沪教版八年级数学上册压轴题攻略专题04一元二次方程实际应用的4种压轴题型全攻略(原卷版+解析)
文档属性
| 名称 | 沪教版八年级数学上册压轴题攻略专题04一元二次方程实际应用的4种压轴题型全攻略(原卷版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-25 21:41:44 | ||
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文档简介
专题04 一元二次方程实际应用的4种压轴题型全攻略（1）
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 一元二次方程中传播问题的应用】 1
【考点二 一元二次方程中增长（减少）率问题的应用】 2
【考点三 一元二次方程中图形问题的应用】 2
【考点四 一元二次方程应用的拓展提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 一元二次方程中传播问题的应用】
【例题1】有一个人患流感，经过两轮传染后共有121个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．6人 B．7人 C．8人 D．9人
【变式3】新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（ ）
A．12人 B．13人 C．14人 D．15人
【考点二 一元二次方程中增长（减少）率问题的应用】
【例题2】在“双减政策”的推动下，某初级中学校学生课后作业时长明显减少．2021年上学期每天作业平均时长为，经过2021年下学期和2022年上学期两次调整后，2022年下学期平均每天作业时长为．设该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率为，则可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【变式1】据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2023年1月至3月，新能源车月销量由33.2万辆增加到54.6万辆，设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】某商品原价为元，经连续两次降价后售价为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】2020年青山村种水稻平均每公顷产，2022年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点三 一元二次方程图形问题的应用】
【例题3】如图，有一长为，宽为的矩形纸片，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方形纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）的面积为，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形的边长为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，某小区有一长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行道的宽度为x米．由题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点四 一元二次方程应用的拓展提高】
【例题4】某校在操场东边开发出一块长、宽分别为、的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为，设小道的宽为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】如图，某市近郊有一块长为、宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域（一边长均为）将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽为，则；（用含的代数式表示）
（2）若塑胶运动场地总占地面积为，则通道的宽为m．
【变式2】．如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），用于修建自行车棚，若所用栅栏的总长度为34米，墙的最大可用长度为18米，为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个2米宽的门（门用其他材料），设栅栏的长为x米，解答下列问题：
(1)________米．（用含x的代数式表示）
(2)若围成的自行车棚的面积为平方米，求栅栏的长．
(3)围成的自行车棚的面积能为平方米吗？请说明理由．
【过关检测】
一．选择题
1. 新冠肺炎奥密克戎变异株自2021年底出现后，目前已成为全球流行的变异株，更是近期深圳感染的主要毒株，潜伏期更短，传播力更强，传播速度更快．变异株2分钟左右进入宿主细胞，分钟左右呈现指数复制，小时后释放成熟的病毒颗粒，通过气溶胶等方式进行传播．若有两个人患了该新冠肺炎，经过两轮传播后共有338个人被传染，那么每轮传染中平均一个人传染几个人（ ）
A．13 B．11 C．12 D．14
2．新年某班每名学生向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
3．进入7月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若7月第1周营业收入为亿元，第三周的营业收入为2亿元，若平均每周的增长率记为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其以国宝熊猫为原型设计创作，将熊猫憨态可掬的形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点，一经开售供不应求．已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为，则满足的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边如图所示，若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域（阴影部分）的面积为192平方米．设小道宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．某农户，用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，如图所示，若可列方程为，则★表示的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，剩余种花，依题意列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二. 填空题
9．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间需比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排56场比赛，比赛组织者应邀请______个队参赛．
10．某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是______．
11．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则______．
12．某地区2022年投入教育经费3000万元，预计2024年投入4320万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为，则可以列方程为______．
13．一件上衣原价500元/件，第一次降价后，销售甚慢，第二次降价的百分率是第一次的两倍，结果以240元/件的价格迅速售出，则第一次降价的百分率是______．
14．2020年某款新能源汽车年销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年年销售量为21.6万辆，设年平均增长率为x，可列方程为______．
15．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽，则可列方程______．
16．在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为______．
三、解答题
17．某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病．
(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
(2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，天后生猪发病头数会超过头吗？
18．某商场1月份的销售额为125万元，2月份的销售额下降了，商场从3月份起改变经营策略，以多种方式吸引消费者，使销售额稳步增长，4月份的销售额达到了121万元．
(1)求3、4月份销售额的平均增长率．
(2)商场计划第一季度(月)总销售额达到370万元，按照目前的月平均增长率，商场能否实现销售计划，请计算说明．
19．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）（平行于）的矩形花圃．如果要围成面积为的花圃，的长是多少？
20．饲养场准备利用现成的一堵“”字形的墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点在线段上．
(1)设的长为米，则 ______ 米；（用含的代数式表示）
(2)若围成的饲养场的面积为平方米，求饲养场的宽的长；
(3)所围成的饲养场的面积能否为平方米？如果能达到，求出的长；如果不能，请说明理由．
专题04 一元二次方程实际应用的4种压轴题型全攻略(1)
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 一元二次方程中传播问题的应用】 1
【考点二 一元二次方程中增长（减少）率问题的应用】 2
【考点三 一元二次方程中图形问题的应用】 2
【考点四 一元二次方程应用的拓展提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 一元二次方程中传播问题的应用】
【例题1】有一个人患流感，经过两轮传染后共有121个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮结束后共有人患流感，第二轮结束后共有人患流感，然后列方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮结束后共有人患流感，第二轮结束后共有人患流感，
依题意得，，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
【变式1】有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列出一元二次方程.
