出不等式组，进而解不等式组得出实数a的取值范围.
14．【答案】
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：如图所示：
由，则，
两边平方，得，
由，异面直线AD与BC成，
所以，故，
即或（舍），易知，
所以.
【分析】由题设得出，再结合数量积的运算律和已知条件，从而求出的值，进而确定的大小，即可得出异面直线AB与CD所成角的正切值.
故答案为：
15．【答案】（1）解：对，
由正弦定理可得：，
故，则，
又因为，
故，则.
（2）解：由三角形面积公式结合可得：，
即，解得：；
由余弦定理和，
可得，即，
故，解得，
故的周长为.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理和已知条件进行转化，再结合两角和的正弦公式和三角形内角和定理，再根据诱导公式和三角形中角A的取值范围，则得出角A的余弦值，从而得出角A的值.
（2）利用三角形面积公式和（1）中角A的值，从而得出bc的值，再利用余弦定理得出的值，再根据三角形的周长公式，从而得出三角形的周长.
（1）对，由正弦定理可得：，
故，则，又，故，.
（2）由三角形面积公式，结合可得：，即，解得：；
由余弦定理以及，可得，也即，
故，解得；
故的周长为.
16．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平面平面，平面平面，平面
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
（2）解：取的中点，连接，如图所示：
∵，∴，
∵平面平面，∴平面，
∵，平面，平面，
∴平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
即点到平面的距离为的长，
∵，，∴，
∴，从而，
∵四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，
∴.
【知识点】平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由已知条件可得线线垂直，再结合面面垂直可得平面，再利用面面垂直的判定定理证出平面平面.
（2）利用等腰三角形三线合一，再结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，再利用线线平行证出线面平行，从而得出点到平面的距离，即点到平面的距离为的长，再利用勾股定理得出线线垂直，再结合平行四边形的结构特征和三角形的面积公式，从而求出三角形的面积，再利用棱锥的体积公式，从而得出三棱锥的体积．
（1）解：∵，∴，
∵平面平面，且平面平面，
平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）取的中点，连接，∵，∴，
∵平面平面，∴平面，
∵，平面，平面，
∴平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
即点到平面的距离为的长.
∵，，∴，
∴，从而，
∵四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，
∴.
17．【答案】（1）解：设圆C方程：，
由已知条件可知，解得，
∴圆C的方程为.
（2）解：设点，.
∵，
∴，
整理得，，
∵点B在圆C上，∴，
∴点M的轨迹方程为.
【知识点】圆的标准方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法和 圆C的圆心在y轴上以及点代入法，从而解方程得出圆心坐标和半径长，进而得出圆C的标准方程.
（2）设，，由中点坐标公式可得，，再代入圆C方程，整理即可求出线段的中点M的轨迹方程.
（1）设圆C方程：，
由已知，解得，
∴圆C的方程为.
（2）设点，.
∵，
∴.
整理得，，
∵点B在圆C上，∴，
∴点M的轨迹方程为.
18．【答案】解：（1）因为O为坐标原点且，则所在直线方程为
当直线斜率不存在时，直线方程为，点B坐标为，
三角形的面积为，
当直线斜率存在时，设直线为，由题意可得，
令，解得，
联立，可得，
由得或，
由得或，
所以或，
所以的面积
，
令，则，
则
因为，所以当时，面积最小，
此时，即，则，
所以的面积的最小值时所在的直线的斜率为.
解：（2）下面用弧度表示角，设，则
由正弦定理得，
所以，
因此
，
当即时，的面积的最大，最大值为.
证明：（3）因为，所以，
所以当直线斜率不存在时，即时，直线方程为（①）；
当直线斜率存在时，即时，直线方程为，
整理可得（②）（①满足②，所以对②都成立），
同时除以得③，
又因为，所以代入③整理得
，对于任意都成立，
所以，解得，
所以直线过定点，定点坐标为.
