沪教版八年级数学上册压轴题攻略专题02一元二次方程的4种常见压轴题型全攻略(原卷版+解析)

专题02 一元二次方程的4种常见压轴题型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 一元二次方程概念的辨析】 1
【考点二 一元二次方程根的意义的应用】 2
【考点三 一元二次方程根的计算】 2
【考点五 一元二次方程根的拓展提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 一元二次方程概念的辨析】
【例题1】下列方程中：①．②．③．④，是一元二次方程的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1】把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【变式3】关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．0
【考点二 一元二次方程根的意义的计算】
【例题2】如果关于x的方程（）中，，那么方程必有一个根是（ ）
A．1 B． C．0 D．2
【变式1】已知m是方程的一个根，则代数式的值应（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【变式2】如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．2021 C． D．2025
【变式3】若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
【考点三 一元二次方程根的计算】
【例题3】若关于x的一元二次方程的解是，则的值是（　　）
A．2022 B．2012 C．2019 D．2023
【变式1】已知是方程的一个实数根，求的值为 ．
【变式2】若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为 ．
【变式3】已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代数式÷（a+3﹣）的值．
【考点四 一元二次方程根的拓展提高】
【例题4】已知方程的解是，，那么方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】若n是方程的一个根，则的值为 ．
【变式2】已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于 ．
【过关检测】
一．选择题
1.把一元二方程化成一般形式，则，，的值分别是( )
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．关于x的方程是一元二次方程，则m满足（ ）
A． B． C． D．m为任意实数
3. 已知是方程的一个解，则代数式的值为（　　）
A．0 B．5 C．6 D．7
4．已知t为一元二次方程的一个解，则值为（　　）
A． B． C． D．
二. 填空题
5．关于的一元二次方程的一个根为零，则 ．
6．已知是关于x的一元二次方程，则a的值为 ．
7．若关于x的方程的一个解为，则 ．
8．若是方程的解，则代数式的值为 ．
9．已知是方程的一个根，则代数式的值是 ．
三．综合题
10．若是关于x的一元二次方程，求m的值．
已知m为方程的一个根，求的值．
方程是关于x的一元二次方程，则m的值是多少？
已知a是一元二次方程的根．求代数式的值．
已知：a是方程的一个根，求代数式的值．
已知方程和有共同的根是，求的值．
先化简，再求值：，其中m是方程的根．
17.阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值．
专题02 一元二次方程的4种常见压轴题型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 一元二次方程概念的辨析】 1
【考点二 一元二次方程根的意义的应用】 2
【考点三 一元二次方程根的计算】 2
【考点五 一元二次方程根的拓展提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 一元二次方程概念的辨析】
【例题1】下列方程中：①．②．③．④，是一元二次方程的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：①是一元二次方程；
②是一元一次方程，不是一元二次方程；
③不是整式方程，不是一元二次方程；
④是一元二次方程；
所以是一元二次方程的有2个．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【变式1】把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的一般形式为求解即可．
【详解】解：由得：，则，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式结构特征是解答的关键．
【变式2】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据一元二次方程的定义进行解答即可．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
【变式3】关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．0
【答案】A
【分析】把代入方程，解得的值，注意方程中二次项系数不为0的情况，即可解答．
【详解】解：把代入，
可得：，
解得，
当时，，
此时方程不为一元二次方程，与题意不符，
故，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，熟知上述概念是解题的关键．
【考点二 一元二次方程根的意义的计算】
【例题2】如果关于x的方程（）中，，那么方程必有一个根是（ ）
A．1 B． C．0 D．2
【答案】B
【分析】根据题意知，当时，，由此可以判定是原方程的一个根．
【详解】解：，
∴当时，，
是原方程的一个根．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【变式1】已知m是方程的一个根，则代数式的值应（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程，即可求得，然后将其代入所求的代数式，再估算出，据此求解即可．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴代数式的值应在3和4之间，
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，无理数的估算．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式2】如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．2021 C． D．2025
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的一个解是，得到即，代入计算即可．
【详解】∵一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握定义是解题的关键．
【变式3】若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
【答案】D
【分析】令代入原方程即可求出原式的值．
【详解】解：令代入
∴
∴原式
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题关键是熟练运用一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
【考点三 一元二次方程根的计算】
【例题3】若关于x的一元二次方程的解是，则的值是（　　）
A．2022 B．2012 C．2019 D．2023
【答案】D
【分析】根据已知及一元二次方程解的概念可得，整体代入计算即可．
【详解】解：的一元二次方程的解是，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．
【变式1】已知是方程的一个实数根，求的值为 ．
【答案】
【分析】由题意易得，然后整体代入求解即可．
【详解】解：由题意得：，即，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
【变式2】若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为 ．
【答案】
【分析】把化为再结合题意得到解出即可．
【详解】解：，
．
令，则
∵方程（）有一个根为，
有一根为，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键．
【变式3】已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代数式÷（a+3﹣）的值．
【答案】
【分析】首先把原式化简，再根据方差解得定义得到代数式a（a+4）=21，代入原式求解．
【详解】解：原式=
=
=
=
∵a是方程x2+4x﹣21＝0的根，
∴a2+4a=21，
即a（a+4）=21，
原式=．