【详解】解：∵每轮传染中平均一个人传染了个人
∴两个人可感染个人
故一轮感染后，患流感人数为：
同理：个人可感染个人
故两轮感染后，患流感人数为：
∴
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程与传播问题．找到每一轮感染新增人数是解题关键．
【变式2】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．6人 B．7人 C．8人 D．9人
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感”列出方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
，
整理得：，
解得：，（舍），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数为7人，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解．
【变式3】新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（ ）
A．12人 B．13人 C．14人 D．15人
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，再根据“经过两轮传染后共有196人”列方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得，解得：或（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了13个人．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意、准确找到等量关系列出方程是解答本题的关键．
【考点二 一元二次方程中增长（减少）率问题的应用】
【例题2】在“双减政策”的推动下，某初级中学校学生课后作业时长明显减少．2021年上学期每天作业平均时长为，经过2021年下学期和2022年上学期两次调整后，2022年下学期平均每天作业时长为．设该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率为，则可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用2022年下学期平均每天作业时长2021年上学期每天作业平均时长（该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率为，
根据题意得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1】据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2023年1月至3月，新能源车月销量由33.2万辆增加到54.6万辆，设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用3月的销量=1月的销量×(1+平均增长率)2，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】∵2023年1月至3月，新能源车月销量由33.2万辆增加到54.6万辆，月平均增长率为，
∴可列方程为，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2】某商品原价为元，经连续两次降价后售价为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设平均每次降价的百分率为 x，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列出方程即可．
【详解】解：根据题意可得两次降价后售价为，
方程为：，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为：．
【变式3】2020年青山村种水稻平均每公顷产，2022年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据2020年产量2022年产量，即可列出方程．
【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，
可列方程为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．
【考点三 一元二次方程中图形问题的应用】
【例题3】如图，有一长为，宽为的矩形纸片，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方形纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）的面积为，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形的边长为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设剪去的小正方形边长是，则长方体纸盒的底面长为，宽为，根据长方体纸盒底面的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设剪去的小正方形边长是，则长方体纸盒的底面长为，宽为，
依题意，得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1】公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用长方形的面积等于18和矩形的面积公式列出方程即可．
【详解】解：设原正方形的空地的边长为，则剩余空地的长和宽分别为和，由题意，得：；
故选A．
【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，正确的识图，找准等量关系，是解题的关键．
【变式2】如图，某小区有一长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行道的宽度为x米．由题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设人行道的宽度为x米，根据两块相同的矩形绿地面积之和为60平方米列出方程即可．
【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得：
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，解题的关键是用x表示出两块矩形绿地的总长和宽．
【变式3】扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】种花区域矩形空地面积，剩下区域矩形空地面积，据此即可求解．
【详解】解：观察图形可知，剩下区域为规则的矩形，其长为，宽为
∵种花区域矩形空地面积
∴剩下区域矩形空地面积，
∴
故选：D
【点睛】本题考查一元二次方程与图形问题．找到各图形面积之间的等量关系是解题关键．
【考点四 一元二次方程应用的拓展提高】
【例题4】某校在操场东边开发出一块长、宽分别为、的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为，设小道的宽为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由小道的宽为米，可得出种植菜园的部分可合成长为，宽为的长方形，再根据种植面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵设小道的宽为，
∴剩下的用于种植的部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1】如图，某市近郊有一块长为、宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域（一边长均为）将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽为，则；（用含的代数式表示）
（2）若塑胶运动场地总占地面积为，则通道的宽为m．
【答案】 2
【分析】（1）结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，可得式，化简即可得；
（2）结合图形，利用大面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可得．
【详解】解：（1）结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，
∴，
，
故答案为：；
（2）根据题意得：，
∵，
∴，
解得（不合题意，舍去）．
∴通道的宽度为．
故答案为：2．
【点睛】题目主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，找准面积之间的关系是解题关键．
【变式2】．如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），用于修建自行车棚，若所用栅栏的总长度为34米，墙的最大可用长度为18米，为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个2米宽的门（门用其他材料），设栅栏的长为x米，解答下列问题：
