广东省惠州市惠城区翠竹学校2024-2025学年八年级上学期开学测试数学试卷
一、选择题（本大题 10 小题, 每小题 3 分, 共 30 分）
1．（2024八上·惠城开学考）在下列这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A.不是轴对称图形，A不符合题意；
B. 不是轴对称图形，B不符合题意；
C. 是轴对称图形，C符合题意；
D. 不是轴对称图形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可求得答案。
2．（2024八上·惠城开学考）以下列数据为三边长能构成三角形的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，能构成三角形，符合题意；
C、，不能构成三角形，不符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据三角形的三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）结合题意即可求解.
3．（2024八上·惠城开学考）下列计算正确的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方结合题意对选项逐一运算即可求解.
4．（2024八上·惠城开学考）如图， 一把直尺、两个含 的三角尺拼接在一起， 则 的度数为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据题意得到，再根据两直线平行，内错角相等即可求解。
5．（2024八上·惠城开学考）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．20
【答案】B
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设四个完全相同的正方形边长为a，
依题意得：，解得，
∵a>0，
∴a=5，
∴正方形的边长为5.
故答案为：B.
【分析】根据题意可以设元列方程解之即可.
6．（2024八上·惠城开学考）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：x=9，
经检验：x=9是原分式方程的解，
故答案为：C．
【分析】利用解分式方程的方法求解即可。
7．（2024八上·惠城开学考） 的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】先根据题意提出负号，进而根据平方差公式即可求解。
8．（2024八上·惠城开学考）若把分式 中 都扩大 3 倍， 则分式的值（ ）
A．扩大到原来的 3 倍 B．不变
C．扩大到原来的 9 倍 D．缩小到原来的
【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：由题意得把分式 中 都扩大 3 倍得=，
∴分式的值不变，
故答案为：B
【分析】根据分式的性质将 都扩大 3 倍， 进而约分即可求解。
9．（2024八上·惠城开学考）如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得，然后根据线段的和差Bd=BC+CD即可求解．
10．（2024八上·惠城开学考） 如图， 在 中， ， 高 与角平分线 相交于点 的平分线 分别交 于点 ， 连接 ； 下列结论：① ：② ：③；④， 其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵无法判定与相等，
无法判定与相等，
结论不正确；
是的角平分线，
，
为的高，，
，，
又，
，
结论正确；
由结论得，
平分，
，
，
，
，
，
，
即，
结论正确；
为的高，
，，
无法判定与相等，
无法判定与相等，
结论不正确．
综上所述，正确的结论是
故答案为：B
【分析】①根据等腰三角形的性质（等边对等角）结合题意即可判断；②先根据角平分线的定义得到，再根据三角形的高结合垂直得到，，等量代换得到；由结论得，根据角平分线的定义得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再等量代换得到，即；④根据三角形的面积结合题意即可求解 .
二、填空题（本大题 5 小题, 毎小题 3 分, 共 15 分
11．（2024八上·惠城开学考）计算： .
【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：1.
【分析】利用同分母分式相减运算法则计算合并约分即可.
12．（2024八上·惠城开学考）计算 ．
【答案】
【知识点】化简含绝对值有理数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：原式
；
【分析】根据实数的混合运算法则"先计算乘方运算，求解立方根，算术平方根，化简绝对值，再合并"即可求解．
13．（2024八上·惠城开学考） 在平面直角坐标系中， 点 关于 轴对称的点的坐标是 .
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得点 关于 轴对称的点的坐标是，
故答案为：
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解.
14．（2024八上·惠城开学考）如图，平分，，如果，那么点到的距离等于
【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作于，
平分，，PC=6，
，
点到的距离等于6．
故答案为：6．
，【分析】过作于，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，即可得到点到的距离等于6．
15．（2024八上·惠城开学考） 一元一次不等式组 的最大整数解是 .
【答案】2
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式①得x＞ 2，
解不等式②得x≤2，
∴不等式组的解集为 2＜x≤2，
∴不等式组的整数解为 1，0，1，2，则 1＋0＋1＋2＝2，
故答案为：2
【分析】先根据题意解不等式①和②，进而得到不等式组的解集，再根据不等式组的特殊解即可得到答案.
