人教版八年级数学上名师点拨与训练第14章整式的乘法与因式分解14.2.1 平方差公式
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| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨与训练第14章整式的乘法与因式分解14.2.1 平方差公式 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-26 22:11:15 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.2.1 平方差公式
学习目标
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.
2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.
重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解.
难点：平方差公式的应用.
老师告诉你
1.平方差公式的特征：
左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是左边相同项的平方减去互为相反数的项的平方。
公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的字母a,b可以是单项式，也可以是多项式。
平方差公式可以逆用，即a2-b2=（a+b）(a-b)
知识点拨
知识点1 平方差公式
平方差公式：
语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
图形表示：
特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的特征
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
① 位置变化，xyyxx2y2
② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2
③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4
④ 系数变化，2ab2ab4a2b2
⑤ 换式变化，xyzmxyzm
xy2zm2
x2y2zmzm
x2y2z2zmzmm2
x2y2z22zmm2
⑥ 增项变化，xyzxyz
xy2z2
xyxyz2
x2xyxyy2z2
x22xyy2z2
⑦ 连用公式变化，xyxyx2y2
x2y2x2y2
x4y4
⑧ 逆用公式变化，xyz2xyz2
xyzxyzxyzxyz
2x2y2z
4xy4xz
特别说明：解题过程中注意符号问题、注意用整体思想解决问题。
【新知导学】
例1-1 .下列各式可以利用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+2）（﹣x﹣2） B．（5a+y）（5y﹣a）
C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x+3y）（3y﹣x）
例1-2 .计算： ．
例1-3 .用平方差公式进行计算：．
【对应导练】
1.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2 .计算：_________．
3 .先化简，再求值：．其中，b＝7．
4 .利用简便方法计算：20192﹣2018×2020．
5 .如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中的阴影部分的面积是，图2中阴影部分，请直接用含，的代数式表示 ， ；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式：
(3)试利用这个公式计算：
知识点2 平方差公式的应用
利用平方差公式简便计算
转化成平方差公式形式，利用公式计算
利用平方差公式化简求值
先利用公式化简，再代入求值
3平方差公式与图形面积
【新知导学】
例2-1 .如果与的乘积为15，那么的值为__．
例2-2 .已知，则的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
例2-3 .乘法公式的探究及应用．
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差形式）．
（2）若将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（如图②），面积是 （写成多项式乘法的形式）．
（3）比较图①、图②中阴影部分的面积，可以得到乘法公式 （用式子表示）．
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题；
①（n+1﹣m）（n+1+m）；
②1003×997．
【对应导练】
1.如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（ ）
A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y]
C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]
2 .先化简，再求值：．其中，b＝7．
3 .利用简便方法进行计算
（1） （2）
二、题型训练
1.利用平方差公式进行计算
1 .计算：的结果是 ．
2 .先化简，再求值：其中．
2.利用数形结合思想验证平方差公式的应用
3 .如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形，这两个图能解释一个等式是 ．
4 .探究活动：
(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式）
(2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题：
①计算：；
②若，，求的值．
3.利用平方差公式整体代入求值
5 .已知，则 ．
6 .已知|m﹣n|＝1，m+n＝5，则m2﹣n2＝ ．
三、课堂达标
一、单选题：（每小题4分，共32分）
1．计算 的结果为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则的值是（ ）
A．24 B．16 C．8 D．4
4．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1 D．（﹣3x+2）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4
5． （ ）= 4a4-9b4，括号内应填（ ）
A．2a2+3b2 B．2a2-3b2 C．-2a2-3b2 D．-2a2+3b2
6．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．若a2﹣b2= ，a+b= ，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣ B． C．1 D．2
8 .如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
二、填空题：（每小题4分，共20分）
9 .若，，则 ．
10 .计算： = .
11 .如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 .
12 .已知，则 ．
13 .在中，，，，如果a，b满足，那么的形状是 ．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14 .计算：（1）（x+y）（x﹣y）﹣（2x﹣y）（x+3y）
（2）（2a+5）（2a﹣5）﹣4a（a﹣2）；
（3）（3a+2b）（﹣3a+2b）（9a2+4b2）（结果用幂的形式表示）
15 .先化简，再求值：，其中．
16 .用乘法公式简算
（1）199×201； （2）20132﹣2014×2012．
17 .两个两位数的十位上的数字相同，其中一个两位数的个位上的数字是6，另一个两位数的个位上的数字是4，它们的平方差是220，求这两位数..
18 .某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．
已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛，学生会提出两个方案：
方案一：如图1，绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为：
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），面积为：具体数据如图所示．
(1)图2长方形的长是______，宽是______；
(2)试比较与的大小关系．
19 .对于一些较为复杂的问题，可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题．
(1)【简单问题】化简______；
(2)______；
(3)______；
(4)【复杂问题】化简
______；
(5)【总结规律】
观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请你用含有字母的式子表示上述规律．
(6)【方法应用】
观察下列等式：计算，并求出该结果个位上的数字．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.2.1 平方差公式
学习目标
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.