(1)________米．（用含x的代数式表示）
(2)若围成的自行车棚的面积为平方米，求栅栏的长．
(3)围成的自行车棚的面积能为平方米吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)栅栏的长为14米
(3)自行车棚的面积不能为平方米，理由见解析
【分析】（1）根据题意，可知且有，整理即可得出用含的代数式表示矩形的长的式子；
（2）根据矩形场地面积为平方米列出方程，解出此时的值然后求出栅栏的长即可；
（3）根据矩形场地面积为平方米列出方程，再根据一元二次方程的根的判别式即可得出答案．
【详解】（1）解：依题意得：，，
米，
故答案为：；
（2）解： 根据图形，可列方程：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
栅栏的长为14米；
（3）解：不能，理由如下：
依题意得：，
整理得：，
，
方程没有实数根，
自行车棚的面积不能为平方米．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
【过关检测】
一．选择题
1. 新冠肺炎奥密克戎变异株自2021年底出现后，目前已成为全球流行的变异株，更是近期深圳感染的主要毒株，潜伏期更短，传播力更强，传播速度更快．变异株2分钟左右进入宿主细胞，分钟左右呈现指数复制，小时后释放成熟的病毒颗粒，通过气溶胶等方式进行传播．若有两个人患了该新冠肺炎，经过两轮传播后共有338个人被传染，那么每轮传染中平均一个人传染几个人（ ）
A．13 B．11 C．12 D．14
【答案】C
【分析】根据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为338人，设平均每人感染人，则列式为．即可解答．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
根据题意，得．
解得：或（舍去）．
∴每轮传染中平均一个人传染了12个人，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．新年某班每名学生向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出份小礼品，那么总共送的份数应该是份，即可列出方程．
【详解】解：设全班有名同学，根据题意得：
，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
3．进入7月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若7月第1周营业收入为亿元，第三周的营业收入为2亿元，若平均每周的增长率记为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知7月的第二周营业收入为，7月的第三周营业收入为，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可列方程为；
故选：B．
【点睛】本题主要考查增长率问题，熟练掌握一元二次方程增长率问题是解题的关键．
4．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其以国宝熊猫为原型设计创作，将熊猫憨态可掬的形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点，一经开售供不应求．已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为，则满足的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意分别表示出2月5日和2月6日的销量，进而相加得出等式即可．
【详解】解：根据题意可得：
2月5日的销量为：，
2月6日的销量为：，
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出2月5日和2月6日的销量是解题关键．
5．如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边如图所示，若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域（阴影部分）的面积为192平方米．设小道宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】阴影部分面积可看做4个矩形面积之和，根据花草种植区域（阴影部分）的面积为192平方米即可列出方程．
【详解】根据题意，得，
即：．
故选：B
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用矩形的面积公式列出方程是解题的关键．
6．某农户，用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，如图所示，若可列方程为，则★表示的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】确定平行于墙的一边与的关系即可求解．
【详解】解：由题意可得：平行于墙的一边为：
即为：
故选：B
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意确定长方形的长和宽即可．
7．如图，长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，剩余种花，依题意列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得种植花苗的部分可以合成长，宽的矩形，从而即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，
种植花苗的部分可以合成长，宽的矩形，
根据题意得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设小路的宽为xm，则草坪的总长度为，总宽度为，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设小路的宽为xm，则草坪的总长度为，总宽度为，
根据题意，得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清楚草坪的总长度和总宽度是解题关键．
二. 填空题
9．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间需比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排56场比赛，比赛组织者应邀请______个队参赛．
【答案】8
【分析】设比赛组织者应邀请个队参赛，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛
由题意得：整理得
解得：
故赛组织者应邀请个队参赛
故答案为：8
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题关键．
10．某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是．
【答案】10
【分析】设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，由该小组互赠新年贺卡共90张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
即该学习小组有10名成员．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则．
【答案】10
【分析】第一次小明邀请个好友，第二次n个人分别邀请个好友，列一元二次方程计算即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得：（舍去），，
故答案为：10人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题时注意小明也被包含在“111人”之中．
12．某地区2022年投入教育经费3000万元，预计2024年投入4320万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为，则可以列方程为．
【答案】
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据2022年投入3000万元，预计2024年投入4320万元即可得出方程．
【详解】解：设这两年投入教育经费的年平均增长率为，
则2023年的教育经费为：，
则2024年的教育经费为：，
∴可以列方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
13．一件上衣原价500元/件，第一次降价后，销售甚慢，第二次降价的百分率是第一次的两倍，结果以240元/件的价格迅速售出，则第一次降价的百分率是．
【答案】
【分析】先设第次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为，根据两次降价后的价格是240元建立方程，求出其解即可.
