四川省射洪中学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·射洪开学考）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（ ）
A．4 B．3 C． D．
2．（2024九上·射洪开学考）若把分式的x和y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍
3．（2024九上·射洪开学考）冬季是呼吸道疾病的高发季节，肺炎支原体和流感容易交叉感染，其中支原体是一种类似细菌但不具有细胞壁的原核微生物，它的直径约为米，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·射洪开学考）下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·射洪开学考）下列是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·射洪开学考）若，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2024九上·射洪开学考）下列判断错误的是（ ）
A．代数式是分式
B．当时，分式的值为
C．当时，分式有意义
D．
8．（2024九上·射洪开学考）函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·射洪开学考）、两地相距2400米，甲、乙两人准备从地出发去地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达地后，停止运动．甲乙之间的距离与甲运动时间之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．乙每分钟比甲多走
B．乙出发后两人相遇
C．乙到达 B 地时，甲距离 B 地还有
D．相遇前，甲走或时两人相距
10．（2024九上·射洪开学考）下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
11．（2024九上·射洪开学考）如图所示，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为36，则的长等于（ ）
A． B．5 C．6 D．9
12．（2024九上·射洪开学考）在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若垂直平分，则四边形是矩形
C．若，则四边形是菱形
D．若平分，则四边形是菱形
13．（2024九上·射洪开学考）如图，矩形沿着直线折叠，使点C落在点处，，，则的长度为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
14．（2024九上·射洪开学考）小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（ ）
A．众数是6吨 B．平均数是5吨 C．中位数5.5吨 D．方差是1.2
15．（2024九上·射洪开学考）我区“人才引进”招聘考试分笔试和面试，按笔试占、面试占计算加权平均数作为总成绩应试者李老师的笔试成绩为分，面试成绩为分，则李老师的总成绩为（ ）
A． B． C． D．
16．（2024九上·射洪开学考）如果关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有非负数解，那么所有符合条件的整数m的值之和为（ ）
A． B．0 C．3 D．5
17．（2024九上·射洪开学考）关于x的分式方程有增根，则 ．
18．（2024九上·射洪开学考）计算： 的结果是 ．
19．（2024九上·射洪开学考）如图，反比例函数的图象上有一点，轴于点，点在轴上，的面积为1，则 ．
20．（2024九上·射洪开学考）如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长为 ．
21．（2024九上·射洪开学考）如图，在中，，D是上一动点，过点作于点E，于点F．连接，则线段的最小值是 ．
22．（2024九上·射洪开学考）已知且，化简二次根式的结果是 ．
23．（2024九上·射洪开学考）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，…，，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，…，，…，则的结果为 ．
24．（2024九上·射洪开学考）解方程：
（1）
（2）
25．（2024九上·射洪开学考）计算：
（1）
（2）
26．（2024九上·射洪开学考）化简求值， 其中 是绝对值不大于 2 的整数.
27．（2024九上·射洪开学考）春节期间，南坪万达永辉超市准备从厂家购进甲、乙糖果进行销售，若甲种糖果每千克进价比乙种糖果每千克进价多5元，且用6000元购进甲种糖果的数量是用2500元购进乙种糖果数量的2倍．
（1）求每千克甲种糖果的进价是多少元？
（2）该超市准备将每千克甲种糖果的售价定为45元，每千克乙种糖果的售价定为36元．根据市场需求，超市决定向厂家再购进一批糖果，且购进乙种糖果的数量比购进甲种糖果的数量的2倍还多100千克，若本次购进的两种糖果全部售出后，总获利不少于19600元，求该超市本次购进甲种糖果至少是多少千克？
28．（2024九上·射洪开学考）如图，在平行四边形中，，E是边的中点，延长与的延长线交于点F，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求四边形的面积S．
29．（2024九上·射洪开学考）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点为反比例函数图象上的一点，若，求点的坐标；
（3）在轴是否存在点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由．
30．（2024九上·射洪开学考）已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且．
（1）如图1，当时，求证：四边形是正方形；
（2）如图2，将射线绕着点O进行旋转．
①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明；
②四边形的面积为 ；
（3）如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：根据点的坐标的几何意义可得，点A（-4，3）到轴的距离为点A的横坐标的绝对值，
即，
∴点A（-4，3）到轴的距离为4.
故答案为：A.
【分析】根据点到轴的距离是这个点的横坐标的绝对值即可求解．
2．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵把分式的x和y都扩大2倍，
∴，
∴把分式的x和y都扩大2倍，则分式的值等于原来的分式的值的一半，即缩小2倍.
故答案为：C．
【分析】由题意，把原分式中的x、y都扩大2倍，结合分式的性质计算，然后将所得结果与原分式进行比较即可求解．
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000031用科学记数法表示为：
.
