人教版八年级数学上名师点拨与训练第14章整式的乘法与因式分解14.3.1 因式分解--提公因式法
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| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨与训练第14章整式的乘法与因式分解14.3.1 因式分解--提公因式法 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-26 22:13:15 | ||
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.3.1 因式分解--提公因式法
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
重点：用提公因式法分解因式.
难点：如何确定多项式中的公因式以及提取公因式注意事项.
老师告诉你
公因式的确定方法：
1.系数：取各项系数的最大公约数；2.字母（或多项式）：取各项都含有的字母（或多项式）；3.指数：取相同字母（或多项式）的最低次幂的指数，公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是单项式。
分解因式时，第一项的系数是负数时，可先提取“-”号，当公因式与多项式的某一项相同时，提公因式后剩余项为1，不要漏掉。
知识点拨
知识点1 因式分解概念
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
特别说明：
（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
【新知导学】
例1-1．下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（ ）
A． B．
C． D．
例1-2．有两个式子①；②，对于从左到右的变形的判断，正确的是（ ）
A．①是整式乘法 B．②是因式分解
C．①、②均是因式分解 D．①、②均不是因式分解
【对应导练】
1．根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．
2．下列各式从左到右是因式分解的是 ．
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥．
知识点2 公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
特别说明：
（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的
【新知导学】
例2-1．整式，，下列结论：
结论一：．
结论二：，的公因式为．
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确
例2-2．下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【对应导练】
1．对多项式进行因式分解，第一步需提取公因式，为使后续能迅速判断能否继续再分解，这个公因式应该是 °．
2．（1）多项式的公因式是 ；
（2）多项式的公因式是 ；
（3）多项式的公因式是 ；
（4）多项式的公因式是 ．
知识点3 提公因式法因式分解
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
特别说明：
（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误
【新知导学】
例3-1．把分解因式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
例3-2．若M是一个单项式，且，则
例3-3 .因式分解：
（1）
（2）
【对应导练】
1．把提公因式后，其中一个因式是（a－b），则另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则E是（ ）
A． B． C． D．
3．多项式“”分解因式的结果为，则原多项式中“”处所缺的项为 ．
4．分解因式：
5．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
二、题型训练
1.利用提公因式法因式分解
1．用提公因式法将下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
2．因式分解：．
2.利用提公因式法计算
3．利用因式分解计算：．
4．利用因式分解计算：
(1)
(2)
3.利用提公因式法求值
5．已知，，求代数式的值．
6．已知，用因式分解法求的值．
7．已知，，求的值．
4 .利用因式分解求参数
8．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式是，得
则
解得
∴另一个因式是的值是
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值；
(2)若二次三项式有一个因式是，求a的值．
9．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，
则，
．
解得：，
∴另一个因式为，的值为，
问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为________，得：=________，
则
．
解得：=________，=________．
另一个因式为________，的值为________．
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
10．已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则代数式的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．把多项式分解因式，结果是（ ）
A． B． C． D．
4．若、、是的三条边，且，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．三条边都不相等的三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
5．下列多项式中，没有公因式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
6．若，则的值为（ ）
A．9 B．16 C．20 D．25
7．若可以分解为，那么的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．因式分解： ．
10．计算 ．
11．已知，则 ．
12．多项式的公因式是 ．
13．分解因式的结果为 ．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
15．分解因式：
(1)
(2)
16．解方程．
17．先化简，再求值：，其中，．
18．已知，．试求：（1）的值；（2）的值．
19．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为，则，即，∴，解得．故另一个因式为，m的值为-21．
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，则______；
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.3.1 因式分解--提公因式法
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
重点：用提公因式法分解因式.
难点：如何确定多项式中的公因式以及提取公因式注意事项.
