第十七章 勾股定理 综合素质评价（含答案）人教版数学八年级下册

第十七章综合素质评价
八年级数学 下（版）时间：90分钟 满分：120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若直角三角形的两条直角边的长分别为1，，则斜边的长为（ ）
A． B． C． D．2
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B．,,2 C．，2， D．5，12，13
3．[2024· 阜阳期中]如图，在中， ，，，则正方形的面积为（ ）
（第3题）
A．81 B．144 C．225 D．169
4．在直角坐标系中，有四个点，，，，，则这四个点中到原点距离最远的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．如图，长方形 的边 在数轴上，点 表示数，点 表示数，，以点 为圆心，的长为半径作弧与数轴负半轴交于点，则点 表示的数为（ ）
（第5题）
A． B． C． D．
6．由下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ）
A．
B．
C．,,（为正整数）
D．,,
7．[2024· 济南历城区一模]如图，在中，分别以点，为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，.若，，，则的长为（ ）
（第7题）
A． B． C． D．
8．如图①，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图②的“风车”图案（阴影部分）.若图①中的四个直角三角形的较长直角边的长为9，较短直角边的长为5，则图②中的“风车”图案的周长为（ ）
（第8题）
A． B． C． D．
9．[2024· 西安长安区月考]如图，长方体的长、宽、高分别为，，.若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
（第9题）
A． B． C． D．
10．[2024· 重庆南岸区期末]如图①，在中， ，，，以这个直角三角形的三条边为边向外作正方形.图②由图①的两个小正方形向外分别作直角边长之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边向外作正方形， ，按此规律，则图⑥中所有正方形的面积之和为（ ）
（第10题）
A．200 B．175 C．150 D．125
二、填空题（每题4分，共24分）
11．命题“对顶角相等”的逆命题是__________________________.
12．在中，，，的对边分别为，，，且，若 ，则的大小是________.
13．如图，点，，，，是正方形网格中网格线的交点，则__ .
（第13题）
14．如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.若，则图中阴影部分的面积为______.
（第14题）
15．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为 时，顶部边缘 处离桌面的高度 为，此时底部边缘 处与 处之间的距离 为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为 时（ 是 的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为,则底部边缘处与处之间的距离为____________.
（第15题）
16．如图，在中， ，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为____________.
（第16题）
三、解答题（17，18题每题8分，19，20，21题每题12分，22题14分，共66分）
17．如图，在四边形中，，，，， ，求证： .
18．如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格内画出图形.
（1） 在图①中，以格点为顶点，画一个面积为8的正方形；
（2） 在图②中，以格点为顶点，画一个三角形，使三角形的三边长分别为，，4，这个三角形______________________________________________直角三角形（填“是”或者“不是”）.
19．将长和宽分别为和的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图①，再用这四个三角形拼成如图②所示的正方形，中间形成一个正方形的空洞.经测量得长方形的面积为24，正方形的边长为5.试通过你获取的信息，求和的值.
20．[2024· 汕头潮南区期末]如图，在中，,平分，交于点，延长至点，使，连接.
（1） 求证：；
（2） 连接，若,，求的面积.
21．钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化.甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，甲船每小时航行12海里，乙船每小时航行16海里.
（1） 如图①，若甲、乙两船离开港口一个半小时后分别位于，处，相距30海里，且甲船沿北偏东 方向航行，则乙船沿哪个方向航行？
（2） 如图②，若甲船沿北偏东 方向航行，从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名海警因任务需要以最快的速度回到海岸线上，他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在14分钟内回到海岸线吗？请说明理由.（提示：）
22．【问题提出】
（1） 如图①，和都是等边三角形，点在内部，连接，，.
① 求证：；
② 若 ，求证：；
【问题探究】
（2） 如图②，和都是等边三角形，点在外部，连接，,.若仍然成立，求的度数；
【问题拓展】
（3） 如图③，在中，， ，点为外一点.若 ，，，请直接写出的长.
【参考答案】
第十七章综合素质评价
八年级数学 下（版）时间：90分钟 满分：120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．D
2．D
3．C
4．B
5．D
6．D
7．A
8．C
[解析]点拨：如图，
由题意知，，
.
在中， ，
，
“风车”图案的周长为.
9．D
[解析]点拨：长方体的侧面展开图如图所示，连接,即为蚂蚁爬行的最短路径长.
易知,,
由勾股定理得.
蚂蚁爬行的最短路径长为.
10．B
[解析]点拨： ， ， ，
，
图①中所有正方形面积之和为，
图②中所有正方形面积之和为，
图③中所有正方形面积之和为， ，
图中所有正方形的面积之和为，
图⑥中所有正方形的面积之和为.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．相等的两个角为对顶角
12．
13．45
[解析]点拨:如图，连接.
设图中每个小正方形的边长为，
则易得，，,
， .
.
易得, .
.
.
14．6
[解析]点拨: ， ，
阴影部分的面积.
15．
[解析]点拨：依题意，得，.
在中，.
，,
在中，.
16．5或
[解析]点拨：如图①，当 时，则 ，
由折叠的性质得 .
，是等腰直角三角形，；
如图②，当 时，
由折叠的性质得， ，
，
，，三点共线.
在中，由勾股定理得.
，
，
，.
综上所述，的长为5或.
三、解答题（17，18题每题8分，19，20，21题每题12分，22题14分，共66分）
17．证明：连接.
，， ，
由勾股定理，得.
，，，
，为直角三角形，
，
.
18．（1） 解： 正方形的面积为8， 正方形的边长为，则面积为8的正方形如图①所示.（答案不唯一）
（2） 如图②，即为所作.（答案不唯一）； 不是
19．解：根据题意得，，
，即，，
由题图②得，
，，
.
20．（1） 证明：，，
.
.
平分，.
.
（2） 解：，平分，
，.
，
.
又，
.
21．（1） 解：由题意得 ，（海里），（海里），
在中，，，
，
是直角三角形，且 ，
，
乙船沿南偏东 方向航行.
（2） 如图，过点作于点，
由题意知 ，（海里），
易得 ，（海里），
（海里）.
（海里），，
他能在14分钟内回到海岸线.
22．（1） ① 证明：和都是等边三角形，
，， ，
易得，，.
② 为等边三角形，
,.
， ，.
，，.
（2） 解：由（1）易知，， ， 易得，
，.
，
， ，
.
（3） 解：的长为3.
[解析]点拨：如图，过点作，使，连接，，则 .
，.
,，
，.
，.
， ， .
，.
在中， ，
，，.
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