故答案为：．
【分析】根据科学记数法的意义“任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a10n的形式，其中，n=整数位数-1”并结合题意即可求解．
4．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，A选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，B选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，C选项不符合题意；
D、是最简二次根式，D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】被开方数不含分母，也不含开的尽方的因数或者因式的二次根式叫最简二次根式.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：对于A、当时，是一元二次方程，故A不符合题意；
对于B、是一元二次方程，故B符合题意；
对于C、变形为不是一元二次方程，故C不符合题意；
对于D、含有分式，不是一元二次方程，故D不符合题意；
故选：B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义： 通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程 解答．
6．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由二次根式有意义的条件得：
，
不等式①的解集为：x≥5，
不等式②的解集为：x≤5，
∴不等式组的解集为：x=5，
∴y=0+0-2=-2，
∴，
∴点在第四象限.
故答案为：．
【分析】由二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式组，解不等式组可得，把x=5代入y的等式计算可得，即可得到点的坐标，然后根据点的坐标与象限的关系“第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-）”可求解.
7．【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质
【解析】【解答】解：A. 代数式是分式，说法正确，此选项不符合题意；
B. 当时，分母2x+6=2×（-3）+6=0，∴分式没有意义，此选项符合题意；
C. 当时，分式有意义，说法正确，此选项不符合题意；
D.，等式成立，此选项不符合题意.
故答案为：．
【分析】A、根据分式的定义“分母中含有字母的代数式叫做分式”并结合题意即可判断求解；
B、根据分式值为0的条件“分子=0且分母≠0”即可判断求解；
C、根据分式有意义的条件“分母≠0”即可判断求解；
D、根据分式的性质“分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式值不变”，将原分式的分子和分母分别乘以10即可求解.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意分两种情况讨论：
①当时，-k＜0，b=-5＜0，
∴直线过二、三、四象限，反比例函数过一、三象限；
此时四个选项中没有符合题意的图形；
②当时，-k＞0，b=-5＜0，
∴直线过一、三、四象限，反比例函数过二、四象限；
此时四个选项中，选项C符合题意.
故答案为：C．
【分析】由题意分两种情况讨论：①当k＞0时，分析直线和双曲线所经过的象限，对照各选项的图形可判断；②当k0时，分析直线和双曲线所经过的象限，对照各选项的图形可判断求解.
9．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、从图象看，甲走的路程为，则甲的速度为，
由图象知，乙的速度快，则时，乙到达地，所用时间为，
则乙的速度为：，
故乙每分钟比甲多走，正确，本选项不符合题愿意；
B、设乙追上甲，则，
解得：，
即乙出发15时，两人相遇，故原说法错误，本选项符合题意；
C、当时，甲运动的路程为：，
则乙到达地时，甲距离地还有，故本选项不符合题意；
D、甲开始走4分钟，走的路程为，
此时两人相距，
甲走8分钟时，乙走了3分钟，此时两人的距离为，故本选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】从图象看，甲走的路程为，则甲的速度为，由图象知，乙的速度快，则时，乙到达地，所用时间为，则乙的速度为：，据此可判断A选项；根据追击问题的等量关系：乙x分钟走的路程与甲x分钟走的路程差等于甲先走的路程，列出方程，求解可判断B选项；求出甲35分钟所走的路程与A、B两地的距离差即可判断C选项；分乙未出发和出发后两种情况甲乙两人相距240米，求解即可判断D选项.
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，该选项不符合题意；
B、一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是等腰梯形，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的判定方法“①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形”即可判断求解．
11．【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：菱形的周长为36，
∴AB=BC=CD=AD==9，OB=OD，
∴O为中点，
∵H为边的中点，
时的中位线，
，
故答案为：A．
【分析】根据菱形的性质“菱形的四边都相等，对角线互相垂直平分”可得AB=BC=CD=AD，OB=OD，再根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”即可求解．
12．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形；
A、若，则∠ADC=∠ADB=90°，四边形是平行四边形，不一定是矩形；此选项不符合题意；
B、若垂直平分，
则AB=AC，BD=CD，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴AE=BE=AB，AF=CF=AC，
∴AE=AF，
∴四边形是菱形，不一定是矩形；此选项不符合题意；
C、若，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴AE=BE=AB，AF=CF=AC，
则四边形是平行四边形，不一定是菱形；此选项不符合题意；
D、若平分，
则∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠CAD，
∴∠ADE=∠BAD，
∴AE=ED，
∴四边形是菱形；此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形AEDF是平行四边形；结合每一个选项的条件并根据矩形的判定、菱形的判定，依次判断即可求解．
13．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵AB=8，四边形ABCD是矩形，
∴由矩形的性质和折叠的性质得，
AD=BC，AD∥BC，，
∴，
∴，
在Rt△AEB和Rt△C ED中
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据折叠和矩形的性质易得∠CBD=∠ADB=∠CB D，于是用HL定理可证Rt△AEB≌Rt△C ED，由全等三角形的性质可得，在中，用勾股定理可求出的长，然后由线段的构成C E=AE=AD-ED可求解．
14．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、∵ 小明家1至6月份的用水量6吨出现了3次，出现的次数最多，
众数是6吨，故选项正确，不符合题意；
B、 小明家1至6月份的用水量平均数是吨，选项正确，不符合题意；
C、 把小明家1至6月份的用水量从小到大排列为3，4，5，6，6，6，
则中位数是吨，故选项正确，不符合题意；
D、 小明家1至6月份的用水量的方差为，选项错误，符合题意.