【详解】第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得，（舍去）．
则第一次降价的百分率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程解实际问题，读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求出符合题意的解即可．
14．2020年某款新能源汽车年销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年年销售量为21.6万辆，设年平均增长率为x，可列方程为．
【答案】
【分析】根据题意可求出2022年销售量为，即可列出方程．
【详解】解：设年平均增长率为x，
∴2021年销售量为，
∴2022年销售量为，
∴可列方程为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
15．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽，则可列方程．
【答案】
【分析】设小路的宽，则绿化区域的长为，宽为，根据绿化区域的面积为广场总面积的80%，列出关于的一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：设小路的宽，则绿化区域的长为，宽为，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键．
16．在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为．
【答案】1米/1
【分析】设出修建的路宽应米，利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程，进一步求出的值即可．
【详解】解：设修建的路宽应米，可列出方程：
，
整理得：，
解得：，（不合题意舍去），
∴修建的道路宽为1米，
故答案为：1米．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于修路问题最简单的方法是平移道路进而列出等式方程从而解决问题．
三、解答题
17．某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病．
(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
(2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，天后生猪发病头数会超过头吗？
【答案】(1)每头发病生猪平均每天传染头生猪
(2)若疫情得不到有效控制，天后生猪发病头数会超过头
【分析】（1）设每头发病生猪平均每天传染头生猪，根据“第一天发现头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据天后生猪发病头数=天后生猪发病头数，即可求出天后生猪发病头数，再将其与进行比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设每头发病生猪平均每天传染头生猪，
依题意，得，
解得：， （不合题意，舍去）．
答：每头发病生猪平均每天传染7头生猪．
（2）（头），．
答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1500头．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．某商场1月份的销售额为125万元，2月份的销售额下降了，商场从3月份起改变经营策略，以多种方式吸引消费者，使销售额稳步增长，4月份的销售额达到了121万元．
(1)求3、4月份销售额的平均增长率．
(2)商场计划第一季度(月)总销售额达到370万元，按照目前的月平均增长率，商场能否实现销售计划，请计算说明．
【答案】(1)3、4月份销售额的平均增长率为；
(2)商场不能实现销售计划．
【分析】（1）设3、4月份销售额的平均增长率为x，利用4月份的销售额月份的销售额+平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）按照（1）中的月平均增长率，计算第一季度(月)总销售额即可得出答案．
【详解】（1）解：设3、4月份销售额的平均增长率为x，
依题意得：，
解得：，(不合题意，舍去)．
答：3、4月份销售额的平均增长率为；
（2）解：按照（1）中的月平均增长率，第一季度(月)总销售额为(万元)，
∵，
∴商场不能实现销售计划．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）（平行于）的矩形花圃．如果要围成面积为的花圃，的长是多少？
【答案】的长为
【分析】根据“围成面积为的花圃”列出一元二次方程，求解一元二次方程，并使求的得解使小于等于．
【详解】解：设花圃的一边为，
根据题意可知，，
整理得，，
解此方程得，，
当时，；
当时，，舍去，
∴当的长为时，花圃的面积为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题．
20．饲养场准备利用现成的一堵“”字形的墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点在线段上．
(1)设的长为米，则 ______ 米；（用含的代数式表示）
(2)若围成的饲养场的面积为平方米，求饲养场的宽的长；
(3)所围成的饲养场的面积能否为平方米？如果能达到，求出的长；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)11米
(3)不能达到，理由见解析
【分析】（1）据各边之间的关系，即可用含的代数式表示出的长；
（2）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合不超过米，即可得出饲养场的宽的长为米；
（3）不能达到，设的长为米，则米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即不能达到．
【详解】（1）设的长为米，则（米）．
故答案为：．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：饲养场的宽的长为米．
（3）不能达到，理由如下：
设的长为米，则米，
依题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根．
不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．
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【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 一元二次方程中传播问题的应用】 1
【考点二 一元二次方程中增长（减少）率问题的应用】 2
【考点三 一元二次方程中图形问题的应用】 2
【考点四 一元二次方程应用的拓展提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 一元二次方程中传播问题的应用】
【例题1】有一个人患流感，经过两轮传染后共有121个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．6人 B．7人 C．8人 D．9人
【变式3】新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（ ）
A．12人 B．13人 C．14人 D．15人
【考点二 一元二次方程中增长（减少）率问题的应用】
【例题2】在“双减政策”的推动下，某初级中学校学生课后作业时长明显减少．2021年上学期每天作业平均时长为，经过2021年下学期和2022年上学期两次调整后，2022年下学期平均每天作业时长为．设该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率为，则可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【变式1】据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2023年1月至3月，新能源车月销量由33.2万辆增加到54.6万辆，设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】某商品原价为元，经连续两次降价后售价为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】2020年青山村种水稻平均每公顷产，2022年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点三 一元二次方程图形问题的应用】