2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.
重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解.
难点：平方差公式的应用.
老师告诉你
1.平方差公式的特征：
左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是左边相同项的平方减去互为相反数的项的平方。
公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的字母a,b可以是单项式，也可以是多项式。
平方差公式可以逆用，即a2-b2=（a+b）(a-b)
知识点拨
知识点1 平方差公式
平方差公式：
语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
图形表示：
特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的特征
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
① 位置变化，xyyxx2y2
② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2
③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4
④ 系数变化，2ab2ab4a2b2
⑤ 换式变化，xyzmxyzm
xy2zm2
x2y2zmzm
x2y2z2zmzmm2
x2y2z22zmm2
⑥ 增项变化，xyzxyz
xy2z2
xyxyz2
x2xyxyy2z2
x22xyy2z2
⑦ 连用公式变化，xyxyx2y2
x2y2x2y2
x4y4
⑧ 逆用公式变化，xyz2xyz2
xyzxyzxyzxyz
2x2y2z
4xy4xz
特别说明：解题过程中注意符号问题、注意用整体思想解决问题。
【新知导学】
例1-1 .下列各式可以利用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+2）（﹣x﹣2） B．（5a+y）（5y﹣a）
C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x+3y）（3y﹣x）
【分析】利用完全公式对A、C进行判断；利用多项式乘多项式对B进行判断；利用平方差公式对D进行判断．
【解答】解：（x+2）（﹣x﹣2）＝﹣（x+2）2＝﹣（x2+4x+4）＝﹣x2﹣4x﹣4；
（5a+y）（5y﹣a）＝25ay﹣5a2+5y2﹣ay＝24ay﹣5a2+5y2；
（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣x2+2xy﹣y2；
（x+3y）（3y﹣x）＝（3y+x）（3y﹣x）＝9y2﹣x2．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
例1-2 .计算： ．
【答案】/
【分析】根据平方差公式即可得．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式．
例1-3 .用平方差公式进行计算：．
【答案】
【分析】将原式转换为，然后利用平方差公式计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了运用平方差公式进行运算，熟练掌握平方差公式是解题关键．
【对应导练】
1.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平方差公式的结构特征进行判断即可．
【详解】解：A. =y2-x2，∴不符合题意；
B. ，∴不符合题意；
C. ∴不符合题意；
D. ，不能用平方差公式进行计算，∴符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
2 .计算：_________．
【答案】##
【分析】利用平方差公式计算，即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
3 .先化简，再求值：．其中，b＝7．
【答案】，6
【分析】先根据整式的混合运算法则与平方差公式进行变形，化简，再代入求值即可．
【详解】解：(8a2b2 4ab3)÷(4ab) (2a b)(2a+b)
=2ab b2 (2a+b)(2a b)
＝2ab b2 4a2+b2
=2ab 4a2，
当a=，b=7时，
原式=2××7 4×（）2
＝7－1
=6．
【点睛】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是掌握整式的运算法则与平方差公式的熟练运用．
4 .利用简便方法计算：20192﹣2018×2020．
【答案】1
【分析】利用平方差公式计算．
【详解】20192﹣2018×2020
＝20192﹣（2019﹣1）（2019+1）
＝20192﹣（20192﹣12）
＝20192﹣20192+1
＝1．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，关键是把2018×2020表示成两个数和与这两个数的差的积的形式．
5 .如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中的阴影部分的面积是，图2中阴影部分，请直接用含，的代数式表示 ， ；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式：
(3)试利用这个公式计算：
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；
（2）根据面积相等可得（a+b）（a-b）=a2-b2；
（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．
（1）
解：s1= ，
s2=，
故答案为：，；
（2）
解：由题意，得，
故答案为：；
（3）
解：原式=
=
=
=
=
=
=264-1+1
=264．
【点睛】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．
知识点2 平方差公式的应用
利用平方差公式简便计算
转化成平方差公式形式，利用公式计算
利用平方差公式化简求值
先利用公式化简，再代入求值
3平方差公式与图形面积
【新知导学】
例2-1 .如果与的乘积为15，那么的值为__．
【答案】4
【分析】根据题意列出等式，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
【详解】解；与的乘积为15，
，
，
即，
解得：（负数舍去），
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方差公式，能求出（m2+n2）2=16是解此题的关键．
例2-2 .已知，则的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
【答案】A