三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
16．（2024八上·惠城开学考） 如果一个多边形的内角和等于它外角和的 3 倍， 则这个多边形的边数是多少
【答案】解：设这个多边形的边数为n． 由题意得，．
∴．
∴这个多边形的边数为8
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n-2）×180°列出一元一次方程，进而即可求解.
17．（2024八上·惠城开学考）如图， 已知 . 求证： .
【答案】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据题意等量代换得到，进而根据三角形全等的判定证明即可求解.
18．（2024八上·惠城开学考）分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：由题意得
（2）解：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）根据题意直接运用平方差公式即可求解；
（2）先根据题意提取公因式2，进而根据完全平方公式即可求解.
四、解答题（二）（本大題 3 小題，每小题 9 分，共 27 分）
19．（2024八上·惠城开学考） 如图， 已知 .
求证：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明：∵，
∴，即．
在和中，，
∴．
（2）证明：由（1）可得，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；内错角相等，两直线平行
20．（2024八上·惠城开学考） 钧瓷是河南省禹州市神垕镇独有的国宝瓷器， 始于唐， 盛于宋， 被誉为中国"五大名瓷"之首. 某校为了推行中原文化进校园， 准备购买一批钧瓷茶壶茶杯宣讲使用. 经了解， 茶壸的单价比茶杯的单价高 100 元， 用 100 元购买茶杯的数量和用 600 元购买茶壶的数量相同.
（1）求茶壸和茶杯的单价.
（2）学校准备购买 5 个茶壸和若干个茶杯 (茶杯数量大于 5)， 某钧瓷店为了宣传助学特推出两种优惠方案. 方案一：买一个茶壷送一个茶杯：方案二：茶壶茶杯均按标价的九折销售. 问学校选择哪种方案购买才更省钱
【答案】（1）解：设茶壶的单价为m元，则茶杯的单价为元，由题意得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
∴．
∴茶壶的单价为120元，茶杯的单价为20元．
（2）解：设学校按方案一购买茶壶及茶杯的费用为元，按方案二购买茶壶及茶杯的费用为元，购买茶杯的数量为个．
由题意得；
．
令，即，解得；
令，即，解得；
令，即，解得．
综上所述，当购买茶杯的数量x满足时，选择方案一购买更省钱；
当购买茶杯的数量时，选择方案一和选择方案二购买所需费用相同；
当购买茶杯的数量x满足时，选择方案二购买更省钱．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设茶壶的单价为m元，则茶杯的单价为元，进而根据“ 茶壸的单价比茶杯的单价高 100 元， 用 100 元购买茶杯的数量和用 600 元购买茶壶的数量相同”即可列出分式方程，从而解方程结合题意检验即可求解；
（2）设学校按方案一购买茶壶及茶杯的费用为元，按方案二购买茶壶及茶杯的费用为元，购买茶杯的数量为个，进而结合题意即可得到，，再分类讨论：，，，求出x的值即可求解.
21．（2024八上·惠城开学考） 如图， 和 都是等腰三角形， 分别是这两个等腰三角形的底边，且 .
（1） 求证： ：
（2） 连接 DC . 如果 ， 试说明直线 AD 垂直平分线段 BC .
【答案】（1）解：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠CAB=∠EAD，
∴∠DAB=∠EAC，CA=BA，EA=DA，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE
（2）解：由（1）得BD=CE，
∵CD=CE，
∴CD=BD，
∴点D在BC的中垂线上，
∵AB=AC，
∴点A在BC的中垂线上，
∴AD垂直平分线段BC．
【知识点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质结合题意得到∠DAB=∠EAC，CA=BA，EA=DA，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ABD≌△ACE（SAS）得到BD=CE；
（2）由（1）得BD=CE，进而等量代换得到CD=BD，再根据垂直平分线的判定与性质得到AB=AC，从而结合题意即可求解.
五、解答题（三）(本大题 2 小题, 第 22 题13 分, 第 23 题 14 分, 共, 27 分
22．（2024八上·惠城开学考）阅读材料并回答下列问题：
当 都是实数， 且满足 ， 就称点 为"友好点". 例如： 点 ，令 ， 得 ， 所以 不是"友好点"， 点 ， 令 .