故答案为：D．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
15．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：90×60%+95×40%=92（分）
故答案为：C.
【分析】根据加权平均数的计算方法求解即可.
16．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①得：，
，
由②得：，
，
，
不等式组的解集为：，
，
，
由可得，
，
，
分式方程有非负数解，
，且，
，且，
，且，
综上：且，
又为整数，
为
，
故答案为：A.
【分析】将字母m作为常数先根据解不等式的步骤分解解出不等式组中每一个不等式的解集，由不等式组的解集及“同大取大”求m的取值范围；再解分式方程，由分式方程有非负数解可得x≥0且x≠1，据此列出关于字母m的不等式组，求解得出m的范围，综合得到m的范围，结合m为整数，可得答案．
17．【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：，
∵关于x的分式方程有增根，
∴分母，
解得：，
把代入得，
，
解得：，
故答案为：.
【分析】 本题考查分式方程的增根 .先将分式方程去分母，化成整式方程可得：，再根据分式方程有增根的条件“分母=0”，据此可得可得分母，解方程可求出x的值，再将x的值代入整式方程可列出关于m的方程，解方程可求出m的值.
18．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】
=
=
= ，
故答案为： ．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
19．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵S△PAB=1，∴S△PAB=PA·OA==1，
，
∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴k＜0，
，
故答案为：．
【分析】 本题考查三角形的面积公式，反比例函数系数k的几何意义. 先利用三角形的面积公式和反比例函数系数k的几何意义可列出方程：PA·OA==1，解方程可求出k的值，再根据反比例函数图象在第二、四象限据此可推出：k＜0，进而可确定k的值．
20．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
AD∥BC，AB=CD，
，
平分，
，
，
，
，，
．
故答案为：3．
【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的两组对边分别平行且相等”可得AD∥BC，AB=CD，由平行线的性质和角平分线的性质可得出，然后由等角对等边可得，再根据线段的构成DE=AD-AE计算即可求解．
21．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】连接CD，利用勾股定理求出AB，根据三个角是直角的四边形是矩形判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据等面积法结合三角形的面积公式列方程求解即可．
22．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得，则，根据有理数的乘法法则及，可得，然后利用二次根式的性质“”进行化简即可．
23．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：由题可知：点坐标为，点的坐标为，
∴点与点的纵坐标之差为，
∵P1、P2、P3、P4、……、Pn的横坐标是连续的正整数，
∴图中所构成的阴影部分的小长方形的宽都相等，且为1，
∴图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，…，S2024，的面积之和构成的是长为2024个小长方形的长之和即为、宽为1 的大长方形，
∴．
故答案为：．
【分析】根据反比例函数几何意义可得，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，…，S2024，的面积之和构成的是长为2024个小长方形的长之和即为、宽为1 的大长方形，根据长方形的面积等于长乘宽即可求解．
24．【答案】（1）解：，
移项得：，
∴，
∴，
解得：；
∴原方程的解为：.