【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．
【详解】∵
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．
例2-3 .乘法公式的探究及应用．
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差形式）．
（2）若将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（如图②），面积是 （写成多项式乘法的形式）．
（3）比较图①、图②中阴影部分的面积，可以得到乘法公式 （用式子表示）．
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题；
①（n+1﹣m）（n+1+m）；
②1003×997．
【答案】（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（4）①n2+2n+1﹣m2；②999991．
【分析】（1）阴影部分的面积等于大小正方形的面积差，用代数式表示大小正方形的面积即可；
（2）拼成的是长为，宽为的长方形，因此面积为；
（3）由（1）（2）可得答案；
（4）应用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：（1）阴影部分的面积等于边长为，与边长为的正方形的面积差，即：，
故答案为：；
（2）拼成的是长为，宽为的长方形，因此面积为，
故答案为：；
（3）由（1）（2）可得：，
故答案为：；
（4）①原式
；
②原式
．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用不同方法表示图形的面积是解决问题的前提，理解拼图前后各部分之间的关系是解决问题的关键．
【对应导练】
1.如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（ ）
A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y]
C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]
【分析】能用平方差公式计算式子的特点是：（1）两个二项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相反数．把x+5看作公式中的a，y看作公式中的b，应用公式求解即可．
【解答】解：（x﹣y+5）（x+y+5）＝[（x+5）﹣y][（x+5）+y]．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平方差公式的应用．注意公式中的相同项a与相反项b的确定是解题的关键．
2 .先化简，再求值：．其中，b＝7．
【答案】，6
【分析】先根据整式的混合运算法则与平方差公式进行变形，化简，再代入求值即可．
【详解】解：(8a2b2 4ab3)÷(4ab) (2a b)(2a+b)
=2ab b2 (2a+b)(2a b)
＝2ab b2 4a2+b2
=2ab 4a2，
当a=，b=7时，
原式=2××7 4×（）2
＝7－1
=6．
【点睛】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是掌握整式的运算法则与平方差公式的熟练运用．
3 .利用简便方法进行计算
（1） （2）
【答案】（1）；（2）1
【分析】（1）先将转化为，再根据乘法分配律进行计算即可；
（2）将变形为，再运用平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）
（2）
【点睛】本题考查了运算定律与简便运算、四则混合运算、平方差公式．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算．
二、题型训练
1.利用平方差公式进行计算
1 .计算：的结果是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了整式的运算，利用平方差公式计算即可，
【详解】解：
．
故答案为：．
2 .先化简，再求值：其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
2.利用数形结合思想验证平方差公式的应用
3 .如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形，这两个图能解释一个等式是 ．
【答案】
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是正确解答的关键．根据图1、图2的面积相等可得答案．
【详解】解：图1的面积为：，
拼成的图2的面积为：，
∴，
故答案为：．
4 .探究活动：
(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式）
(2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题：
①计算：；
②若，，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景；
（1）阴影部分的面积等于边长为a与边长为b的正方形的面积差；
（2）①根据平方差公式、完全平方公式求解即可；
②由题意，根据平方差公式计算求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①
；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
3.利用平方差公式整体代入求值
5 .已知，则 ．
【答案】
【分析】根据平方差公式求解即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，即两数和与这两数差的乘积等于两数平方的差，熟练掌握知识点是解题的关键．
6 .已知|m﹣n|＝1，m+n＝5，则m2﹣n2＝ ．
【分析】先根据|m﹣n|＝1判断出m﹣n的值，再利用平方差公式求值．
【解答】解：∵|m﹣n|＝1，
∴m﹣n＝±1，
∴m2﹣n2＝（m﹣n）（m+n）＝±1×5＝±5．
故答案为±5．
【点评】本题考查绝对值及平方差公式，难度不大，但易错，注意绝对值的双值性．
三、课堂达标
一、单选题：（每小题4分，共32分）
1．计算 的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
= ，
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式，用完全相同的项的平方减去互为相反数的项的平方可得结果.
2．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 可以用平方差公式；
B、 ，可以用平方差公式；
C、 ，可以用平方差公式；
D、 ，不能用平方差公式；
故答案为：D.
【分析】平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；其中a是完全相同项，b是互为相反项，根据这个特征逐一验证即可判断求解.