得 ， 所以 是"友好点".
（1） 请判断点 是否为"友好点"， 并说明理由.
（2）以关于 的方程组 的解为坐标的点 是 "友好点"， 求t 的值.
【答案】（1）解：点，令，
得，
，
不是“友好点”，
点，令，
得，
，
是“友好点”；
（2）解：方程组的解为，
点，是“友好点”，
，
，
，
，
解得
的值为10
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意代入点A和点B，进而即可求出m和n，从而根据“友好点”的定义即可求解；
（2）先根据题意解二元一次方程组得到方程组的解为，进而根据“友好点”的定义表示出，再根据解一元一次方程即可求解.
23．（2024八上·惠城开学考） 已知直线 与直线 分别交于 两点， 和 的角平分线交于点 ，且 .
（1）求证： ：
（2）如图 2， 和 的角平分线交于点 ， 求 的度数；
（3）如图 3， 若 ， 延长线段 得射线 ， 延长线段 得射线 ， 射线 绕点 以每秒 的速度逆时针旋转 后停止， 射线 绕点 以毎秒 的速度顺时钋旋转 以后停止. 设它们同时开始旋转， 当射线 时， 求满足条件的t的值为多少.
【答案】（1）证明：∵和的角平分线交于点P，且，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵平分，
∴，，
∵和的角平分线交于点P，且，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图所示：
由题意可得：，，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：；
如图所示：
由题意可得：，，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，解得：；
综上，的值为5或15
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义结合题意得到，，进而得到，再根据同旁内角互补，两直线平行即可求解；
（2）设，根据角平分线的定义得到，，，进而得到，从而得到，再根据角平分线的定义得到，从而结合题意进行角的运算即可求解；
（3）根据题意分类讨论：当时，，；当时，，，再求出t即可求解.
1 / 1广东省惠州市惠城区翠竹学校2024-2025学年八年级上学期开学测试数学试卷
一、选择题（本大题 10 小题, 每小题 3 分, 共 30 分）
1．（2024八上·惠城开学考）在下列这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·惠城开学考）以下列数据为三边长能构成三角形的是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·惠城开学考）下列计算正确的是 ( )
A． B． C． D．
4．（2024八上·惠城开学考）如图， 一把直尺、两个含 的三角尺拼接在一起， 则 的度数为 ( )
A． B． C． D．
5．（2024八上·惠城开学考）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．20
6．（2024八上·惠城开学考）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·惠城开学考） 的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·惠城开学考）若把分式 中 都扩大 3 倍， 则分式的值（ ）
A．扩大到原来的 3 倍 B．不变
C．扩大到原来的 9 倍 D．缩小到原来的
9．（2024八上·惠城开学考）如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
10．（2024八上·惠城开学考） 如图， 在 中， ， 高 与角平分线 相交于点 的平分线 分别交 于点 ， 连接 ； 下列结论：① ：② ：③；④， 其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
二、填空题（本大题 5 小题, 毎小题 3 分, 共 15 分
11．（2024八上·惠城开学考）计算： .
12．（2024八上·惠城开学考）计算 ．
13．（2024八上·惠城开学考） 在平面直角坐标系中， 点 关于 轴对称的点的坐标是 .
14．（2024八上·惠城开学考）如图，平分，，如果，那么点到的距离等于
15．（2024八上·惠城开学考） 一元一次不等式组 的最大整数解是 .
三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
16．（2024八上·惠城开学考） 如果一个多边形的内角和等于它外角和的 3 倍， 则这个多边形的边数是多少
17．（2024八上·惠城开学考）如图， 已知 . 求证： .
18．（2024八上·惠城开学考）分解因式：
（1）
（2）
四、解答题（二）（本大題 3 小題，每小题 9 分，共 27 分）
19．（2024八上·惠城开学考） 如图， 已知 .
求证：
（1） ；
（2） .