【知识点】函数的最大（小）值；直线的斜率；恒过定点的直线；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）当直线斜率不存在时，求出点坐标，从而得出三角形面积，当斜率存在时，设直线为，由题意可得，然后求出，，由得出直线斜率的取值范围，再计算出三角形的面积为，令，换元后利用函数的性质求得取最小值时的的值.
（2）设，则，用正弦定理表示出，把表示为的正弦型函数，再由正弦型函数的图象求最值的方法，从而得出三角形的面积的最大值.
（3）利用已知条件设出坐标，即，，当直线斜率不存在时，写出直线方程，当直线斜率存在时，写出直线方程，则可得直线斜率不存在时方程也适合此式，再代入，从而化方程为的方程，由它关于恒成立问题，从而证出直线过一定点，并求出此定点坐标．
1 / 1广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
1．（2024高二上·潮阳期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：，，则.
故答案为：A.
【分析】利用并集的运算法则得出集合M和集合N的并集.
2．（2024高二上·潮阳期中）已知为虚数单位，复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：A.
【分析】根据复数除法的运算法则化简，再由复数模长公式，从而得出复数z的模.
3．（2024高二上·潮阳期中）如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：设直线，，的倾斜角分别为，由题中图象知：
，
所以，即，
故答案为：A．
【分析】设直线，，的倾斜角分别为，可得，再由直线的斜率与直线的倾斜角的关系，从而比较出，，的大小关系.
4．（2024高二上·潮阳期中）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由一元二次不等式求解方法和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
5．（2024高二上·潮阳期中）两条平行直线与间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线，即为，
原问题转化为求两平行直线与间的距离，
由平行直线间的距离公式可得.
故答案为：D.
【分析】根据转化法和两平行线间的距离公式，从而得出答案.
6．（2024高二上·潮阳期中）空间四边形中，，点在上，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：点为的中点，如图所示：
则有，
所以.
故答案为：B.
【分析】由向量的三角形法则和平行四边形法则，再利用基底表示所求向量．
7．（2024高二上·潮阳期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：圆可化为，圆心，半径为，
圆可化为，圆心，半径为，
设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示：
由题意得，三点共线，三点共线，，，
∴，
∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，，∴，
∴点的轨迹方程为.
故答案为：C.
【分析】计算两个已知圆的圆心和半径，再根据三点共线和圆与圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，再结合椭圆的定义得出动圆圆心的轨迹方程.
8．（2024高二上·潮阳期中）如图，若是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当在平面内运动时，四棱锥的体积变化.
B．若是棱的中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是
C．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为
D．当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是
【答案】B
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；扇形的弧长与面积；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：由平面平面，即到面的距离恒为定值，
故四棱锥体积恒定不变，所以A错；
对于B：若分别是的中点，是棱的中点，如图所示：
所以，面，面，故面，
同理可证面，由均在面内，
所以面面，又面面，即在上运动，
根据上述分析易知，面截正方体的截面是边长为的正六边形，
所以最小是的长度为，所以B对；
对于C：由直线AP与平面ABCD所成的角为，结合正方体的结构特征，
显然，在如下图的线段及圆弧上运动时，满足题设如图所示：
所以的轨迹长度为，所以C错；
对于D：由正方体结构知：，则与所成角，即为与所成角，
由在线段AC上运动，如下图是等边三角形，如图所示：
故与所成角范围是，所以D错.
故答案为：B.
【分析】由平面平面得出点到面的距离恒为定值，再结合棱锥体积公式判断出选项A；若分别是的中点，利用正方体的结构特征和线面、面面平行的判定定理，从而证明点在上运动，再结合截面为正六边形，从而求出PF长度的最小值，则判断出选项B；根据正方体的结构特征确定点的轨迹，再结合弧长公式，从而得出点P的轨迹长度，则判断出选项C；由正方体的结构特征得出线线平行，从而得出与所成角为与所成角，由在线段AC上运动结合三角形是等边三角形，从而得出与所成角的取值范围，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
9．（2024高二上·潮阳期中）下列说法正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．已知直线l过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是
【答案】A,D
【知识点】充要条件；斜率的计算公式；直线的截距式方程；直线的方向向量
【解析】【解答】解：对于A：由方向向量与斜率的关系知，该直线的斜率为，所以A对；
对于B：直线与直线互相垂直，有或，故已知条件间关系为充分不必要条件，所以B错；
对于C：对于不过原点且垂直于坐标轴的直线，不能用表示，所以C错；
对于D：由，，且在y轴两侧，
所以斜率的取值范围是，所以D对.