老师告诉你
公因式的确定方法：
1.系数：取各项系数的最大公约数；2.字母（或多项式）：取各项都含有的字母（或多项式）；3.指数：取相同字母（或多项式）的最低次幂的指数，公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是单项式。
分解因式时，第一项的系数是负数时，可先提取“-”号，当公因式与多项式的某一项相同时，提公因式后剩余项为1，不要漏掉。
知识点拨
知识点1 因式分解概念
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
特别说明：
（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
【新知导学】
例1-1．下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，理解分解因式概念是解题的关键．
【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
B、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
C、是因式分解，符合题意；
D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
故选：C．
例1-2．有两个式子①；②，对于从左到右的变形的判断，正确的是（ ）
A．①是整式乘法 B．②是因式分解
C．①、②均是因式分解 D．①、②均不是因式分解
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义和整式乘法的定义进行逐一判断即可：把一个多项式变形为几个整式积的形式叫做因式分解．
【详解】解：观察可知式子和都不是因式分解，且式子也不是整式乘法，
故选D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟知相关定义是解题的关键．
【对应导练】
1．根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．
【答案】
【分析】根据图形的面积大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式．
【详解】解：图形的面积，
又图形的面积，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键．
2．下列各式从左到右是因式分解的是 ．
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥．
【答案】③④⑥
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．
【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意；
②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
③是因式分解，故符合题意；
④是因式分解，故符合题意；
⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意；
⑥是因式分解，故符合题意；
故答案为：③④⑥．
【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
知识点2 公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
特别说明：
（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的
【新知导学】
例2-1．整式，，下列结论：
结论一：．
结论二：，的公因式为．
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确
【答案】A
【分析】本题考查了单项式乘以多项式，公因式的定义；根据单项式乘以多项式，公因式的定义，判断即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，故结论一正确；
∵，
∴，的公因式为，故结论二不正确；
故选：A．
例2-2．下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式是解题的关键．
根据公因式的概念逐一判断选项即可．
【详解】A、和的公因式是，不符合题意；
B、和，没有公因式，符合题意；
C、和的公因式是，不符合题意；
D、和的公因式是5，不符合题意；
故选B．
【对应导练】
1．对多项式进行因式分解，第一步需提取公因式，为使后续能迅速判断能否继续再分解，这个公因式应该是 °．
【答案】
【分析】根据公因式是每项都含有的因式，可得答案．
【详解】解：的公因式是：
故答案为：
【点睛】本题考查了公因式，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
2．（1）多项式的公因式是 ；
（2）多项式的公因式是 ；
（3）多项式的公因式是 ；
（4）多项式的公因式是 ．
【答案】 3 4m
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，它们的乘积就是公因式．
【详解】解：（1）多项式的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3；
（2）多项式的公因式的系数是4、16、8的最大公约数4，字母部分是m，所以公因式为4m；
（3）多项式的公因式是（），为一个多项式因式；
（4）多项式可变形，其公因式是，
故答案为：3；4m；；．
【点睛】本题主要考查了公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键．确定公因式一定要从系数、字母及字母的指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．
知识点3 提公因式法因式分解
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
特别说明：
（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误
【新知导学】
例3-1．把分解因式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用提取公因式法分解即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，注意提取公因式时要一次提完．
例3-2．若M是一个单项式，且，则
【答案】
【分析】通过因式分解，，求得．
【详解】解：∵
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解与整式乘法；通过因式分解将多项式化为两个代数式的积的形式是解题的关键．
例3-3 .因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了因式分解，
（1）利用提公因式法即可求解；
（2）利用提公因式法即可求解．
【详解】解：
（1）原式
（2）原式
【对应导练】
1．把提公因式后，其中一个因式是（a－b），则另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先提取公因式 把原式分解因式，从而可以得到另一个因式．
【详解】解：
另一个因式是5-m．
故选B
【点睛】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握“利用提公因式的方法分解因式”是解本题的关键．
2．若，则E是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察等式的右边，提取的是，故可把变成，即左边＝．
【详解】解：，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了利用提取公因式法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握提公因式法．
3．多项式“”分解因式的结果为，则原多项式中“”处所缺的项为 ．
【答案】
【分析】将进行计算，再与前面多项式进行比较即可得答案．
【详解】解：，
所以“” 处所缺的项为，
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解及整式的运算，解决本题的关键是熟练掌握提公因式法进行因式分解．
4．分解因式：
【答案】
【分析】先把原式化为：，再提取公因式分解因式即可.
【详解】解：
【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，掌握“公因式的确定，特别是互为相反数的两个因式的互相转换”是解题的关键.