20．（2024八上·惠城开学考） 钧瓷是河南省禹州市神垕镇独有的国宝瓷器， 始于唐， 盛于宋， 被誉为中国"五大名瓷"之首. 某校为了推行中原文化进校园， 准备购买一批钧瓷茶壶茶杯宣讲使用. 经了解， 茶壸的单价比茶杯的单价高 100 元， 用 100 元购买茶杯的数量和用 600 元购买茶壶的数量相同.
（1）求茶壸和茶杯的单价.
（2）学校准备购买 5 个茶壸和若干个茶杯 (茶杯数量大于 5)， 某钧瓷店为了宣传助学特推出两种优惠方案. 方案一：买一个茶壷送一个茶杯：方案二：茶壶茶杯均按标价的九折销售. 问学校选择哪种方案购买才更省钱
21．（2024八上·惠城开学考） 如图， 和 都是等腰三角形， 分别是这两个等腰三角形的底边，且 .
（1） 求证： ：
（2） 连接 DC . 如果 ， 试说明直线 AD 垂直平分线段 BC .
五、解答题（三）(本大题 2 小题, 第 22 题13 分, 第 23 题 14 分, 共, 27 分
22．（2024八上·惠城开学考）阅读材料并回答下列问题：
当 都是实数， 且满足 ， 就称点 为"友好点". 例如： 点 ，令 ， 得 ， 所以 不是"友好点"， 点 ， 令 .
得 ， 所以 是"友好点".
（1） 请判断点 是否为"友好点"， 并说明理由.
（2）以关于 的方程组 的解为坐标的点 是 "友好点"， 求t 的值.
23．（2024八上·惠城开学考） 已知直线 与直线 分别交于 两点， 和 的角平分线交于点 ，且 .
（1）求证： ：
（2）如图 2， 和 的角平分线交于点 ， 求 的度数；
（3）如图 3， 若 ， 延长线段 得射线 ， 延长线段 得射线 ， 射线 绕点 以每秒 的速度逆时针旋转 后停止， 射线 绕点 以毎秒 的速度顺时钋旋转 以后停止. 设它们同时开始旋转， 当射线 时， 求满足条件的t的值为多少.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A.不是轴对称图形，A不符合题意；
B. 不是轴对称图形，B不符合题意；
C. 是轴对称图形，C符合题意；
D. 不是轴对称图形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可求得答案。
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，能构成三角形，符合题意；
C、，不能构成三角形，不符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据三角形的三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）结合题意即可求解.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方结合题意对选项逐一运算即可求解.
4．【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据题意得到，再根据两直线平行，内错角相等即可求解。
5．【答案】B
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设四个完全相同的正方形边长为a，
依题意得：，解得，
∵a>0，
∴a=5，
∴正方形的边长为5.
故答案为：B.
【分析】根据题意可以设元列方程解之即可.
6．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：x=9，
经检验：x=9是原分式方程的解，
故答案为：C．
【分析】利用解分式方程的方法求解即可。
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】先根据题意提出负号，进而根据平方差公式即可求解。
8．【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：由题意得把分式 中 都扩大 3 倍得=，
∴分式的值不变，
故答案为：B
【分析】根据分式的性质将 都扩大 3 倍， 进而约分即可求解。
9．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得，然后根据线段的和差Bd=BC+CD即可求解．
10．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵无法判定与相等，
无法判定与相等，
结论不正确；
是的角平分线，
，
为的高，，
，，
又，
，
结论正确；
由结论得，
平分，
，
，
，
，
，
，
即，
结论正确；
为的高，
，，
无法判定与相等，
无法判定与相等，
结论不正确．
综上所述，正确的结论是
故答案为：B
【分析】①根据等腰三角形的性质（等边对等角）结合题意即可判断；②先根据角平分线的定义得到，再根据三角形的高结合垂直得到，，等量代换得到；由结论得，根据角平分线的定义得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再等量代换得到，即；④根据三角形的面积结合题意即可求解 .
11．【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：1.
【分析】利用同分母分式相减运算法则计算合并约分即可.
