2024-2025学年初中数学人教版九年级下册 28.1锐角三角函数（课时1） 课件(共33张PPT)
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年初中数学人教版九年级下册 28.1锐角三角函数（课时1） 课件(共33张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 19.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-26 14:14:01 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
28.1锐角三角函数
（课时1）
第二十八章 锐角三角函数
素养目标
1.理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变)；
2.能根据正弦概念正确进行计算；
3.培养学生良好的数形结合的能力，激发学生的求知欲和学习的自信心.
重点
重难点
情境导入
意大利比萨斜塔
意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶中点偏离垂直中心线2.1m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2m，而且还以每年增加1cm的速度继续倾斜，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm．
情境导入
意大利比萨斜塔
【提问】根据上述信息，你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角 ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
θ
垂直中心线
塔身中心线
探究新知
【探究一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角（∠A）为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？
探究新知
【分析】这个问题可以归结为:在Rt△ABC，∠C = 90°
∠A = 30°，BC = 35 m，求AB的长.（如图所示）
A
C
B
探究新知
A
C
B
在Rt△ABC，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求AB的长.
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，
即
可得AB = 2BC =70 (m).因此，需要准备70m长的水管.
探究新知
【思考】如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
A
C
B
出水口高度为50m，即 BC 长由35m变为50m，其余条件不变.
探究新知
A
C
B
在Rt△ABC，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 50m，求AB的长.
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，
即
可得AB = 2BC =100 (m).因此，需要准备100m长的水管.
归纳总结
【思考】根据上面求AB（所求水管的长度）的过程中，你能得到什么结论？
【结论】
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
A
B
C
30°
探究新知
A
C
B
45°
【探究二】如图，任意画一个Rt△ABC，如果∠C = 90°，∠A = 45°，计算∠A 的对边 BC 与斜边 AB 的比，你能得出什么结论？
解：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，
因为∠A = 45°，所以 Rt△ABC 是等腰直角三角形，
由勾股定理，得 AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2，
所以
因此
归纳总结
【结论】
在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
A
C
B
45°
探究新知
【探究三】在 Rt△ABC 中，如果 ∠C = 90°，∠A = a， 那么 ∠A 的对边 BC 与斜边 AB 的比是一个定值吗？
A
B
C
a
探究新知
任意画 Rt△ABC 和 Rt△ A'B'C' ，使得 ∠C =∠C' = 90°，
∠A =∠A' = α，那么 与 有什么关系？
a
A
B
C
a
A'
B'
C'
探究新知
A
B
C
a
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
所以 Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'.
所以
【结论】在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.
a
A'
B'
C'
归纳总结
【结论】如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sin A.
例如，当∠A = 30°时，我们有
当∠A = 45°时，我们有
A
B
C
邻边b
对边a
斜边c
归纳总结
（1）“sinA”是一个完整的符号，单独写符号 sin 是没有意义的，表达时有时要省去角的符号“∠”
sin∠DEF、 sin∠1 （不能省去角的符号）
sinA 、 sin39 °、 sinβ （省去角的符号）
注意
（2）对于锐角A 的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.
（3）∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变化
例题练习
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sinA 和sinB 的值.
A
B
C
4
3
图1
？
A
B
C
13
5
图2
？
例题练习
解：如图1，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此
如图2，在Rt△ABC中，由勾股定理得
因此
A
B
C
13
5
图2
？
A
B
C
4
3
图1
？
A
C
D
D
A
小结
A
B
C
a
锐角
三角函数
两边比值一定
正弦
1.在直角三角形中
2.对应边的比值
3.建立等式(方程思想)
角度变化，比值变化
谢谢同学们的聆听
28.1锐角三角函数
（课时1）
第二十八章 锐角三角函数
素养目标
1.理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变)；
2.能根据正弦概念正确进行计算；
3.培养学生良好的数形结合的能力，激发学生的求知欲和学习的自信心.
重点
重难点
情境导入
意大利比萨斜塔
意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶中点偏离垂直中心线2.1m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2m，而且还以每年增加1cm的速度继续倾斜，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm．
情境导入
意大利比萨斜塔
【提问】根据上述信息，你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角 ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
θ
垂直中心线
塔身中心线
探究新知
【探究一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角（∠A）为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？
探究新知
【分析】这个问题可以归结为:在Rt△ABC，∠C = 90°
∠A = 30°，BC = 35 m，求AB的长.（如图所示）
A
C
B
探究新知
A
C
B
在Rt△ABC，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求AB的长.
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，
即
可得AB = 2BC =70 (m).因此，需要准备70m长的水管.
探究新知
【思考】如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
A
C
B
出水口高度为50m，即 BC 长由35m变为50m，其余条件不变.
探究新知
A
C
B
在Rt△ABC，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 50m，求AB的长.
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，
即
可得AB = 2BC =100 (m).因此，需要准备100m长的水管.
归纳总结
【思考】根据上面求AB（所求水管的长度）的过程中，你能得到什么结论？
【结论】
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
A
B
C
30°
探究新知
A
C
B
45°
【探究二】如图，任意画一个Rt△ABC，如果∠C = 90°，∠A = 45°，计算∠A 的对边 BC 与斜边 AB 的比，你能得出什么结论？
解：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，
因为∠A = 45°，所以 Rt△ABC 是等腰直角三角形，
由勾股定理，得 AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2，
所以
因此
归纳总结
【结论】
在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
A
C
B
45°
探究新知
【探究三】在 Rt△ABC 中，如果 ∠C = 90°，∠A = a， 那么 ∠A 的对边 BC 与斜边 AB 的比是一个定值吗？
A
B
C
a
探究新知
任意画 Rt△ABC 和 Rt△ A'B'C' ，使得 ∠C =∠C' = 90°，
∠A =∠A' = α，那么 与 有什么关系？
a
A
B
C
a
A'
B'
C'
探究新知
A
B
C
a
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
所以 Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'.
所以
【结论】在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.
a
A'
B'
C'
归纳总结
【结论】如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sin A.
例如，当∠A = 30°时，我们有
当∠A = 45°时，我们有
A
B
C
邻边b
对边a
斜边c
归纳总结
（1）“sinA”是一个完整的符号，单独写符号 sin 是没有意义的，表达时有时要省去角的符号“∠”
sin∠DEF、 sin∠1 （不能省去角的符号）
sinA 、 sin39 °、 sinβ （省去角的符号）
注意
（2）对于锐角A 的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.
（3）∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变化
例题练习
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sinA 和sinB 的值.
A
B
C
4
3
图1
？
A
B
C
13
5
图2
？
例题练习
解：如图1，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此
如图2，在Rt△ABC中，由勾股定理得
因此
A
B
C
13
5
图2
？
A
B
C
4
3
图1
？
A
C
D
D
A
小结
A
B
C
a
锐角
三角函数
两边比值一定
正弦
1.在直角三角形中
2.对应边的比值
3.建立等式(方程思想)
角度变化，比值变化
谢谢同学们的聆听