3．若，则的值是（ ）
A．24 B．16 C．8 D．4
【答案】B
【分析】把利用平方差公式先运算底数，再代入数据计算即可．
【详解】 ，
又 ，
．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，先利用平方差公式计算底数可以使运算更简便．
4．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1 D．（﹣3x+2）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（2x+1）（2x﹣1）=（2x）2﹣1，故C错误．
故选：C．
【分析】根据两数和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，可得答案．
5． （ ）= 4a4-9b4，括号内应填（ ）
A．2a2+3b2 B．2a2-3b2 C．-2a2-3b2 D．-2a2+3b2
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ = 4a4-9b4，
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式求解即可．
6．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，根据题意，利用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出长方形的面积，再化简整理即可．
【详解】解：根据题意，得：
故选：C．
7．若a2﹣b2= ，a+b= ，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣ B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）= ，a+b= ，
∴a﹣b= ÷ = ，
故答案为：B
【分析】利用平方差公式进行拆分，计算出a-b的值。
8 .如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
【答案】C
【分析】本题主要考查正方形的面积，三角形的面积与平方差公式的运用，理解图形中阴影部分面积的计算方法，掌握平方差公式的运用是解题的关键．根据题意，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，可得，从图示可知阴影部分的面积，由此即可求解．
【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴，，
∵大正方形与小正方形的面积之差是48，
∴，
根据图示可得，，
∴，，
∴阴影部分的面积
，
故选：C．
二、填空题：（每小题4分，共20分）
9 .若，，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了平方差公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．先根据平方差公式可得，再将代入计算即可得．
【详解】解：∵，
，
又∵，
，
，
故答案为：2．
10 .计算： = .
【答案】 m2-n2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式= -n2= m2-n2。
故答案为： m2-n2。
【分析】根据平方差公式去括号，再根据积的乘方法则计算乘方即可。
11 .如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 .
【答案】a2-b2=(a+b)(a-b)
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：因为左图阴影部分的面积是由大正方形的面积减去小正方形的面积，即为 ，
右图阴影部分的面积可利用梯形的面积公式可得： .
故答案为： .
【分析】易得左图面积为a2-b2，右图面积为(2b+2a)×(a-b)=(a+b)(a-b)，然后根据两图面积相等即可得到等式.
12 .已知，则 ．
【答案】
【分析】根据平方差公式求解即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，即两数和与这两数差的乘积等于两数平方的差，熟练掌握知识点是解题的关键．
13 .在中，，，，如果a，b满足，那么的形状是 ．
【答案】直角三角形
【分析】由，推出，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【详解】解：，
，
即，
是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14 .计算：（1）（x+y）（x﹣y）﹣（2x﹣y）（x+3y）
（2）（2a+5）（2a﹣5）﹣4a（a﹣2）；
（3）（3a+2b）（﹣3a+2b）（9a2+4b2）（结果用幂的形式表示）
【答案】（1）解：原式=x2﹣y2﹣（2x2+6xy﹣xy﹣3y2）
=x2﹣y2﹣2x2﹣5xy+3y2
=﹣x2﹣5xy+2y2
（2）解：原式＝4a2﹣25﹣4a2+8a
＝8a﹣25；
（3）解：原式=（﹣9a2+4b2）（9a2+4b2）
=16b4﹣81a4．
15 .先化简，再求值：，其中．
【答案】；2
【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入即可求解．
【详解】
当时，
原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．
16 .用乘法公式简算
（1）199×201； （2）20132﹣2014×2012．
【答案】（1）解：原式=（200-1）×（200+1）
=2002-12
=40000-1
=39999；
（2）解：20132﹣（2013+1）×（2013-1）
=20132-20132+1
=1．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式计算求解即可。
17 .两个两位数的十位上的数字相同，其中一个两位数的个位上的数字是6，另一个两位数的个位上的数字是4，它们的平方差是220，求这两位数..
【答案】解： 设这个两个数的十位上的数字是x,则这两个两位数是(10x+6)和(10x+4), 由题意得：(10x+6)2-(10x+4)2=220 解这个方程得：x=5 答：这两个两位数分别是：56和54.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】根据题意列出方程，利用平方差公式将方程化为一元一次方程，解出既得．
18 .某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．
已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛，学生会提出两个方案：
方案一：如图1，绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为：
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），面积为：具体数据如图所示．
(1)图2长方形的长是______，宽是______；
(2)试比较与的大小关系．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式在几何图形中的应用：
（1）根据所给图形的数据进行求解即可；
（2）先根据图形中已知条件，利用正方形和长方形的面积公式求出与，然后再根据与差的符号比较大小即可．
【详解】（1）解：图2长方形的长是，宽是，
故答案为：，；
（2）解：由题意得，，，
∴，
．
19 .对于一些较为复杂的问题，可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题．
(1)【简单问题】化简______；
(2)______；
(3)______；
(4)【复杂问题】化简
______；
(5)【总结规律】
观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请你用含有字母的式子表示上述规律．
(6)【方法应用】
观察下列等式：计算，并求出该结果个位上的数字．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)的个位上的数字为5
【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）（3）根据多项式乘以多项式进行计算即可；
（4）根据（1）（2）（3）得出规律进行解答即可；
（5）结合以上规律进行解答即可；
（6）观察式子得出其个位数字的规律，进而得出答案．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：；
（4）由前三个式子可以推出：
，
故答案为：；
（5）综上所述，乘以则等于，
即；
（6）
因为，
所以的个位上的数字为6，所以的个位上的数字为5．
【点睛】本题考查了平方差公式以及平方差公式的延伸，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及算式的变化规律是解本题的关键．
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.2.1 平方差公式
学习目标
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.