12．【答案】
【知识点】化简含绝对值有理数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：原式
；
【分析】根据实数的混合运算法则"先计算乘方运算，求解立方根，算术平方根，化简绝对值，再合并"即可求解．
13．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得点 关于 轴对称的点的坐标是，
故答案为：
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解.
14．【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作于，
平分，，PC=6，
，
点到的距离等于6．
故答案为：6．
，【分析】过作于，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，即可得到点到的距离等于6．
15．【答案】2
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式①得x＞ 2，
解不等式②得x≤2，
∴不等式组的解集为 2＜x≤2，
∴不等式组的整数解为 1，0，1，2，则 1＋0＋1＋2＝2，
故答案为：2
【分析】先根据题意解不等式①和②，进而得到不等式组的解集，再根据不等式组的特殊解即可得到答案.
16．【答案】解：设这个多边形的边数为n． 由题意得，．
∴．
∴这个多边形的边数为8
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n-2）×180°列出一元一次方程，进而即可求解.
17．【答案】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据题意等量代换得到，进而根据三角形全等的判定证明即可求解.
18．【答案】（1）解：由题意得
（2）解：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）根据题意直接运用平方差公式即可求解；
（2）先根据题意提取公因式2，进而根据完全平方公式即可求解.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，即．
在和中，，
∴．
（2）证明：由（1）可得，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；内错角相等，两直线平行
20．【答案】（1）解：设茶壶的单价为m元，则茶杯的单价为元，由题意得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
∴．
∴茶壶的单价为120元，茶杯的单价为20元．
（2）解：设学校按方案一购买茶壶及茶杯的费用为元，按方案二购买茶壶及茶杯的费用为元，购买茶杯的数量为个．
由题意得；
．
令，即，解得；
令，即，解得；
令，即，解得．
综上所述，当购买茶杯的数量x满足时，选择方案一购买更省钱；
当购买茶杯的数量时，选择方案一和选择方案二购买所需费用相同；
当购买茶杯的数量x满足时，选择方案二购买更省钱．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设茶壶的单价为m元，则茶杯的单价为元，进而根据“ 茶壸的单价比茶杯的单价高 100 元， 用 100 元购买茶杯的数量和用 600 元购买茶壶的数量相同”即可列出分式方程，从而解方程结合题意检验即可求解；
（2）设学校按方案一购买茶壶及茶杯的费用为元，按方案二购买茶壶及茶杯的费用为元，购买茶杯的数量为个，进而结合题意即可得到，，再分类讨论：，，，求出x的值即可求解.
21．【答案】（1）解：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠CAB=∠EAD，
∴∠DAB=∠EAC，CA=BA，EA=DA，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE
（2）解：由（1）得BD=CE，
∵CD=CE，
∴CD=BD，
∴点D在BC的中垂线上，
∵AB=AC，
∴点A在BC的中垂线上，
∴AD垂直平分线段BC．
【知识点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质结合题意得到∠DAB=∠EAC，CA=BA，EA=DA，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ABD≌△ACE（SAS）得到BD=CE；
（2）由（1）得BD=CE，进而等量代换得到CD=BD，再根据垂直平分线的判定与性质得到AB=AC，从而结合题意即可求解.
22．【答案】（1）解：点，令，
得，
，
不是“友好点”，
点，令，
得，
，
是“友好点”；
（2）解：方程组的解为，
点，是“友好点”，
，
，
，
，
解得
的值为10
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意代入点A和点B，进而即可求出m和n，从而根据“友好点”的定义即可求解；
（2）先根据题意解二元一次方程组得到方程组的解为，进而根据“友好点”的定义表示出，再根据解一元一次方程即可求解.
23．【答案】（1）证明：∵和的角平分线交于点P，且，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵平分，
∴，，
∵和的角平分线交于点P，且，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图所示：
由题意可得：，，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：；
如图所示：
由题意可得：，，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，解得：；
综上，的值为5或15
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义结合题意得到，，进而得到，再根据同旁内角互补，两直线平行即可求解；
（2）设，根据角平分线的定义得到，，，进而得到，从而得到，再根据角平分线的定义得到，从而结合题意进行角的运算即可求解；
（3）根据题意分类讨论：当时，，；当时，，，再求出t即可求解.
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