沪教版八年级数学上册压轴题攻略专题01二次根式5种压轴题型全攻略(原卷版+解析)

专题01 二次根式5种压轴题型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 同类二次根式和最简二次根式概念的辨析】 1
【考点二 二次根式中求参数的范围】 2
【考点三 二次根式性质应用的分类讨论】 2
【考点四 分母有理化和完全平方公式综合运用 】 3
【考点五 二次根式的综合运用提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 同类二次根式和最简二次根式概念的辨析】
【例题1】如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列各组根式中，是同类二次根式的是 （ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式2】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点二 二次根式中求参数的取值范围】
【例题2】 已知是正整数，则实数n的最大值为　　．
【变式1】如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若与最简二次根式是同类二次根式，则____________．
【变式3】若二次根式与是同类二次根式，则整数可以等于___________．（写出一个即可）
【考点三 二次根式性质应用的分类讨论】
【例题3】设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．﹣2a+b B．2a+b C．﹣b D．b
【变式1】已知a＜0，则二次根式化简后的结果为（　　）
a B．a C．﹣a D．﹣a
【变式2】若代数式＝2成立，求的取值范围．
【考点四 分母有理化和完全平方公式的综合应用】
【例题4】已知，求的值．
【变式1】已知：x＝，y＝，求x2+xy+y2的平方根．
【变式2】已知，，求 的值．
【变式3】“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）
A． B． C． D．
【考点五 二次根式的综合运用提高】
【例题5】已知非零实数a，b满足，求代数式的值．
【变式1】设为的小数部分，为的小数部分，则值为 ．
【变式2】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是______．
【过关检测】
一．选择题
1.下列各根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2.下列不是同类二次根式的一组是（ ）．
A．与 B．与
C．与 D．与
3. 在中，最简二次根式的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若化简|1﹣a|﹣的结果是2a﹣5，则实数a的取值范围是（　　）
A．a为任意实数 B．a≥1
C．a＜4 D．1≤a≤4
5．代数式+1的有理化因式可以是（　　）
A． B． C． D．﹣1
6. 一个等腰三角形的两边长分别为，则这个三角形的周长为（　　）
A．3 B．6
C．6+4 D．3+4或6
二. 填空题
7.化简二次根式：＝　 　（x≥0）．
8．若y＝++2，则xy＝　 　．
9.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简﹣＝　 　．
10．若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是　 　．
11.若两最简根式和是同类二次根式，则的值的平方根是______．
12.如果0≤x≤1，化简：﹣|﹣3+x|＝　 　．
13．若＝4﹣x，则x的取值范围是 　 　．
14．计算：＝　 　．
15．比较大小：　 　（填写“＞”或“＝”或
三．综合题
16.先化简，再求值：，其中.
17．已知且，请化简并求值：
18．已知求：的值．
19．（2022秋·上海·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
20.先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，a b＝n，使得＝m，，那么便有：＝＝（a＞b）．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12．即＝7，．
∴＝＝．
（1）填空：＝　 　，＝　 　．
（2）化简：．
专题01 二次根式5种压轴题型全攻略
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【典型例题】 1
【考点一 同类二次根式和最简二次根式概念的辨析】 1
【考点二 二次根式中求参数的范围】 2
【考点三 二次根式性质应用的分类讨论】 2
【考点四 分母有理化和完全平方公式综合运用 】 3
【考点五 二次根式的综合运用提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 同类二次根式和最简二次根式概念的辨析】
【例题1】如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
使有意义，
∴，
∴，
∴，
【变式1】下列各组根式中，是同类二次根式的是 （ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】C
【详解】解：A、＝2，故和不是同类二次根式；
B、＝，故和不是同类二次根式；
C、=，故和是同类二次根式；
D、和不是同类二次根式；
故选：C．
【变式2】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解析】A．＝＝3，选项A不符合题意；
B．＝＝，选项B不符合题意；
C．是最简二次根式，选项C符合题意；
D．＝＝a2，选项D不符合题意；
故选：C．
【考点二 二次根式中求参数的取值范围】
【例题2】 已知是正整数，则实数n的最大值为　　．
【解析】由题意可知12﹣n是一个完全平方数，且不为0，最小为1，
所以n的最大值为12﹣1＝11．
【变式1】如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
使有意义，
∴，
∴，
∴，
【变式2】若与最简二次根式是同类二次根式，则____________．
【答案】