故答案为：AD.
【分析】根据方向向量与直线斜率的关系，从而判断选项A；利用两直线垂直斜率之积等于-1，再结合充要条件判断方法，从而判断出选项B；注意不过原点且垂直于坐标轴的直线和直线截距式方程的满足要求，从而判断出选项C；利用两点式求出线段端点处的直线斜率，再利用数形结合确定直线的斜率的取值范围，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．（2024高二上·潮阳期中）若，，，则关于事件A与B的关系正确的是（ ）
A．事件A与B互斥 B．事件A与B不互斥
C．事件A与B相互独立 D．事件A与B不相互独立
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，故A错误，B正确；
，所以，
又因为，故成立，故事件A与B相互独立，故C正确，D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据互斥事件与独立事件的定义，从而判断出关于事件A与B的正确关系.
11．（2024高二上·潮阳期中）已知定义在上的函数满足，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．的图象关于点对称
【答案】A,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的值
【解析】【解答】解：令，则，所以A对；
因为，而，即或，
若，则，必有，与题设矛盾；
所以，故，
令，则，而，则，所以B错；
令，则①，
令，，则，即为偶函数，
令，则②，
由①②，得，即，
所以的图象关于点对称，所以D对；
结合，则关于对称，故为奇函数，所以C错.
故答案为：AD.
【分析】令结合已知条件，从而判断选项A；由选项A可得或，再结合已知条件有，再令，从而判断选项B；令得，再令，和奇、偶函数的定义，从而判断函数奇偶性，再令得，进而可得，则可判断选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2024高二上·潮阳期中）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，直角三角形中较小的锐角为θ，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为 ．
【答案】5
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：已知如图所示：
设大正方形边长为1，则，，小正方形的边长为，
由，两边同时平方得，，
所以，
则图中的大正方形与小正方形的面积之比为.
故答案为：5.
【分析】用三角函数表示直角三角形的两条直角边，则得出小正方形的边长为，由结合平方法和同角三角函数基本关系式，从而解出的值，即可求出大正方形与小正方形的面积之比.
13．（2024高二上·潮阳期中）已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设幂函数，因为函数图象过点，
则，解得，
则，其定义域为，且在单调递减.
则由，
可得，解得.
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
【分析】设出幂函数解析式，再代入点求出待定的的值，再结合函数的单调性与定义域，从而得出不等式组，进而解不等式组得出实数a的取值范围.
14．（2024高二上·潮阳期中）空间四边形ABCD中，，且异面直线AD与BC成，异面直线AB与CD所成角的正切值为 .
【答案】
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：如图所示：
由，则，
两边平方，得，
由，异面直线AD与BC成，
所以，故，
即或（舍），易知，
所以.
【分析】由题设得出，再结合数量积的运算律和已知条件，从而求出的值，进而确定的大小，即可得出异面直线AB与CD所成角的正切值.
故答案为：
15．（2024高二上·潮阳期中）已知三角形的内角的对边分别为，且这些边和角的关系满足．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，且，求的周长．
【答案】（1）解：对，
由正弦定理可得：，
故，则，
又因为，
故，则.
（2）解：由三角形面积公式结合可得：，
即，解得：；
由余弦定理和，
可得，即，
故，解得，
故的周长为.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理和已知条件进行转化，再结合两角和的正弦公式和三角形内角和定理，再根据诱导公式和三角形中角A的取值范围，则得出角A的余弦值，从而得出角A的值.
（2）利用三角形面积公式和（1）中角A的值，从而得出bc的值，再利用余弦定理得出的值，再根据三角形的周长公式，从而得出三角形的周长.