【例题3】如图，有一长为，宽为的矩形纸片，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方形纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）的面积为，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形的边长为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，某小区有一长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行道的宽度为x米．由题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点四 一元二次方程应用的拓展提高】
【例题4】某校在操场东边开发出一块长、宽分别为、的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为，设小道的宽为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】如图，某市近郊有一块长为、宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域（一边长均为）将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽为，则；（用含的代数式表示）
（2）若塑胶运动场地总占地面积为，则通道的宽为m．
【变式2】．如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），用于修建自行车棚，若所用栅栏的总长度为34米，墙的最大可用长度为18米，为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个2米宽的门（门用其他材料），设栅栏的长为x米，解答下列问题：
(1)________米．（用含x的代数式表示）
(2)若围成的自行车棚的面积为平方米，求栅栏的长．
(3)围成的自行车棚的面积能为平方米吗？请说明理由．
【过关检测】
一．选择题
1. 新冠肺炎奥密克戎变异株自2021年底出现后，目前已成为全球流行的变异株，更是近期深圳感染的主要毒株，潜伏期更短，传播力更强，传播速度更快．变异株2分钟左右进入宿主细胞，分钟左右呈现指数复制，小时后释放成熟的病毒颗粒，通过气溶胶等方式进行传播．若有两个人患了该新冠肺炎，经过两轮传播后共有338个人被传染，那么每轮传染中平均一个人传染几个人（ ）
A．13 B．11 C．12 D．14
2．新年某班每名学生向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
3．进入7月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若7月第1周营业收入为亿元，第三周的营业收入为2亿元，若平均每周的增长率记为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其以国宝熊猫为原型设计创作，将熊猫憨态可掬的形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点，一经开售供不应求．已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为，则满足的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边如图所示，若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域（阴影部分）的面积为192平方米．设小道宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．某农户，用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，如图所示，若可列方程为，则★表示的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，剩余种花，依题意列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二. 填空题
9．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间需比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排56场比赛，比赛组织者应邀请______个队参赛．
10．某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是______．
11．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则______．
12．某地区2022年投入教育经费3000万元，预计2024年投入4320万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为，则可以列方程为______．
13．一件上衣原价500元/件，第一次降价后，销售甚慢，第二次降价的百分率是第一次的两倍，结果以240元/件的价格迅速售出，则第一次降价的百分率是______．
14．2020年某款新能源汽车年销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年年销售量为21.6万辆，设年平均增长率为x，可列方程为______．
15．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽，则可列方程______．
16．在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为______．
三、解答题
17．某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病．
(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
(2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，天后生猪发病头数会超过头吗？
18．某商场1月份的销售额为125万元，2月份的销售额下降了，商场从3月份起改变经营策略，以多种方式吸引消费者，使销售额稳步增长，4月份的销售额达到了121万元．
(1)求3、4月份销售额的平均增长率．
(2)商场计划第一季度(月)总销售额达到370万元，按照目前的月平均增长率，商场能否实现销售计划，请计算说明．
19．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）（平行于）的矩形花圃．如果要围成面积为的花圃，的长是多少？
20．饲养场准备利用现成的一堵“”字形的墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点在线段上．
(1)设的长为米，则 ______ 米；（用含的代数式表示）
(2)若围成的饲养场的面积为平方米，求饲养场的宽的长；
(3)所围成的饲养场的面积能否为平方米？如果能达到，求出的长；如果不能，请说明理由．
专题04 一元二次方程实际应用的4种压轴题型全攻略(1)
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目录
【典型例题】 1
【考点一 一元二次方程中传播问题的应用】 1
【考点二 一元二次方程中增长（减少）率问题的应用】 2
【考点三 一元二次方程中图形问题的应用】 2
【考点四 一元二次方程应用的拓展提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 一元二次方程中传播问题的应用】
【例题1】有一个人患流感，经过两轮传染后共有121个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮结束后共有人患流感，第二轮结束后共有人患流感，然后列方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮结束后共有人患流感，第二轮结束后共有人患流感，
依题意得，，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
【变式1】有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列出一元二次方程.