（2）解：，
∵，
∴，
，
∴，
∴原方程的解为：.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，再提公因式（5x+4）即可将原方程化为两个一次二项式的积，于是可得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解；
（2）由题意，先找出a、b、c的值，计算b2-4ac的值，然后代入一元二次方程的求根公式“x=”计算即可求解．
（1）解：，
移项得：，
提公因式得：，
，
解得：；
（2）解：，
，
，
，
∴．
25．【答案】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则，先计算乘除，再计算加减并结合二次根式的性质“、”计算即可求解；
（2）根据绝对值的非负性去掉绝对值，根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=2，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
26．【答案】解：
，
要使分式有意义，必须且，
所以不能为0，，，1，
是绝对值不大于2的整数，
取，
原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，进而根据分式有意义的条件结合化简有理数的绝对值即可得到x的值，从而代入即可求解。
27．【答案】（1）解：设每千克甲种糖果的进价是x元，则每千克乙种糖果的进价是元，
由题意得：
解得：
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
答：每千克甲种糖果的进价是30元；
（2）解：由（1）可知，该超市本次购进甲种糖果是m千克，则购进乙种糖果千克，
由题意得：
解得：
∵m为正整数，
∴m的最小值为500
答：该超市本次购进甲种糖果至少是500千克.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每千克甲种糖果的进价是x元，则每千克乙种糖果的进价是（x-5）元，根据总价除以单价等于数量及用6000元购进甲种糖果的数量是用2500元购进乙种糖果数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）该超市本次购进甲种糖果是m千克，则购进乙种糖果（2m+100）千克，根据销售甲种糖果m千克的利润+销售(2m+100)千克乙种糖果的利润不少于19600元，列出一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
（1）设每千克甲种糖果的进价是x元，则每千克乙种糖果的进价是元，
由题意得：
解得：
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
答：每千克甲种糖果的进价是30元
（2）由（1）可知，
该超市本次购进甲种糖果是m千克，则购进乙种糖果千克，
由题意得：
解得：
∵m为正整数，
∴m的最小值为500
答：该超市本次购进甲种糖果至少是500千克
28．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
在△AEB和△DEF中，
，
∴（AAS），
∴AB=DF，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴S四边形ABCF=S矩形ABDF+S△BCD=AB·BD+BD·CD
=4×3+×4×3
=12+6
=18.
答：四边形ABCF的面积为18.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）由题意，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等得AB=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形为矩形即可得证；
（2）在直角三角形BCD中，用勾股定理求出的长，然后根据四边形ABCF的构成S四边形ABCF=S矩形ABDF+S△BCD计算即可求解．
（1）证明：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积．
29．【答案】（1）解：∵直线y=2x+2经过点A（2，a），
∴a=2×2+2，
解得：a=6，
∴A（2，6），
∵反比例函数的图象经过点A（2，6），
∴6=，
解得：k=12；
∴反比例函数解析式为：.
（2）解：∵ 点P为反比例函数y=的图象上的一点，
∴设点P（m，），
∵直线y=2x+2与y轴相交于点B，
∴把x=0代入直线解析式得：y=2，
∴OB=2，
∵，
∴，
解得： ，
∴==1，
∴点P（12，1）.
（3）解：由题意可分两种情况：
①当点Q在x轴的负半轴上时，如图，
令交y轴于D，设，
∵，
∴，
∵由（1）得：A（2，6），O(0，0)，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴；
②当点Q在x轴的正半轴上时，如图，作
∴，
由（1）得：A（2，6），
∴．
综上可知，点的坐标或．
答：存在点，使得， 点的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由题意，先把点A坐标代入一次函数解析式可得关于a的方程，解方程求出a的值，即可得点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值即可；
（2）设，根据列关于m的方程，解方程即可求解；
（3）由题意分两种情况讨论：①点Q在x轴的负半轴上，②点Q在x轴的正半轴上，结合已知即可求解．
（1）把代入中得：，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）设，
把代入得，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）当点Q在x轴的负半轴上时，如图，设交y轴于D，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴；
当点Q在x轴的正半轴上时，如图，作
∴
∴．
综上可知，点的坐标或．
30．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴∠EAO=∠AOE=45°，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：①，理由如下：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
在△AEO和△BFO中，
∴，
∴；
②
（3）解：四边形PQMN的面积为.
【知识点】正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合
【解析】【解答】解：（2）②由①得：△AEO≌△BFO，
∴S△AEO=S△BFO，
∴S四边形OEAF=S△AOB=S正边形ABCD=×1=.
（3）如图，延长MQ至点G，使GQ=MN，连接PG，
∵，
∴，
∵，
∴，
在△PGQ和△PMN中，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴S四边形PQMN=S△PGM=×PM×PG=×9×9=.
答：四边形PQMN的面积为.
【分析】（1）根据正方形的性质可得，结合已知，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，结合已知可得，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可求解；
（2）①由题意用角边角可证△AEO≌△BFO，由全等三角形的性质即可求解；
②由①得：△AEO≌△BFO，根据全等三角形的面积相等可得S△AEO=S△BFO，然后根据面积的构成S四边形OEAF=S△AOB=S正边形ABCD即可求解；
（3）延长MQ至点G，使GQ=MN，连接PG，用边角边可证△PGQ≌△PMN，则由全等三角形的性质可得，，所以为等腰直角三角形，根据S四边形PQMN=S△PGM计算即可求解．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：①，
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积的面积，
∴四边形的面积的面积正方形的面积；
（3）解：如图，延长至点G，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴四边形的面积等腰直角三角形的面积．
1 / 1四川省射洪中学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·射洪开学考）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：根据点的坐标的几何意义可得，点A（-4，3）到轴的距离为点A的横坐标的绝对值，
即，
∴点A（-4，3）到轴的距离为4.