【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
解得：．
【变式3】若二次根式与是同类二次根式，则整数可以等于___________．（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【详解】解：∵二次根式与是同类二次根式，
∴可设，
则，
∴，
解得，
【考点三 二次根式性质应用的分类讨论】
【例题3】设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．﹣2a+b B．2a+b C．﹣b D．B
【解析】根据数轴上a，b的值得出a，b的符号，a＜0，b＞0，a+b＞0，
∴＝﹣a+a+b＝b，
故选：D．
【变式1】已知a＜0，则二次根式化简后的结果为（　　）
A．a B．a C．﹣a D．﹣a
【解析】∵a＜0，﹣a2b≥0，
∴a＜0，b≤0，
∴＝﹣a．
故选：D．
【变式2】若代数式＝2成立，求的取值范围．
【答案】．
【解析】，由此进行分类讨论：
①当时，原式=；
②当时，原式=；
③当时，原式=；
综上所述，可知的取值范围是
【考点四 分母有理化和完全平方公式的综合应用】
【例题4】已知，求的值．
【答案】
【详解】解：∵，
，
∴
【变式1】已知：x＝，y＝，求x2+xy+y2的平方根．
【解析】∵x＝＝（）2＝5+2，y＝＝5﹣2，
∴x+y＝10，xy＝1，
∴x2+xy+y2
＝（x+y）2﹣xy
＝102﹣1
＝100﹣1
＝99．
∴x2+xy+y2的平方根为±3．
【变式2】已知，，求 的值．
【答案】．
【解析】∵，，∴．
∴
．
【变式3】“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.
【详解】设，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴原式，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.
【考点五 二次根式的综合运用提高】
【例题5】已知非零实数a，b满足，求代数式的值．
【答案】3
【详解】解：非零实数a，b满足，
由题意可知，
，
，
，
，
，
．
【变式1】设为的小数部分，为的小数部分，则值为 ．
【答案】
【分析】运用完全平方公式化简，后估算法确定整数部分和小数部分，最后分母有理化计算即可．
【详解】∵
，且，为的小数部分，
∴；
∵
，且，为的小数部分，
∴；
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化，二次根式的加减运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化是解题的关键．
【变式2】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是______．
【答案】
【详解】∵三角形的三边长为、、，记，面积，
∴当三角形的三边长分别为，，时，，
∴面积，
∵，，
∴，
∴，
∵介于整数和之间，
∴．
故答案为：．
【过关检测】
一．选择题
1.下列各根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解析】A、＝，与为同类二次根式；
B、＝与不是同类二次根式；
C、＝4与不是同类二次根式；
D、＝2与不是同类二次根式；
故选：A．
2.下列不是同类二次根式的一组是（ ）．
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【详解】解：A选项：∵，，∴与是同类二次根式，故A不符合题意；
B选项：∵，，∴与是同类二次根式，故B不符合题意；
C选项：∵，，∴与是同类二次根式，故C不符合题意；
D选项：∵，∴与不是同类二次根式，故D符合题意．
故选D．
3. 在中，最简二次根式的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可．
【解析】＝3，＝3，＝，＝，都不是最简二次根式，
是最简二次根式，
故选：A．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
4．（2022春 闵行区校级期中）若化简|1﹣a|﹣的结果是2a﹣5，则实数a的取值范围是（　　）
A．a为任意实数 B．a≥1
C．a＜4 D．1≤a≤4
【分析】利用二次根式与绝对值的性质化简得出|1﹣a|﹣|a﹣4|＝2a﹣5，然后根据题意得出，解不等式组即可．
【解析】∵|1﹣a|﹣＝|1﹣a|﹣|a﹣4|＝2a﹣5，
∴应该满足|1﹣a|﹣|a﹣4|＝（a﹣1）﹣（4﹣a），
∴，
∴1≤a≤4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简及解一元一次不等式组，正确得出a﹣1与4﹣a的符号是解题关键．
5．（2021秋 奉贤区校级期中）代数式+1的有理化因式可以是（　　）
A． B． C． D．﹣1
【分析】根据平方差公式求解．
【解析】∵（+1）（﹣1）＝（）2﹣12＝k2﹣1，
∴+1的有理化因式可以是﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的有理化计算，解题关键是掌握平方差公式．
6. 一个等腰三角形的两边长分别为，则这个三角形的周长为（　　）
A．3 B．6
C．6+4 D．3+4或6
【分析】分2是腰长和底边两种情况讨论求解即可．
【解析】①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，
能组成三角形，周长＝2+2+3＝4+3，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，
能组成三角形，周长＝2、3、3＝2+6；
综上所述，这个三角形的周长为：4+3或2+6．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的应用，等腰三角形的性质，主要利用了二次根式的加减，难点在于要分情况讨论．
二. 填空题
7.化简二次根式：＝　 　（x≥0）．
【分析】根据二次根式有意义的条件判断y的取值范围，然后利用二次根式的性质进行化简．
【解析】∵≥0，且x≥0，
∴y＞0，
∴原式＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，理解二次根式有意义的条件和二次根式的性质是解题关键．
8．若y＝++2，则xy＝　　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x、y的值；然后代入求值．