2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.
重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解.
难点：平方差公式的应用.
老师告诉你
1.平方差公式的特征：
左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是左边相同项的平方减去互为相反数的项的平方。
公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的字母a,b可以是单项式，也可以是多项式。
平方差公式可以逆用，即a2-b2=（a+b）(a-b)
知识点拨
知识点1 平方差公式
平方差公式：
语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
图形表示：
特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的特征
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
① 位置变化，xyyxx2y2
② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2
③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4
④ 系数变化，2ab2ab4a2b2
⑤ 换式变化，xyzmxyzm
xy2zm2
x2y2zmzm
x2y2z2zmzmm2
x2y2z22zmm2
⑥ 增项变化，xyzxyz
xy2z2
xyxyz2
x2xyxyy2z2
x22xyy2z2
⑦ 连用公式变化，xyxyx2y2
x2y2x2y2
x4y4
⑧ 逆用公式变化，xyz2xyz2
xyzxyzxyzxyz
2x2y2z
4xy4xz
特别说明：解题过程中注意符号问题、注意用整体思想解决问题。
【新知导学】
例1-1 .下列各式可以利用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+2）（﹣x﹣2） B．（5a+y）（5y﹣a）
C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x+3y）（3y﹣x）
例1-2 .计算： ．
例1-3 .用平方差公式进行计算：．
【对应导练】
1.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2 .计算：_________．
3 .先化简，再求值：．其中，b＝7．
4 .利用简便方法计算：20192﹣2018×2020．
5 .如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中的阴影部分的面积是，图2中阴影部分，请直接用含，的代数式表示 ， ；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式：
(3)试利用这个公式计算：
知识点2 平方差公式的应用
利用平方差公式简便计算
转化成平方差公式形式，利用公式计算
利用平方差公式化简求值
先利用公式化简，再代入求值
3平方差公式与图形面积
【新知导学】
例2-1 .如果与的乘积为15，那么的值为__．
例2-2 .已知，则的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
例2-3 .乘法公式的探究及应用．
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差形式）．
（2）若将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（如图②），面积是 （写成多项式乘法的形式）．
（3）比较图①、图②中阴影部分的面积，可以得到乘法公式 （用式子表示）．
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题；
①（n+1﹣m）（n+1+m）；
②1003×997．
【对应导练】
1.如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（ ）
A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y]
C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]
2 .先化简，再求值：．其中，b＝7．
3 .利用简便方法进行计算
（1） （2）
二、题型训练
1.利用平方差公式进行计算
1 .计算：的结果是 ．
2 .先化简，再求值：其中．
2.利用数形结合思想验证平方差公式的应用
3 .如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形，这两个图能解释一个等式是 ．
4 .探究活动：
(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式）
(2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题：
①计算：；
②若，，求的值．
3.利用平方差公式整体代入求值
5 .已知，则 ．
6 .已知|m﹣n|＝1，m+n＝5，则m2﹣n2＝ ．
三、课堂达标
一、单选题：（每小题4分，共32分）
1．计算 的结果为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则的值是（ ）
A．24 B．16 C．8 D．4
4．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1 D．（﹣3x+2）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4
5． （ ）= 4a4-9b4，括号内应填（ ）
A．2a2+3b2 B．2a2-3b2 C．-2a2-3b2 D．-2a2+3b2
6．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．若a2﹣b2= ，a+b= ，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣ B． C．1 D．2
8 .如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
二、填空题：（每小题4分，共20分）
9 .若，，则 ．
10 .计算： = .
11 .如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 .
12 .已知，则 ．
13 .在中，，，，如果a，b满足，那么的形状是 ．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14 .计算：（1）（x+y）（x﹣y）﹣（2x﹣y）（x+3y）
（2）（2a+5）（2a﹣5）﹣4a（a﹣2）；
（3）（3a+2b）（﹣3a+2b）（9a2+4b2）（结果用幂的形式表示）
15 .先化简，再求值：，其中．
16 .用乘法公式简算
（1）199×201； （2）20132﹣2014×2012．
17 .两个两位数的十位上的数字相同，其中一个两位数的个位上的数字是6，另一个两位数的个位上的数字是4，它们的平方差是220，求这两位数..
18 .某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．
已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛，学生会提出两个方案：
方案一：如图1，绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为：
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），面积为：具体数据如图所示．
(1)图2长方形的长是______，宽是______；
(2)试比较与的大小关系．
19 .对于一些较为复杂的问题，可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题．
(1)【简单问题】化简______；
(2)______；
(3)______；
(4)【复杂问题】化简
______；
(5)【总结规律】
观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请你用含有字母的式子表示上述规律．
(6)【方法应用】
观察下列等式：计算，并求出该结果个位上的数字．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.2.1 平方差公式
学习目标
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.