【点睛】本题考查整式的化简求值，注意整体代入思想的应用．
【考点四 一元二次方程根的拓展提高】
【例题4】已知方程的解是，，那么方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把方程看作关于的一元二次方程，则利用方程的解是，，得到或，然后解一次方程即可．
【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程，
∵方程的解是，，
∴或，
解得或，
∴方程的解为，．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【变式1】若n是方程的一个根，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的定义得到，则，整体代入即可得到答案．
【详解】解：∵n是方程的一个根，
∴，
∴，
则，
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义、代数式的值，根据一元二次方程根的定义得到是解题的关键．
【变式2】已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于 ．
【答案】2022
【分析】根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后利用整体的思想进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
把代入方程中得：
，
，
，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题
1.把一元二方程化成一般形式，则，，的值分别是( )
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【分析】方程整理为一般形式，找出各项系数和常数项即可．
【详解】
方程整理得：，
则，，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的一般形式．
2．关于x的方程是一元二次方程，则m满足（ ）
A． B． C． D．m为任意实数
【答案】A
【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义求解，即可得到答案．
【详解】解：是关于x的一元二次方程，
，
，
，
故选：A．
3. 已知是方程的一个解，则代数式的值为（　　）
A．0 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根据一元二次方程解的定义，将代入得到，整体代入代数式求值即可得到答案
【详解】解：∵是方程的一个解，
，即，
，
故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程解的定义，熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键．
4．已知t为一元二次方程的一个解，则值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的解，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：为一元二次方程的一个解，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．
二. 填空题
5．关于的一元二次方程的一个根为零，则 ．
【答案】
【分析】先把代入方程得，然后解关于的一元二次方程，再根据一元二次方程的定义取舍即可．
【详解】解：把代入方程得，
解得或，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
6．已知是关于x的一元二次方程，则a的值为 ．
【答案】
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴，，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫作一元二次方程，正确把握定义是解题关键．
7．若关于x的方程的一个解为，则 ．
【答案】2022
【分析】先把方程的解代入方程，得到，再求代数式的值．
【详解】解：把代入方程得，
即，
所以．
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，“知解必代”是解题的关键．
8．若是方程的解，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程，即可求得，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和代数式求值，解本题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程解的定义．
9．已知是方程的一个根，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】把代入方程得出，把化成，代入求出即可．
【详解】解：是方程的一个根，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把当作一个整体来代入．
三．综合题
10．若是关于x的一元二次方程，求m的值．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件，即可进行解答．
【详解】解：∵原方程是关于x的一元二次方程，则一定是此二次项．
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，要特别注意二次项系数这一条件，本题容易出现的错误是忽视这一条件．
11．已知m为方程的一个根，求的值．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后利用降次的方法对原式进行化简即可．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形求值．
12．方程是关于x的一元二次方程，则m的值是多少？
【答案】2
【分析】一元二次方程两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2，由题意可以得到关于的方程和不等式，求解即可．
【详解】解：由题意可得：且，
解得：．
即的值是2．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
13．已知a是一元二次方程的根．求代数式的值．
【答案】6
【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算原式，然后根据方程根的定义可得，再结合化简后的式子整体代入求解即可．
【详解】解：
，
∵a是一元二次方程的根，
∴，即，
∴原式．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、整式的乘法运算和代数式求值，熟练掌握整式的运算法则、掌握整体代入的方法是解题关键．
14．已知：a是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】1
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴
∴原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．已知方程和有共同的根是，求的值．
【答案】
【分析】把共同的根代入方程和中，解二元一次方程组，求出和的值即可．
【详解】解：将代入和，得：
，
①②，得：
，
解得：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程及一元二次方程的解的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值，代入公共根，解方程组求出待定系数的值．
16．先化简，再求值：，其中m是方程的根．
【答案】；
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，再根据一元二次方程解的定义，得出，再整体代入计算，即可得解．
【详解】解：
，
∵m是方程的根，
∴，即
；
【点睛】本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．注意整体代入思想的运用．
17．阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据阅读材料可得答案；
（2）由题意得出，可看作方程的两个根，据此知，，将其代入计算可得；
（3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得．
【详解】（1）解：，，
故答案为：；；
（2）∵，，且，
∴，可看作方程的两个根，
∴，，
∴，
∴的值为；
（3）∵，分别满足，，且，
∴，
∴和可看作方程的两根，
∴，，
∴
，
∴的值为．
【点睛】本题考查分式的化简求值，因式分解的应用，求代数式的值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
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