2024-2025学年初中数学人教版九年级下册 27.2.3相似三角形应用举例 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
27.2.3相似三角形应用举例
第二十七章 相似
素养目标
1.通过构造相似三角形，得到建筑物的高度，培养应用意识；
2.掌握构造相似三角形的三种常见方法，加深对相似三角形判定的理解；
3.体会构造相似三角形的方法与技巧，培养学生发现问题、解决问题的能力.
重点
重难点
情境导入
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字路，被喻为“世界古代七大奇观之一”，塔的4个斜面正对东南西北四个方问，塔基呈正方形，边长约为230米.据考证，为建成大金字搭，共动用了10万人花了20年时间，原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低.
情境导入
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
思考：泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的？
探究新知
【探究一】如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度.
B
E
A(F)
D
O
探究新知
B
E
A(F)
D
O
解：∵太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，
∴△ABO ∽ △DEF.
∴ ，
= 134 (m).
∴
因此金字塔的高度为 134m.
两角分别相等的两个三角形相似
归纳总结
【总结】对于不易到达顶部，不能直接测量的建筑物的高度，需要构造相似三角形进行测高.
△ABC∽△ECD
光线
光线
A
B
C
D
E
？
表达式：物1高 : 物2高 = 影1长 : 影2长
练一练
B
探究新知
【探究二】测量河宽的问题
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得 QS = 45m，ST = 90m，QR = 60m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.
P
R
Q
S
b
T
a
探究新知
P
R
Q
S
b
T
a
【分析】根据判定定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可以得到△PQR∽△PST或者根据两角分别相等的两个三角形相似得到△PQR∽△PST
探究新知
P
R
Q
S
b
T
a
∴PQ × 90 = (PQ + 45) × 60.
解得 PQ = 90.
因此，河宽大约为 90m.
∴ ，
解：∵∠PQR =∠PST = 90°，∠P =∠P，
∴△PQR∽△PST.
即 ，即
两角分别相等的两个三角形相似
探究新知
思考：你还有其他的方法可以测量河的宽度吗？
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD = 80m，DC = 30m，EC = 24m，
求两岸间的大致距离 AB．
E
A
D
C
B
探究新知
E
A
D
C
B
30 m
24 m
80 m
解：∵ ∠ADB = ∠EDC，
∠ABC = ∠ECD = 90°，
∴ △ABD ∽ △ECD.
∴ ，即 ，
解得 AB = 64.
因此，两岸间的大致距离为 64m.
两角分别相等的两个三角形相似
归纳总结
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
两种常见构造方式：
练一练
30
练一练
探究新知
【探究三】如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8 m和CD=12 m，两树底部的距离BD=5 m．一个人估计自己眼睛距地面1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？
探究新知
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH ∽ △CEK.
∴ ，
即
解得 EH = 8.
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
B
C
C
B
C
小结
应用相似三角形做题的一般步骤：
题中找相似——相似得比例——比例来计算——计算求线段（高度，宽度等）
应用相似三角形解决实际问题常见模型:
谢谢同学们的聆听