2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.
重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解.
难点：平方差公式的应用.
老师告诉你
1.平方差公式的特征：
左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是左边相同项的平方减去互为相反数的项的平方。
公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的字母a,b可以是单项式，也可以是多项式。
平方差公式可以逆用，即a2-b2=（a+b）(a-b)
知识点拨
知识点1 平方差公式
平方差公式：
语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
图形表示：
特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的特征
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
① 位置变化，xyyxx2y2
② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2
③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4
④ 系数变化，2ab2ab4a2b2
⑤ 换式变化，xyzmxyzm
xy2zm2
x2y2zmzm
x2y2z2zmzmm2
x2y2z22zmm2
⑥ 增项变化，xyzxyz
xy2z2
xyxyz2
x2xyxyy2z2
x22xyy2z2
⑦ 连用公式变化，xyxyx2y2
x2y2x2y2
x4y4
⑧ 逆用公式变化，xyz2xyz2
xyzxyzxyzxyz
2x2y2z
4xy4xz
特别说明：解题过程中注意符号问题、注意用整体思想解决问题。
【新知导学】
例1-1 .下列各式可以利用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+2）（﹣x﹣2） B．（5a+y）（5y﹣a）
C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x+3y）（3y﹣x）
【分析】利用完全公式对A、C进行判断；利用多项式乘多项式对B进行判断；利用平方差公式对D进行判断．
【解答】解：（x+2）（﹣x﹣2）＝﹣（x+2）2＝﹣（x2+4x+4）＝﹣x2﹣4x﹣4；
（5a+y）（5y﹣a）＝25ay﹣5a2+5y2﹣ay＝24ay﹣5a2+5y2；
（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣x2+2xy﹣y2；
（x+3y）（3y﹣x）＝（3y+x）（3y﹣x）＝9y2﹣x2．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
例1-2 .计算： ．
【答案】/
【分析】根据平方差公式即可得．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式．
例1-3 .用平方差公式进行计算：．
【答案】
【分析】将原式转换为，然后利用平方差公式计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了运用平方差公式进行运算，熟练掌握平方差公式是解题关键．
【对应导练】
1.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平方差公式的结构特征进行判断即可．
【详解】解：A. =y2-x2，∴不符合题意；
B. ，∴不符合题意；
C. ∴不符合题意；
D. ，不能用平方差公式进行计算，∴符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
2 .计算：_________．
【答案】##
【分析】利用平方差公式计算，即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
3 .先化简，再求值：．其中，b＝7．
【答案】，6
【分析】先根据整式的混合运算法则与平方差公式进行变形，化简，再代入求值即可．
【详解】解：(8a2b2 4ab3)÷(4ab) (2a b)(2a+b)
=2ab b2 (2a+b)(2a b)
＝2ab b2 4a2+b2
=2ab 4a2，
当a=，b=7时，
原式=2××7 4×（）2
＝7－1
=6．
【点睛】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是掌握整式的运算法则与平方差公式的熟练运用．
4 .利用简便方法计算：20192﹣2018×2020．
【答案】1
【分析】利用平方差公式计算．
【详解】20192﹣2018×2020
＝20192﹣（2019﹣1）（2019+1）
＝20192﹣（20192﹣12）
＝20192﹣20192+1
＝1．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，关键是把2018×2020表示成两个数和与这两个数的差的积的形式．
5 .如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中的阴影部分的面积是，图2中阴影部分，请直接用含，的代数式表示 ， ；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式：
(3)试利用这个公式计算：
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；
（2）根据面积相等可得（a+b）（a-b）=a2-b2；
（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．
（1）
解：s1= ，
s2=，
故答案为：，；
（2）
解：由题意，得，
故答案为：；
（3）
解：原式=
=
=
=
=
=
=264-1+1
=264．
【点睛】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．
知识点2 平方差公式的应用
利用平方差公式简便计算
转化成平方差公式形式，利用公式计算
利用平方差公式化简求值
先利用公式化简，再代入求值
3平方差公式与图形面积
【新知导学】
例2-1 .如果与的乘积为15，那么的值为__．
【答案】4
【分析】根据题意列出等式，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
【详解】解；与的乘积为15，
，
，
即，
解得：（负数舍去），
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方差公式，能求出（m2+n2）2=16是解此题的关键．
例2-2 .已知，则的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
【答案】A
【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．
【详解】∵
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．
例2-3 .乘法公式的探究及应用．
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差形式）．
（2）若将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（如图②），面积是 （写成多项式乘法的形式）．
（3）比较图①、图②中阴影部分的面积，可以得到乘法公式 （用式子表示）．
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题；
①（n+1﹣m）（n+1+m）；
②1003×997．
【答案】（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（4）①n2+2n+1﹣m2；②999991．
【分析】（1）阴影部分的面积等于大小正方形的面积差，用代数式表示大小正方形的面积即可；
（2）拼成的是长为，宽为的长方形，因此面积为；
（3）由（1）（2）可得答案；
（4）应用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：（1）阴影部分的面积等于边长为，与边长为的正方形的面积差，即：，
故答案为：；
（2）拼成的是长为，宽为的长方形，因此面积为，
故答案为：；
（3）由（1）（2）可得：，
故答案为：；
（4）①原式
；
②原式