（1）对，由正弦定理可得：，
故，则，又，故，.
（2）由三角形面积公式，结合可得：，即，解得：；
由余弦定理以及，可得，也即，
故，解得；
故的周长为.
16．（2024高二上·潮阳期中）在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平面平面，平面平面，平面
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
（2）解：取的中点，连接，如图所示：
∵，∴，
∵平面平面，∴平面，
∵，平面，平面，
∴平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
即点到平面的距离为的长，
∵，，∴，
∴，从而，
∵四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，
∴.
【知识点】平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由已知条件可得线线垂直，再结合面面垂直可得平面，再利用面面垂直的判定定理证出平面平面.
（2）利用等腰三角形三线合一，再结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，再利用线线平行证出线面平行，从而得出点到平面的距离，即点到平面的距离为的长，再利用勾股定理得出线线垂直，再结合平行四边形的结构特征和三角形的面积公式，从而求出三角形的面积，再利用棱锥的体积公式，从而得出三棱锥的体积．
（1）解：∵，∴，
∵平面平面，且平面平面，
平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）取的中点，连接，∵，∴，
∵平面平面，∴平面，
∵，平面，平面，
∴平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
即点到平面的距离为的长.
∵，，∴，
∴，从而，
∵四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，
∴.
17．（2024高二上·潮阳期中）已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和.
（1）求圆C的方程；
（2）若线段的端点，端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程.
【答案】（1）解：设圆C方程：，
由已知条件可知，解得，
∴圆C的方程为.
（2）解：设点，.
∵，
∴，
整理得，，
∵点B在圆C上，∴，
∴点M的轨迹方程为.
【知识点】圆的标准方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法和 圆C的圆心在y轴上以及点代入法，从而解方程得出圆心坐标和半径长，进而得出圆C的标准方程.
（2）设，，由中点坐标公式可得，，再代入圆C方程，整理即可求出线段的中点M的轨迹方程.
（1）设圆C方程：，
由已知，解得，
∴圆C的方程为.
（2）设点，.
∵，
∴.
整理得，，
∵点B在圆C上，∴，
∴点M的轨迹方程为.
18．（2024高二上·潮阳期中）如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，.
（1）若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率；
（2）若，求的面积的最大值；
（3）设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标.
【答案】解：（1）因为O为坐标原点且，则所在直线方程为
当直线斜率不存在时，直线方程为，点B坐标为，
三角形的面积为，
当直线斜率存在时，设直线为，由题意可得，
令，解得，
联立，可得，
由得或，
由得或，
所以或，
所以的面积
，
令，则，
则
因为，所以当时，面积最小，
此时，即，则，
所以的面积的最小值时所在的直线的斜率为.
解：（2）下面用弧度表示角，设，则
由正弦定理得，
所以，
因此
，
当即时，的面积的最大，最大值为.
证明：（3）因为，所以，
所以当直线斜率不存在时，即时，直线方程为（①）；
当直线斜率存在时，即时，直线方程为，
整理可得（②）（①满足②，所以对②都成立），
同时除以得③，
又因为，所以代入③整理得
，对于任意都成立，
所以，解得，
所以直线过定点，定点坐标为.
【知识点】函数的最大（小）值；直线的斜率；恒过定点的直线；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）当直线斜率不存在时，求出点坐标，从而得出三角形面积，当斜率存在时，设直线为，由题意可得，然后求出，，由得出直线斜率的取值范围，再计算出三角形的面积为，令，换元后利用函数的性质求得取最小值时的的值.
（2）设，则，用正弦定理表示出，把表示为的正弦型函数，再由正弦型函数的图象求最值的方法，从而得出三角形的面积的最大值.
（3）利用已知条件设出坐标，即，，当直线斜率不存在时，写出直线方程，当直线斜率存在时，写出直线方程，则可得直线斜率不存在时方程也适合此式，再代入，从而化方程为的方程，由它关于恒成立问题，从而证出直线过一定点，并求出此定点坐标．
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