【详解】解：∵每轮传染中平均一个人传染了个人
∴两个人可感染个人
故一轮感染后，患流感人数为：
同理：个人可感染个人
故两轮感染后，患流感人数为：
∴
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程与传播问题．找到每一轮感染新增人数是解题关键．
【变式2】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．6人 B．7人 C．8人 D．9人
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感”列出方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
，
整理得：，
解得：，（舍），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数为7人，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解．
【变式3】新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（ ）
A．12人 B．13人 C．14人 D．15人
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，再根据“经过两轮传染后共有196人”列方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得，解得：或（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了13个人．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意、准确找到等量关系列出方程是解答本题的关键．
【考点二 一元二次方程中增长（减少）率问题的应用】
【例题2】在“双减政策”的推动下，某初级中学校学生课后作业时长明显减少．2021年上学期每天作业平均时长为，经过2021年下学期和2022年上学期两次调整后，2022年下学期平均每天作业时长为．设该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率为，则可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用2022年下学期平均每天作业时长2021年上学期每天作业平均时长（该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率为，
根据题意得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1】据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2023年1月至3月，新能源车月销量由33.2万辆增加到54.6万辆，设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用3月的销量=1月的销量×(1+平均增长率)2，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】∵2023年1月至3月，新能源车月销量由33.2万辆增加到54.6万辆，月平均增长率为，
∴可列方程为，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2】某商品原价为元，经连续两次降价后售价为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设平均每次降价的百分率为 x，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列出方程即可．
【详解】解：根据题意可得两次降价后售价为，
方程为：，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为：．
【变式3】2020年青山村种水稻平均每公顷产，2022年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据2020年产量2022年产量，即可列出方程．
【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，
可列方程为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．
【考点三 一元二次方程中图形问题的应用】
【例题3】如图，有一长为，宽为的矩形纸片，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方形纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）的面积为，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形的边长为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设剪去的小正方形边长是，则长方体纸盒的底面长为，宽为，根据长方体纸盒底面的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设剪去的小正方形边长是，则长方体纸盒的底面长为，宽为，
依题意，得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1】公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用长方形的面积等于18和矩形的面积公式列出方程即可．
【详解】解：设原正方形的空地的边长为，则剩余空地的长和宽分别为和，由题意，得：；
故选A．
【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，正确的识图，找准等量关系，是解题的关键．
【变式2】如图，某小区有一长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行道的宽度为x米．由题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设人行道的宽度为x米，根据两块相同的矩形绿地面积之和为60平方米列出方程即可．
【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得：
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，解题的关键是用x表示出两块矩形绿地的总长和宽．
【变式3】扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】种花区域矩形空地面积，剩下区域矩形空地面积，据此即可求解．
【详解】解：观察图形可知，剩下区域为规则的矩形，其长为，宽为
∵种花区域矩形空地面积
∴剩下区域矩形空地面积，
∴
故选：D
【点睛】本题考查一元二次方程与图形问题．找到各图形面积之间的等量关系是解题关键．
【考点四 一元二次方程应用的拓展提高】
【例题4】某校在操场东边开发出一块长、宽分别为、的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为，设小道的宽为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由小道的宽为米，可得出种植菜园的部分可合成长为，宽为的长方形，再根据种植面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵设小道的宽为，
∴剩下的用于种植的部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1】如图，某市近郊有一块长为、宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域（一边长均为）将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽为，则；（用含的代数式表示）
（2）若塑胶运动场地总占地面积为，则通道的宽为m．
【答案】 2
【分析】（1）结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，可得式，化简即可得；
（2）结合图形，利用大面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可得．
【详解】解：（1）结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，
∴，
，
故答案为：；
（2）根据题意得：，
∵，
∴，
解得（不合题意，舍去）．
∴通道的宽度为．
故答案为：2．
【点睛】题目主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，找准面积之间的关系是解题关键．
【变式2】．如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），用于修建自行车棚，若所用栅栏的总长度为34米，墙的最大可用长度为18米，为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个2米宽的门（门用其他材料），设栅栏的长为x米，解答下列问题：