．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用不同方法表示图形的面积是解决问题的前提，理解拼图前后各部分之间的关系是解决问题的关键．
【对应导练】
1.如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（ ）
A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y]
C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]
【分析】能用平方差公式计算式子的特点是：（1）两个二项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相反数．把x+5看作公式中的a，y看作公式中的b，应用公式求解即可．
【解答】解：（x﹣y+5）（x+y+5）＝[（x+5）﹣y][（x+5）+y]．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平方差公式的应用．注意公式中的相同项a与相反项b的确定是解题的关键．
2 .先化简，再求值：．其中，b＝7．
【答案】，6
【分析】先根据整式的混合运算法则与平方差公式进行变形，化简，再代入求值即可．
【详解】解：(8a2b2 4ab3)÷(4ab) (2a b)(2a+b)
=2ab b2 (2a+b)(2a b)
＝2ab b2 4a2+b2
=2ab 4a2，
当a=，b=7时，
原式=2××7 4×（）2
＝7－1
=6．
【点睛】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是掌握整式的运算法则与平方差公式的熟练运用．
3 .利用简便方法进行计算
（1） （2）
【答案】（1）；（2）1
【分析】（1）先将转化为，再根据乘法分配律进行计算即可；
（2）将变形为，再运用平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）
（2）
【点睛】本题考查了运算定律与简便运算、四则混合运算、平方差公式．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算．
二、题型训练
1.利用平方差公式进行计算
1 .计算：的结果是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了整式的运算，利用平方差公式计算即可，
【详解】解：
．
故答案为：．
2 .先化简，再求值：其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
2.利用数形结合思想验证平方差公式的应用
3 .如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形，这两个图能解释一个等式是 ．
【答案】
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是正确解答的关键．根据图1、图2的面积相等可得答案．
【详解】解：图1的面积为：，
拼成的图2的面积为：，
∴，
故答案为：．
4 .探究活动：
(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式）
(2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题：
①计算：；
②若，，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景；
（1）阴影部分的面积等于边长为a与边长为b的正方形的面积差；
（2）①根据平方差公式、完全平方公式求解即可；
②由题意，根据平方差公式计算求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①
；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
3.利用平方差公式整体代入求值
5 .已知，则 ．
【答案】
【分析】根据平方差公式求解即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，即两数和与这两数差的乘积等于两数平方的差，熟练掌握知识点是解题的关键．
6 .已知|m﹣n|＝1，m+n＝5，则m2﹣n2＝ ．
【分析】先根据|m﹣n|＝1判断出m﹣n的值，再利用平方差公式求值．
【解答】解：∵|m﹣n|＝1，
∴m﹣n＝±1，
∴m2﹣n2＝（m﹣n）（m+n）＝±1×5＝±5．
故答案为±5．
【点评】本题考查绝对值及平方差公式，难度不大，但易错，注意绝对值的双值性．
三、课堂达标
一、单选题：（每小题4分，共32分）
1．计算 的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
= ，
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式，用完全相同的项的平方减去互为相反数的项的平方可得结果.
2．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 可以用平方差公式；
B、 ，可以用平方差公式；
C、 ，可以用平方差公式；
D、 ，不能用平方差公式；
故答案为：D.
【分析】平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；其中a是完全相同项，b是互为相反项，根据这个特征逐一验证即可判断求解.
3．若，则的值是（ ）
A．24 B．16 C．8 D．4
【答案】B
【分析】把利用平方差公式先运算底数，再代入数据计算即可．
【详解】 ，
又 ，
．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，先利用平方差公式计算底数可以使运算更简便．
4．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1 D．（﹣3x+2）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（2x+1）（2x﹣1）=（2x）2﹣1，故C错误．
故选：C．
【分析】根据两数和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，可得答案．
5． （ ）= 4a4-9b4，括号内应填（ ）
A．2a2+3b2 B．2a2-3b2 C．-2a2-3b2 D．-2a2+3b2
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ = 4a4-9b4，
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式求解即可．
6．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，根据题意，利用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出长方形的面积，再化简整理即可．
【详解】解：根据题意，得：
故选：C．
7．若a2﹣b2= ，a+b= ，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣ B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）= ，a+b= ，
∴a﹣b= ÷ = ，
故答案为：B
【分析】利用平方差公式进行拆分，计算出a-b的值。
8 .如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
【答案】C
【分析】本题主要考查正方形的面积，三角形的面积与平方差公式的运用，理解图形中阴影部分面积的计算方法，掌握平方差公式的运用是解题的关键．根据题意，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，可得，从图示可知阴影部分的面积，由此即可求解．
【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴，，
∵大正方形与小正方形的面积之差是48，
∴，
根据图示可得，，
∴，，
∴阴影部分的面积
，
故选：C．
二、填空题：（每小题4分，共20分）
9 .若，，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了平方差公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．先根据平方差公式可得，再将代入计算即可得．
【详解】解：∵，
，
又∵，
，
，
故答案为：2．
10 .计算： = .