故答案为：A.
【分析】根据点到轴的距离是这个点的横坐标的绝对值即可求解．
2．（2024九上·射洪开学考）若把分式的x和y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵把分式的x和y都扩大2倍，
∴，
∴把分式的x和y都扩大2倍，则分式的值等于原来的分式的值的一半，即缩小2倍.
故答案为：C．
【分析】由题意，把原分式中的x、y都扩大2倍，结合分式的性质计算，然后将所得结果与原分式进行比较即可求解．
3．（2024九上·射洪开学考）冬季是呼吸道疾病的高发季节，肺炎支原体和流感容易交叉感染，其中支原体是一种类似细菌但不具有细胞壁的原核微生物，它的直径约为米，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000031用科学记数法表示为：
.
故答案为：．
【分析】根据科学记数法的意义“任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a10n的形式，其中，n=整数位数-1”并结合题意即可求解．
4．（2024九上·射洪开学考）下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，A选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，B选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，C选项不符合题意；
D、是最简二次根式，D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】被开方数不含分母，也不含开的尽方的因数或者因式的二次根式叫最简二次根式.
5．（2024九上·射洪开学考）下列是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：对于A、当时，是一元二次方程，故A不符合题意；
对于B、是一元二次方程，故B符合题意；
对于C、变形为不是一元二次方程，故C不符合题意；
对于D、含有分式，不是一元二次方程，故D不符合题意；
故选：B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义： 通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程 解答．
6．（2024九上·射洪开学考）若，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由二次根式有意义的条件得：
，
不等式①的解集为：x≥5，
不等式②的解集为：x≤5，
∴不等式组的解集为：x=5，
∴y=0+0-2=-2，
∴，
∴点在第四象限.
故答案为：．
【分析】由二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式组，解不等式组可得，把x=5代入y的等式计算可得，即可得到点的坐标，然后根据点的坐标与象限的关系“第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-）”可求解.
7．（2024九上·射洪开学考）下列判断错误的是（ ）
A．代数式是分式
B．当时，分式的值为
C．当时，分式有意义
D．
【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质
【解析】【解答】解：A. 代数式是分式，说法正确，此选项不符合题意；
B. 当时，分母2x+6=2×（-3）+6=0，∴分式没有意义，此选项符合题意；
C. 当时，分式有意义，说法正确，此选项不符合题意；
D.，等式成立，此选项不符合题意.
故答案为：．
【分析】A、根据分式的定义“分母中含有字母的代数式叫做分式”并结合题意即可判断求解；
B、根据分式值为0的条件“分子=0且分母≠0”即可判断求解；
C、根据分式有意义的条件“分母≠0”即可判断求解；
D、根据分式的性质“分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式值不变”，将原分式的分子和分母分别乘以10即可求解.
8．（2024九上·射洪开学考）函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意分两种情况讨论：
①当时，-k＜0，b=-5＜0，
∴直线过二、三、四象限，反比例函数过一、三象限；
此时四个选项中没有符合题意的图形；
②当时，-k＞0，b=-5＜0，
∴直线过一、三、四象限，反比例函数过二、四象限；
此时四个选项中，选项C符合题意.
故答案为：C．
【分析】由题意分两种情况讨论：①当k＞0时，分析直线和双曲线所经过的象限，对照各选项的图形可判断；②当k0时，分析直线和双曲线所经过的象限，对照各选项的图形可判断求解.
9．（2024九上·射洪开学考）、两地相距2400米，甲、乙两人准备从地出发去地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达地后，停止运动．甲乙之间的距离与甲运动时间之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．乙每分钟比甲多走
B．乙出发后两人相遇
C．乙到达 B 地时，甲距离 B 地还有
D．相遇前，甲走或时两人相距
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、从图象看，甲走的路程为，则甲的速度为，
由图象知，乙的速度快，则时，乙到达地，所用时间为，
则乙的速度为：，
故乙每分钟比甲多走，正确，本选项不符合题愿意；
B、设乙追上甲，则，
解得：，
即乙出发15时，两人相遇，故原说法错误，本选项符合题意；
C、当时，甲运动的路程为：，
则乙到达地时，甲距离地还有，故本选项不符合题意；
D、甲开始走4分钟，走的路程为，
此时两人相距，
甲走8分钟时，乙走了3分钟，此时两人的距离为，故本选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】从图象看，甲走的路程为，则甲的速度为，由图象知，乙的速度快，则时，乙到达地，所用时间为，则乙的速度为：，据此可判断A选项；根据追击问题的等量关系：乙x分钟走的路程与甲x分钟走的路程差等于甲先走的路程，列出方程，求解可判断B选项；求出甲35分钟所走的路程与A、B两地的距离差即可判断C选项；分乙未出发和出发后两种情况甲乙两人相距240米，求解即可判断D选项.
