2024-2025学年初中数学人教版九年级下册 26.1.2反比例函数的图象和性质（课时2）课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
26.1.2反比例函数的图象和性质
（课时2）
第二十六章 反比例函数
学习目标
1. 能根据函数图象上的点的坐标求函数解析式，并能判断一个点是否在反比例函数图象上.
2.能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题；
3.掌握反比例函数的比例系数k的意义，并能应用其解决有关问题.
知识回顾
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质：
O
x
y
O
x
y
探究新知
已知反比例函数的图象经过点A(2,6).
（1）这个函数的图象位于第几象限？y 随 x 的增大如何变化？
图象的位置由哪个量确定？y随x的变化情况与哪个量有关？
点在图象上意味着什么？
点A的坐标满足函数解析式
待定系数法
如何求这个量？
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
解：
（1）设反比例函数的解析式为 ；
∵反比例函数的图象经过点A(2,6)；
∴
，解得 ；
∴函数的图象分别位于第一、三象限，
在每个象限内，y随x的增大而减小.
求反比例函数解析式时，只需要图象上一个点坐标即可.
（2）因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
探究新知
(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5) 是否在这个函数的图象上？
你有更快捷的判断方法吗？
分析：根据 xy=k 可知，只要点的横纵坐标乘积都等于k即可.
对于点B：3×4=12 (符合k的要求)，所以点B在这个函数的图象上.
对于点C： (符合k的要求)，所以点B在这个函数的图象上.
对于点D：2×5=10 (不符合k的要求)，所以点D不在函数的图象上.
由（1）知，k = 12.
探究新知
如图，它是反比例函数 图象的一支，
根据图象，回答下列问题：
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？
O
x
y
解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.
所以 k > 0，
所以 m-5 > 0，
解得 m > 5.
探究新知
O
x
y
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？
解：因为 m-5 ＞ 0，
所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小，
因此当 x1＞x2 时， y1＜y2.
探究新知
探究新知
反比例函数解析式中 k 的几何意义
1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，与x轴,y轴围成的矩形面积分别为 S1，S2 的矩形，填写下页表格：
探究新知
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
P (2，2)
Q (4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
探究新知
2. 在反比例函数 中是否也有相同的结论？在图象上任取两点P，Q分别向x，y轴作垂线，填写表格：
y
x
O
P
Q
S1
S2
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1,S2与 k 的关系
P (-1，4) Q (-2，2)
4
4
S1=S2
S1 = S2= -k
探究新知
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b)，
∵点 P (a，b) 在函数 的图象上，
∴ ，即 ab=k.
∴ S矩形 AOBP = PB·PA = -a·b = -ab = -k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP = PB·PA = a · ( -b ) = -ab = -k.
综上，S矩形 AOBP = |k|.
y
x
O
P
A
B
B
P
A
归纳总结
点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ = .
推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是
S△QAO=S△QBO= .
Q
对于反比例函数 ，
A
B
|k|
y
x
O
反比例函数的面积不变性
A
练一练
B
C
C
C
D
B
D
谢谢同学们的聆听