【解析】根据题意知：3x﹣2≥0且2﹣3x≥0．
所以2＝3x，
所以x＝．
所以y＝2．
则xy＝（）2＝．
故答案为：．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简﹣＝　a+b　．
【分析】依据数轴即可得到a+1＞0，b﹣1＜0，即可化简．
【解析】由题可得，﹣1＜a＜0，0＜b＜1，
∴a+1＞0，b﹣1＜0，
∴|原式＝a+1﹣1+b＝a+b．
故答案为：a+b．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质．
10．若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是　﹣2　．
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【解析】∵二次根式是最简二次根式，
∴2x+7＞0，
∴2x＞﹣7，
∴x＞﹣3.5，
∵x取整数值，
当x＝﹣3时，二次根式为＝1，不是最简二次根式，不合题意；
当x＝﹣2时，二次根式为，是最简二次根式，符合题意；
∴若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解答此题的关键．
11.若两最简根式和是同类二次根式，则的值的平方根是______．
12.如果0≤x≤1，化简：﹣|﹣3+x|＝　﹣2　．
【分析】根据0≤x≤1，得到x﹣1≤0，x﹣3＜0，根据＝|a|化简，根据绝对值的性质化简即可得出答案．
【解析】∵0≤x≤1，
∴x﹣1≤0，x﹣3＜0，
∴原式＝|x﹣1|﹣|x﹣3|
＝1﹣x+x﹣3
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握＝|a|是解题的关键．
13．（2022春 杨浦区校级期中）若＝4﹣x，则x的取值范围是 　x≤4　．
【分析】对已知条件进行整理，再利用二次根式的化简的方法进行求解即可．
【解析】∵＝4﹣x，
∴＝4﹣x，
∴x﹣4≤0，
解得：x≤4．
故答案为：x≤4．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．（2022春 徐汇区校级月考）计算：＝　+1　．
【分析】直接利用分母有理化将原式化简即可．
【解析】＝＝+1．
故答案为：+1．
【点评】本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握平方差公式．
15．（2021春 金坛区期末）比较大小：　＜　（填写“＞”或“＝”或“＜”）．
【分析】根据分母有理化分别化简，即可得出答案．
【解析】∵＝＝＝＝1+，
＝＝＝，
∴1+＜+1，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了分母有理化，实数的比较大小，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
三．综合题
16.先化简，再求值：，其中.
【答案】，
【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．
【详解】解：原式
当时，
原式
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．
17．已知且，请化简并求值：
【答案】
【分析】解方程得出，再分母有理化，化简得出原式=，最后代入x求值即可.
【详解】解：
∵
∴
∴
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题关键.
18．已知求：的值．
【答案】77
【分析】先逆用完全平方公式将原式进行变形，再通过x求出的值，最后将它们同时代入变形后的式子中求解即可．
【详解】解：
原式=．
故原式的值为77．
【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除和乘方运算，解题关键在于先对原式进行变形再代入，以简化计算，化简过程中涉及到了完全平方公式的逆用，计算过程中用到了因式分解法以及二次根式的分母有理化等内容，要求考生不仅要熟练掌握运算规则，同时还要具备观察和分析问题的能力，这样才能快速准确的计算出答案．
19．（2022秋·上海·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)28或12
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b；
（2）利用完全平方公式展开可得到，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分别计算即可；
（3）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果．
【详解】（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：，；
（2）∵，
∴，6=2mn，
∴mn=3．
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3或m=3，n=1．
当m=1，n=3时，；
当m=3，n=1时，．
∴a的值为28或12；
（3）令，
则
∴．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．
20.先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，a b＝n，使得＝m，，那么便有：＝＝（a＞b）．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12．即＝7，．
∴＝＝．
（1）填空：＝　 　，＝　 　．
（2）化简：．
【分析】（1）仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可；
（2）仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可．
【解析】（1）＝＝﹣1，
＝＝2+；
故答案为：﹣1，2+；
（2）＝＝4﹣．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式、二次根式的性质是解题的关键．
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