10．（2024九上·射洪开学考）下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，该选项不符合题意；
B、一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是等腰梯形，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的判定方法“①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形”即可判断求解．
11．（2024九上·射洪开学考）如图所示，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为36，则的长等于（ ）
A． B．5 C．6 D．9
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：菱形的周长为36，
∴AB=BC=CD=AD==9，OB=OD，
∴O为中点，
∵H为边的中点，
时的中位线，
，
故答案为：A．
【分析】根据菱形的性质“菱形的四边都相等，对角线互相垂直平分”可得AB=BC=CD=AD，OB=OD，再根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”即可求解．
12．（2024九上·射洪开学考）在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若垂直平分，则四边形是矩形
C．若，则四边形是菱形
D．若平分，则四边形是菱形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形；
A、若，则∠ADC=∠ADB=90°，四边形是平行四边形，不一定是矩形；此选项不符合题意；
B、若垂直平分，
则AB=AC，BD=CD，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴AE=BE=AB，AF=CF=AC，
∴AE=AF，
∴四边形是菱形，不一定是矩形；此选项不符合题意；
C、若，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴AE=BE=AB，AF=CF=AC，
则四边形是平行四边形，不一定是菱形；此选项不符合题意；
D、若平分，
则∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠CAD，
∴∠ADE=∠BAD，
∴AE=ED，
∴四边形是菱形；此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形AEDF是平行四边形；结合每一个选项的条件并根据矩形的判定、菱形的判定，依次判断即可求解．
13．（2024九上·射洪开学考）如图，矩形沿着直线折叠，使点C落在点处，，，则的长度为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵AB=8，四边形ABCD是矩形，
∴由矩形的性质和折叠的性质得，
AD=BC，AD∥BC，，
∴，
∴，
在Rt△AEB和Rt△C ED中
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据折叠和矩形的性质易得∠CBD=∠ADB=∠CB D，于是用HL定理可证Rt△AEB≌Rt△C ED，由全等三角形的性质可得，在中，用勾股定理可求出的长，然后由线段的构成C E=AE=AD-ED可求解．
14．（2024九上·射洪开学考）小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（ ）
A．众数是6吨 B．平均数是5吨 C．中位数5.5吨 D．方差是1.2
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、∵ 小明家1至6月份的用水量6吨出现了3次，出现的次数最多，
众数是6吨，故选项正确，不符合题意；
B、 小明家1至6月份的用水量平均数是吨，选项正确，不符合题意；
C、 把小明家1至6月份的用水量从小到大排列为3，4，5，6，6，6，
则中位数是吨，故选项正确，不符合题意；
D、 小明家1至6月份的用水量的方差为，选项错误，符合题意.
故答案为：D．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
15．（2024九上·射洪开学考）我区“人才引进”招聘考试分笔试和面试，按笔试占、面试占计算加权平均数作为总成绩应试者李老师的笔试成绩为分，面试成绩为分，则李老师的总成绩为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：90×60%+95×40%=92（分）
故答案为：C.
【分析】根据加权平均数的计算方法求解即可.
16．（2024九上·射洪开学考）如果关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有非负数解，那么所有符合条件的整数m的值之和为（ ）
A． B．0 C．3 D．5
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①得：，
，
由②得：，
，
，
不等式组的解集为：，
，
，
由可得，
，
，
分式方程有非负数解，
，且，
，且，
，且，
综上：且，
又为整数，
为
，
故答案为：A.
【分析】将字母m作为常数先根据解不等式的步骤分解解出不等式组中每一个不等式的解集，由不等式组的解集及“同大取大”求m的取值范围；再解分式方程，由分式方程有非负数解可得x≥0且x≠1，据此列出关于字母m的不等式组，求解得出m的范围，综合得到m的范围，结合m为整数，可得答案．
17．（2024九上·射洪开学考）关于x的分式方程有增根，则 ．
【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：，
∵关于x的分式方程有增根，
∴分母，
解得：，
把代入得，
，
解得：，
故答案为：.