(1)________米．（用含x的代数式表示）
(2)若围成的自行车棚的面积为平方米，求栅栏的长．
(3)围成的自行车棚的面积能为平方米吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)栅栏的长为14米
(3)自行车棚的面积不能为平方米，理由见解析
【分析】（1）根据题意，可知且有，整理即可得出用含的代数式表示矩形的长的式子；
（2）根据矩形场地面积为平方米列出方程，解出此时的值然后求出栅栏的长即可；
（3）根据矩形场地面积为平方米列出方程，再根据一元二次方程的根的判别式即可得出答案．
【详解】（1）解：依题意得：，，
米，
故答案为：；
（2）解： 根据图形，可列方程：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
栅栏的长为14米；
（3）解：不能，理由如下：
依题意得：，
整理得：，
，
方程没有实数根，
自行车棚的面积不能为平方米．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
【过关检测】
一．选择题
1. 新冠肺炎奥密克戎变异株自2021年底出现后，目前已成为全球流行的变异株，更是近期深圳感染的主要毒株，潜伏期更短，传播力更强，传播速度更快．变异株2分钟左右进入宿主细胞，分钟左右呈现指数复制，小时后释放成熟的病毒颗粒，通过气溶胶等方式进行传播．若有两个人患了该新冠肺炎，经过两轮传播后共有338个人被传染，那么每轮传染中平均一个人传染几个人（ ）
A．13 B．11 C．12 D．14
【答案】C
【分析】根据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为338人，设平均每人感染人，则列式为．即可解答．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
根据题意，得．
解得：或（舍去）．
∴每轮传染中平均一个人传染了12个人，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．新年某班每名学生向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出份小礼品，那么总共送的份数应该是份，即可列出方程．
【详解】解：设全班有名同学，根据题意得：
，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
3．进入7月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若7月第1周营业收入为亿元，第三周的营业收入为2亿元，若平均每周的增长率记为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知7月的第二周营业收入为，7月的第三周营业收入为，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可列方程为；
故选：B．
【点睛】本题主要考查增长率问题，熟练掌握一元二次方程增长率问题是解题的关键．
4．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其以国宝熊猫为原型设计创作，将熊猫憨态可掬的形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点，一经开售供不应求．已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为，则满足的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意分别表示出2月5日和2月6日的销量，进而相加得出等式即可．
【详解】解：根据题意可得：
2月5日的销量为：，
2月6日的销量为：，
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出2月5日和2月6日的销量是解题关键．
5．如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边如图所示，若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域（阴影部分）的面积为192平方米．设小道宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】阴影部分面积可看做4个矩形面积之和，根据花草种植区域（阴影部分）的面积为192平方米即可列出方程．
【详解】根据题意，得，
即：．
故选：B
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用矩形的面积公式列出方程是解题的关键．
6．某农户，用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，如图所示，若可列方程为，则★表示的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】确定平行于墙的一边与的关系即可求解．
【详解】解：由题意可得：平行于墙的一边为：
即为：
故选：B
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意确定长方形的长和宽即可．
7．如图，长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，剩余种花，依题意列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得种植花苗的部分可以合成长，宽的矩形，从而即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，
种植花苗的部分可以合成长，宽的矩形，
根据题意得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设小路的宽为xm，则草坪的总长度为，总宽度为，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设小路的宽为xm，则草坪的总长度为，总宽度为，
根据题意，得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清楚草坪的总长度和总宽度是解题关键．
二. 填空题
9．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间需比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排56场比赛，比赛组织者应邀请______个队参赛．
【答案】8
【分析】设比赛组织者应邀请个队参赛，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛
由题意得：整理得
解得：
故赛组织者应邀请个队参赛
故答案为：8
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题关键．
10．某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是．
【答案】10
【分析】设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，由该小组互赠新年贺卡共90张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
即该学习小组有10名成员．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则．
【答案】10
【分析】第一次小明邀请个好友，第二次n个人分别邀请个好友，列一元二次方程计算即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得：（舍去），，
故答案为：10人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题时注意小明也被包含在“111人”之中．
12．某地区2022年投入教育经费3000万元，预计2024年投入4320万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为，则可以列方程为．
【答案】
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据2022年投入3000万元，预计2024年投入4320万元即可得出方程．
【详解】解：设这两年投入教育经费的年平均增长率为，
则2023年的教育经费为：，
则2024年的教育经费为：，
∴可以列方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
13．一件上衣原价500元/件，第一次降价后，销售甚慢，第二次降价的百分率是第一次的两倍，结果以240元/件的价格迅速售出，则第一次降价的百分率是．
【答案】
【分析】先设第次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为，根据两次降价后的价格是240元建立方程，求出其解即可.
