2024-2025学年初中数学人教版九年级下册 28.2.2应用举例 课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
28.2.2应用举例
第二十八章 锐角三角函数
素养目标
1.了解俯角、仰角、方位角、坡度、坡角等相关概念；
2.能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解 ；
3. 将实际问题转化为解直角三角形问题过程中，培养学生的转化能力，增强分析问题和解决问题的能力.
重点
重难点
知识回顾
解直角三角形的依据有哪些？
A
B
C
b
a
c
（1）三边之间的关系：
a2 + b2 = c2（勾股定理）
（2）两锐角之间的关系：
∠A + ∠B = 90°
（3）边角之间的关系：
1.sinA=（ ）= （ ）
2.cosA=（ ）= （ ）
3.tanA=（ ）= （ ）
知识回顾
根据已知条件，解直角三角形问题可以大致分为哪几种类型？
在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一个是边），可求出其余的未知元素（知二求三）
解直角三角形的两种基本类型：
①已知一角一边，解直角三角形；
②已知两边，解直角三角形．
锐角
邻边、对边或斜边
两条直角边，或斜边和一条直角边
下面我们开始本节课的学习，解直角三角形在实际问题中的应用
新课导入
能否应用解直角三角形的相关知识解决一些实际生活中的问题呢？
探究新知
【探究一】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400 km，π取3.142，结果取整数）？
P
探究新知
P
从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点．
【思考】能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？
你能将这个问题抽象成数学问题吗？
探究新知
O
F
P
Q
P
本题可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点
所以 的长就是地球表面上P，Q两点间的距离
探究新知
O
F
P
Q
FQ是☉O的切线，
∠FQO为直角.
最远点
怎样可以求出 的长？
求 的长，要先求∠POQ的度数
解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形．
∵cosα =　　=　　　　　
≈ 0.9491，
∴ α ≈ 18.36°．　　　　
∴ 的长为
　　　 × 6400 ≈ 　　　　 　×6400 ≈ 2051(km)． 　　　
探究新知
【归纳】利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
探究新知
【探究二】热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？
A
B
C
D
α
β
探究新知
【提问】什么是俯角、仰角？
眼睛
水平线
视线
视线
仰角
俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角.
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的是俯角
铅垂线
探究新知
A
B
C
D
α
β
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α = 30°，β = 60°.
仰角
俯角
水平线
在Rt△ABD中，α = 30°，AD = 120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．即求出这栋楼的高度.
探究新知
A
B
C
D
α
β
仰角
俯角
水平线
解：如图，a = 30°，β = 60°， AD = 120．
答：这栋楼高约为277m.
归纳总结
【归纳】解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法：
根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线，找准仰角、俯角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形，然后利用解直角三角形的方法进行解答.
练一练
练一练
探究新知
【探究三】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B 处.这时，B处距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？
65°
34°
P
B
C
A
探究新知
什么是方向角？
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
方向角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于90°的角叫做方向角.如图所示
探究新知
65°
34°
P
B
C
A
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC = PA·cos（90°- 65°）
= 80×cos25°
≈ 80×0.91
= 72.505.
在Rt△BPC中，∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向
时，它距离灯塔P大约130n mile．
练一练
A
练一练
探究新知
【探究四】如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，AF=DE=6m，斜面坡度 i =1:1.5 是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF 的比，斜面坡度 i =1:3 是指DE 与CE 的比，根据图中数据，求：
（1）坡角α 和 β 的度数；
（2）斜坡 AB 的长(结果保留小数点后一位)．
B
A
D
F
E
C
6 m
α
β
i = 1:3
i =1:1.5
探究新知
α
l
h
i = h:l
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度等于坡角的正切值，坡度通常写成 1:m的形式，坡度越大，则坡角越大，山坡就越陡.
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水
平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i，即 i = h : l .
坡面
水平面
什么是坡角？什么是坡度？
探究新知
B
A
D
F
E
C
6 m
α
β
i = 1:3
i =1:1.5
【分析】利用坡度等于坡角的正切值即可求出坡角 α 和 β 的度数；在Rt△ABF中，由勾股定理或三角函数定义可得AB的长.
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
在 Rt△CDE 中，∠CED = 90°
探究新知
B
A
D
F
E
C
6 m
α
β
i = 1:3
i =1:1.5
【分析】利用坡度等于坡角的正切值即可求出坡角 α 和 β 的度数；在Rt△ABF中，由勾股定理或三角函数定义可得AB的长.
（2）∵AF = 6m
∴BF = 1.5×6 = 9m
在 Rt△AFB 中，
≈10.8
∴斜坡AB的长为10.8m.
D
小结
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
谢谢同学们的聆听