【分析】 本题考查分式方程的增根 .先将分式方程去分母，化成整式方程可得：，再根据分式方程有增根的条件“分母=0”，据此可得可得分母，解方程可求出x的值，再将x的值代入整式方程可列出关于m的方程，解方程可求出m的值.
18．（2024九上·射洪开学考）计算： 的结果是 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】
=
=
= ，
故答案为： ．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
19．（2024九上·射洪开学考）如图，反比例函数的图象上有一点，轴于点，点在轴上，的面积为1，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵S△PAB=1，∴S△PAB=PA·OA==1，
，
∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴k＜0，
，
故答案为：．
【分析】 本题考查三角形的面积公式，反比例函数系数k的几何意义. 先利用三角形的面积公式和反比例函数系数k的几何意义可列出方程：PA·OA==1，解方程可求出k的值，再根据反比例函数图象在第二、四象限据此可推出：k＜0，进而可确定k的值．
20．（2024九上·射洪开学考）如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
AD∥BC，AB=CD，
，
平分，
，
，
，
，，
．
故答案为：3．
【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的两组对边分别平行且相等”可得AD∥BC，AB=CD，由平行线的性质和角平分线的性质可得出，然后由等角对等边可得，再根据线段的构成DE=AD-AE计算即可求解．
21．（2024九上·射洪开学考）如图，在中，，D是上一动点，过点作于点E，于点F．连接，则线段的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】连接CD，利用勾股定理求出AB，根据三个角是直角的四边形是矩形判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据等面积法结合三角形的面积公式列方程求解即可．
22．（2024九上·射洪开学考）已知且，化简二次根式的结果是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得，则，根据有理数的乘法法则及，可得，然后利用二次根式的性质“”进行化简即可．
23．（2024九上·射洪开学考）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，…，，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，…，，…，则的结果为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：由题可知：点坐标为，点的坐标为，
∴点与点的纵坐标之差为，
∵P1、P2、P3、P4、……、Pn的横坐标是连续的正整数，
∴图中所构成的阴影部分的小长方形的宽都相等，且为1，
∴图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，…，S2024，的面积之和构成的是长为2024个小长方形的长之和即为、宽为1 的大长方形，
∴．
故答案为：．
【分析】根据反比例函数几何意义可得，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，…，S2024，的面积之和构成的是长为2024个小长方形的长之和即为、宽为1 的大长方形，根据长方形的面积等于长乘宽即可求解．
24．（2024九上·射洪开学考）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
移项得：，
∴，
∴，
解得：；
∴原方程的解为：.
（2）解：，
∵，
∴，
，
∴，
∴原方程的解为：.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，再提公因式（5x+4）即可将原方程化为两个一次二项式的积，于是可得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解；
（2）由题意，先找出a、b、c的值，计算b2-4ac的值，然后代入一元二次方程的求根公式“x=”计算即可求解．
（1）解：，
移项得：，
提公因式得：，
，
解得：；
（2）解：，
，
，
，
∴．
25．（2024九上·射洪开学考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则，先计算乘除，再计算加减并结合二次根式的性质“、”计算即可求解；
（2）根据绝对值的非负性去掉绝对值，根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=2，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
26．（2024九上·射洪开学考）化简求值， 其中 是绝对值不大于 2 的整数.
【答案】解：
，
要使分式有意义，必须且，
所以不能为0，，，1，
是绝对值不大于2的整数，
取，
原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，进而根据分式有意义的条件结合化简有理数的绝对值即可得到x的值，从而代入即可求解。
27．（2024九上·射洪开学考）春节期间，南坪万达永辉超市准备从厂家购进甲、乙糖果进行销售，若甲种糖果每千克进价比乙种糖果每千克进价多5元，且用6000元购进甲种糖果的数量是用2500元购进乙种糖果数量的2倍．
（1）求每千克甲种糖果的进价是多少元？
（2）该超市准备将每千克甲种糖果的售价定为45元，每千克乙种糖果的售价定为36元．根据市场需求，超市决定向厂家再购进一批糖果，且购进乙种糖果的数量比购进甲种糖果的数量的2倍还多100千克，若本次购进的两种糖果全部售出后，总获利不少于19600元，求该超市本次购进甲种糖果至少是多少千克？
【答案】（1）解：设每千克甲种糖果的进价是x元，则每千克乙种糖果的进价是元，
由题意得：
解得：
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
答：每千克甲种糖果的进价是30元；
（2）解：由（1）可知，该超市本次购进甲种糖果是m千克，则购进乙种糖果千克，
由题意得：
解得：
∵m为正整数，
∴m的最小值为500
答：该超市本次购进甲种糖果至少是500千克.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每千克甲种糖果的进价是x元，则每千克乙种糖果的进价是（x-5）元，根据总价除以单价等于数量及用6000元购进甲种糖果的数量是用2500元购进乙种糖果数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）该超市本次购进甲种糖果是m千克，则购进乙种糖果（2m+100）千克，根据销售甲种糖果m千克的利润+销售(2m+100)千克乙种糖果的利润不少于19600元，列出一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
（1）设每千克甲种糖果的进价是x元，则每千克乙种糖果的进价是元，
由题意得：
解得：
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
答：每千克甲种糖果的进价是30元
（2）由（1）可知，
该超市本次购进甲种糖果是m千克，则购进乙种糖果千克，
由题意得：
解得：
∵m为正整数，
∴m的最小值为500
答：该超市本次购进甲种糖果至少是500千克
28．（2024九上·射洪开学考）如图，在平行四边形中，，E是边的中点，延长与的延长线交于点F，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求四边形的面积S．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
在△AEB和△DEF中，
，
∴（AAS），
∴AB=DF，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴S四边形ABCF=S矩形ABDF+S△BCD=AB·BD+BD·CD
=4×3+×4×3
=12+6
=18.