【详解】第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得，（舍去）．
则第一次降价的百分率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程解实际问题，读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求出符合题意的解即可．
14．2020年某款新能源汽车年销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年年销售量为21.6万辆，设年平均增长率为x，可列方程为．
【答案】
【分析】根据题意可求出2022年销售量为，即可列出方程．
【详解】解：设年平均增长率为x，
∴2021年销售量为，
∴2022年销售量为，
∴可列方程为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
15．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽，则可列方程．
【答案】
【分析】设小路的宽，则绿化区域的长为，宽为，根据绿化区域的面积为广场总面积的80%，列出关于的一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：设小路的宽，则绿化区域的长为，宽为，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键．
16．在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为．
【答案】1米/1
【分析】设出修建的路宽应米，利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程，进一步求出的值即可．
【详解】解：设修建的路宽应米，可列出方程：
，
整理得：，
解得：，（不合题意舍去），
∴修建的道路宽为1米，
故答案为：1米．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于修路问题最简单的方法是平移道路进而列出等式方程从而解决问题．
三、解答题
17．某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病．
(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
(2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，天后生猪发病头数会超过头吗？
【答案】(1)每头发病生猪平均每天传染头生猪
(2)若疫情得不到有效控制，天后生猪发病头数会超过头
【分析】（1）设每头发病生猪平均每天传染头生猪，根据“第一天发现头生猪发病，两天后发现共有头生猪发病”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据天后生猪发病头数=天后生猪发病头数，即可求出天后生猪发病头数，再将其与进行比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设每头发病生猪平均每天传染头生猪，
依题意，得，
解得：， （不合题意，舍去）．
答：每头发病生猪平均每天传染7头生猪．
（2）（头），．
答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1500头．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．某商场1月份的销售额为125万元，2月份的销售额下降了，商场从3月份起改变经营策略，以多种方式吸引消费者，使销售额稳步增长，4月份的销售额达到了121万元．
(1)求3、4月份销售额的平均增长率．
(2)商场计划第一季度(月)总销售额达到370万元，按照目前的月平均增长率，商场能否实现销售计划，请计算说明．
【答案】(1)3、4月份销售额的平均增长率为；
(2)商场不能实现销售计划．
【分析】（1）设3、4月份销售额的平均增长率为x，利用4月份的销售额月份的销售额+平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）按照（1）中的月平均增长率，计算第一季度(月)总销售额即可得出答案．
【详解】（1）解：设3、4月份销售额的平均增长率为x，
依题意得：，
解得：，(不合题意，舍去)．
答：3、4月份销售额的平均增长率为；
（2）解：按照（1）中的月平均增长率，第一季度(月)总销售额为(万元)，
∵，
∴商场不能实现销售计划．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）（平行于）的矩形花圃．如果要围成面积为的花圃，的长是多少？
【答案】的长为
【分析】根据“围成面积为的花圃”列出一元二次方程，求解一元二次方程，并使求的得解使小于等于．
【详解】解：设花圃的一边为，
根据题意可知，，
整理得，，
解此方程得，，
当时，；
当时，，舍去，
∴当的长为时，花圃的面积为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题．
20．饲养场准备利用现成的一堵“”字形的墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点在线段上．
(1)设的长为米，则 ______ 米；（用含的代数式表示）
(2)若围成的饲养场的面积为平方米，求饲养场的宽的长；
(3)所围成的饲养场的面积能否为平方米？如果能达到，求出的长；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)11米
(3)不能达到，理由见解析
【分析】（1）据各边之间的关系，即可用含的代数式表示出的长；
（2）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合不超过米，即可得出饲养场的宽的长为米；
（3）不能达到，设的长为米，则米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即不能达到．
【详解】（1）设的长为米，则（米）．
故答案为：．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：饲养场的宽的长为米．
（3）不能达到，理由如下：
设的长为米，则米，
依题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根．
不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．
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