5．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】前3个小题直接提取公因式即可；
后3个小题，先分别变形，变形后可直接提取公因式．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，当多项式中有互为相反数的因式时，可通过变形，使多项式有公因式．一般常见的两种变形为：及．
二、题型训练
1.利用提公因式法因式分解
1．用提公因式法将下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键；
（1）提公因式法提取分解因式即可求解；
（2）提公因式法提取分解因式即可求解；
【详解】（1）解：
（2）解：
．
2．因式分解：．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
利用提公因式法解答，即可求解．
【详解】解：
，
，
，
．
2.利用提公因式法计算
3．利用因式分解计算：．
【答案】．
【分析】利用提公因式法因式分解求解即可．
【详解】解
．
4．利用因式分解计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考核因式分解法简化有理数混合运算的题目，解题的关键是掌握因式分解的方法．
（）利用提取公因式法提取可简化计算．
（）利用完全平方公式进行因式分解计算．
【详解】（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
．
3.利用提公因式法求值
5．已知，，求代数式的值．
【答案】21
【分析】本题考查了因式分解、代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．先利用提取公因式法将分解因式，再把，代入计算即可得．
【详解】解：∵，，
．
6．已知，用因式分解法求的值．
【答案】
【分析】此题考查的是因式分解和整体代入法求值，先将原式提公因式进行因式分解，最后整体代入求解．
【详解】解：
∵，
∴原式
7．已知，，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，因式分解的应用．首先将原式变形，再将，，代入可得结果．能够正确运用整体代入法是解答此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴
．
4 .利用因式分解求参数
8．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式是，得
则
解得
∴另一个因式是的值是
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值；
(2)若二次三项式有一个因式是，求a的值．
【答案】(1)另一个因式为，的值为9
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系：
（1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论；
（2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论．
【详解】（1）解：设另一个因式为，
∴，
∴，
∴
，
∴ ，
另一个因式为，的值为9；
（2）解：设另一个因式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴。
9．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，
则，
．
解得：，
∴另一个因式为，的值为，
问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为________，得：=________，
则
．
解得：=________，=________．
另一个因式为________，的值为________．
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
【答案】(1)；；；；；
(2)另一个因式为，的值为
【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键．
（1）设另一个因式是，则，再建立方程组解题即可；
（2）设另一个因式是，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、p的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】（1）解：设另一个因式为，得：，
则
．
解得：，．
另一个因式为，的值为20，
故答案为：；；；；；；
（2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则
，
则，
解得，
∴另一个因式是，的值为．
10．已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，将进行因式分解后，求出的值，代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
又可因式分解成，
∴，
∴．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解的识别，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【详解】解：中等号右边不是积的形式，故A不符合题意；
是乘法运算，故B不符合题意；
是乘法运算，故C不符合题意；
符合因式分解的定义，故D符合题意；
故选D．
2．已知，则代数式的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，将变形为，再代入到进行计算即可得．
【详解】解：
∴
∴
则，
故选：B．
3．把多项式分解因式，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了提公因式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键．
直接提取公因式分解因式即可．
【详解】解：，
故选：D．
4．若、、是的三条边，且，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．三条边都不相等的三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解及三角形的三边关系，将等式变形为，再将等式左边因式分解，利用三角形的三边关系即可得到的数量关系．
【详解】解：，
，
对等式的左边，进行因式分解得，
根据三角形的三边关系可得：，
，即，
是等腰三角形，
故选：C．
5．下列多项式中，没有公因式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】本题考查了公因式，掌握公因式是多项式中每项都有的因式是解题关键．根据公因式的定义可得答案．
【详解】解：A、和有公因式，不符合题意；
B、和没有公因式，符合题意；
C、和有公因式，不符合题意；
D、和有公因式，不符合题意；
故选：B．
6．若，则的值为（ ）
A．9 B．16 C．20 D．25
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，将变形为，再将整体代入计算即可．
【详解】解：，
∴，
故选：C．
7．若可以分解为，那么的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：，
，，
，，
，
故选：B．
8．下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【详解】解：A．右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B．右边不是整式积的形式，不合因式分解的定义，故本选项错误；
C．，是因式分解，故本选项正确；
D．是单项式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项错误．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，直接提取公因式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．计算 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先把原式变形为，再去括号并计算求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
11．已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据已知条件，先通过因式分解将式子变形，然后将进行整体代入，再求解，解题的关键是将已知条件整体代入变形的式子中，从而求解．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
12．多项式的公因式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了公因式．熟练掌握公因式的定义是解题的关键．根据公因式的定义作答即可．
【详解】解：多项式的公因式是，
故答案为：．
13．分解因式的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分解因式，能够熟练掌握提公因式法是解题的关键．
将原式变形为，然后提取公因式即可解答．
【详解】
；
故答案为：．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【答案】（1）从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4）是因式分解．
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可．
【详解】解：（1），从左到右不是因式分解，是整式乘法；
（2），是因式分解；
（3），不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；
（4），是因式分解．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础概念题型，熟知因式分解的定义是关键．
15．分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分解因式；
（1）直接提公因式分解因式即可；
（2）直接提公因式分解因式即可．
【详解】（1）；
（2）．
16．解方程．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键，提公因式、去括号，移项，合并同类项即可．
【详解】解：，
提公因式：得
去括号：
合并同类项，得
系数化为1，得．
17．先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【分析】本题考查整式的混合运算及因式分解的应用，熟知乘法公式、整式的四则运算法则和因式分解的方法是正确解决本题的关键．
按整式运算法则或先运用因式分解化简再代入计算即可．
【详解】解：
化简方法一：
化简方法二：
当，时，
原式．
18．已知，．试求：（1）的值；（2）的值．
【答案】（1）±5；（2）222.