答：四边形ABCF的面积为18.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）由题意，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等得AB=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形为矩形即可得证；
（2）在直角三角形BCD中，用勾股定理求出的长，然后根据四边形ABCF的构成S四边形ABCF=S矩形ABDF+S△BCD计算即可求解．
（1）证明：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积．
29．（2024九上·射洪开学考）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点为反比例函数图象上的一点，若，求点的坐标；
（3）在轴是否存在点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线y=2x+2经过点A（2，a），
∴a=2×2+2，
解得：a=6，
∴A（2，6），
∵反比例函数的图象经过点A（2，6），
∴6=，
解得：k=12；
∴反比例函数解析式为：.
（2）解：∵ 点P为反比例函数y=的图象上的一点，
∴设点P（m，），
∵直线y=2x+2与y轴相交于点B，
∴把x=0代入直线解析式得：y=2，
∴OB=2，
∵，
∴，
解得： ，
∴==1，
∴点P（12，1）.
（3）解：由题意可分两种情况：
①当点Q在x轴的负半轴上时，如图，
令交y轴于D，设，
∵，
∴，
∵由（1）得：A（2，6），O(0，0)，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴；
②当点Q在x轴的正半轴上时，如图，作
∴，
由（1）得：A（2，6），
∴．
综上可知，点的坐标或．
答：存在点，使得， 点的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由题意，先把点A坐标代入一次函数解析式可得关于a的方程，解方程求出a的值，即可得点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值即可；
（2）设，根据列关于m的方程，解方程即可求解；
（3）由题意分两种情况讨论：①点Q在x轴的负半轴上，②点Q在x轴的正半轴上，结合已知即可求解．
（1）把代入中得：，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）设，
把代入得，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）当点Q在x轴的负半轴上时，如图，设交y轴于D，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴；
当点Q在x轴的正半轴上时，如图，作
∴
∴．
综上可知，点的坐标或．
30．（2024九上·射洪开学考）已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且．
（1）如图1，当时，求证：四边形是正方形；
（2）如图2，将射线绕着点O进行旋转．
①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明；
②四边形的面积为 ；
（3）如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴∠EAO=∠AOE=45°，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：①，理由如下：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
在△AEO和△BFO中，
∴，
∴；
②
（3）解：四边形PQMN的面积为.
【知识点】正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合
【解析】【解答】解：（2）②由①得：△AEO≌△BFO，
∴S△AEO=S△BFO，
∴S四边形OEAF=S△AOB=S正边形ABCD=×1=.
（3）如图，延长MQ至点G，使GQ=MN，连接PG，
∵，
∴，
∵，
∴，
在△PGQ和△PMN中，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴S四边形PQMN=S△PGM=×PM×PG=×9×9=.
答：四边形PQMN的面积为.
【分析】（1）根据正方形的性质可得，结合已知，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，结合已知可得，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可求解；
（2）①由题意用角边角可证△AEO≌△BFO，由全等三角形的性质即可求解；
②由①得：△AEO≌△BFO，根据全等三角形的面积相等可得S△AEO=S△BFO，然后根据面积的构成S四边形OEAF=S△AOB=S正边形ABCD即可求解；
（3）延长MQ至点G，使GQ=MN，连接PG，用边角边可证△PGQ≌△PMN，则由全等三角形的性质可得，，所以为等腰直角三角形，根据S四边形PQMN=S△PGM计算即可求解．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：①，
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积的面积，
∴四边形的面积的面积正方形的面积；
（3）解：如图，延长至点G，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴四边形的面积等腰直角三角形的面积．
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