【答案】 m2-n2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式= -n2= m2-n2。
故答案为： m2-n2。
【分析】根据平方差公式去括号，再根据积的乘方法则计算乘方即可。
11 .如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 .
【答案】a2-b2=(a+b)(a-b)
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：因为左图阴影部分的面积是由大正方形的面积减去小正方形的面积，即为 ，
右图阴影部分的面积可利用梯形的面积公式可得： .
故答案为： .
【分析】易得左图面积为a2-b2，右图面积为(2b+2a)×(a-b)=(a+b)(a-b)，然后根据两图面积相等即可得到等式.
12 .已知，则 ．
【答案】
【分析】根据平方差公式求解即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，即两数和与这两数差的乘积等于两数平方的差，熟练掌握知识点是解题的关键．
13 .在中，，，，如果a，b满足，那么的形状是 ．
【答案】直角三角形
【分析】由，推出，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【详解】解：，
，
即，
是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14 .计算：（1）（x+y）（x﹣y）﹣（2x﹣y）（x+3y）
（2）（2a+5）（2a﹣5）﹣4a（a﹣2）；
（3）（3a+2b）（﹣3a+2b）（9a2+4b2）（结果用幂的形式表示）
【答案】（1）解：原式=x2﹣y2﹣（2x2+6xy﹣xy﹣3y2）
=x2﹣y2﹣2x2﹣5xy+3y2
=﹣x2﹣5xy+2y2
（2）解：原式＝4a2﹣25﹣4a2+8a
＝8a﹣25；
（3）解：原式=（﹣9a2+4b2）（9a2+4b2）
=16b4﹣81a4．
15 .先化简，再求值：，其中．
【答案】；2
【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入即可求解．
【详解】
当时，
原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．
16 .用乘法公式简算
（1）199×201； （2）20132﹣2014×2012．
【答案】（1）解：原式=（200-1）×（200+1）
=2002-12
=40000-1
=39999；
（2）解：20132﹣（2013+1）×（2013-1）
=20132-20132+1
=1．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式计算求解即可。
17 .两个两位数的十位上的数字相同，其中一个两位数的个位上的数字是6，另一个两位数的个位上的数字是4，它们的平方差是220，求这两位数..
【答案】解： 设这个两个数的十位上的数字是x,则这两个两位数是(10x+6)和(10x+4), 由题意得：(10x+6)2-(10x+4)2=220 解这个方程得：x=5 答：这两个两位数分别是：56和54.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】根据题意列出方程，利用平方差公式将方程化为一元一次方程，解出既得．
18 .某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．
已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛，学生会提出两个方案：
方案一：如图1，绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为：
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），面积为：具体数据如图所示．
(1)图2长方形的长是______，宽是______；
(2)试比较与的大小关系．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式在几何图形中的应用：
（1）根据所给图形的数据进行求解即可；
（2）先根据图形中已知条件，利用正方形和长方形的面积公式求出与，然后再根据与差的符号比较大小即可．
【详解】（1）解：图2长方形的长是，宽是，
故答案为：，；
（2）解：由题意得，，，
∴，
．
19 .对于一些较为复杂的问题，可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题．
(1)【简单问题】化简______；
(2)______；
(3)______；
(4)【复杂问题】化简
______；
(5)【总结规律】
观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请你用含有字母的式子表示上述规律．
(6)【方法应用】
观察下列等式：计算，并求出该结果个位上的数字．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)的个位上的数字为5
【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）（3）根据多项式乘以多项式进行计算即可；
（4）根据（1）（2）（3）得出规律进行解答即可；
（5）结合以上规律进行解答即可；
（6）观察式子得出其个位数字的规律，进而得出答案．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：；
（4）由前三个式子可以推出：
，
故答案为：；
（5）综上所述，乘以则等于，
即；
（6）
因为，
所以的个位上的数字为6，所以的个位上的数字为5．
【点睛】本题考查了平方差公式以及平方差公式的延伸，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及算式的变化规律是解本题的关键．
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