【分析】（1）利用完全平方公式将 变形，将已知等式代入计算求出的值，再开方即可求出值；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）
∴
（2），
原式
故答案为（1）±5；（2）222.
【点睛】本题考查完全平方公式，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
19．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为，则，即，∴，解得．故另一个因式为，m的值为-21．
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，则______；
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
【答案】(1)40
(2)另一个因式为，k的值为20
【分析】本题考查了因式分解的方法．解题关键是对题中所给解题思路的理解．
（1）设另一个因式为，可得，再进一步解题即可；
（2）设另一个因式为，可得，再进一步解答即可；
【详解】（1）解：设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
∴另一个因式为：，的值为40．
（2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式为，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴另一个因式为，k的值为．
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.3.1 因式分解--提公因式法
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
重点：用提公因式法分解因式.
难点：如何确定多项式中的公因式以及提取公因式注意事项.
老师告诉你
公因式的确定方法：
1.系数：取各项系数的最大公约数；2.字母（或多项式）：取各项都含有的字母（或多项式）；3.指数：取相同字母（或多项式）的最低次幂的指数，公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是单项式。
分解因式时，第一项的系数是负数时，可先提取“-”号，当公因式与多项式的某一项相同时，提公因式后剩余项为1，不要漏掉。
知识点拨
知识点1 因式分解概念
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
特别说明：
（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
【新知导学】
例1-1．下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（ ）
A． B．
C． D．
例1-2．有两个式子①；②，对于从左到右的变形的判断，正确的是（ ）
A．①是整式乘法 B．②是因式分解
C．①、②均是因式分解 D．①、②均不是因式分解
【对应导练】
1．根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．
2．下列各式从左到右是因式分解的是 ．
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥．
知识点2 公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
特别说明：
（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的
【新知导学】
例2-1．整式，，下列结论：
结论一：．
结论二：，的公因式为．
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确
例2-2．下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【对应导练】
1．对多项式进行因式分解，第一步需提取公因式，为使后续能迅速判断能否继续再分解，这个公因式应该是 °．
2．（1）多项式的公因式是 ；
（2）多项式的公因式是 ；
（3）多项式的公因式是 ；
（4）多项式的公因式是 ．
知识点3 提公因式法因式分解
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
特别说明：
（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误
【新知导学】
例3-1．把分解因式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
例3-2．若M是一个单项式，且，则
例3-3 .因式分解：
（1）
（2）
【对应导练】
1．把提公因式后，其中一个因式是（a－b），则另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则E是（ ）
A． B． C． D．
3．多项式“”分解因式的结果为，则原多项式中“”处所缺的项为 ．
4．分解因式：
5．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
二、题型训练
1.利用提公因式法因式分解
1．用提公因式法将下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
2．因式分解：．
2.利用提公因式法计算
3．利用因式分解计算：．
4．利用因式分解计算：
(1)
(2)
3.利用提公因式法求值
5．已知，，求代数式的值．
6．已知，用因式分解法求的值．
7．已知，，求的值．
4 .利用因式分解求参数
8．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式是，得
则
解得
∴另一个因式是的值是
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值；
(2)若二次三项式有一个因式是，求a的值．
9．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，
则，
．
解得：，
∴另一个因式为，的值为，
问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为________，得：=________，
则
．
解得：=________，=________．
另一个因式为________，的值为________．
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
10．已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则代数式的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．把多项式分解因式，结果是（ ）
A． B． C． D．
4．若、、是的三条边，且，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．三条边都不相等的三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
5．下列多项式中，没有公因式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
6．若，则的值为（ ）
A．9 B．16 C．20 D．25
7．若可以分解为，那么的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．因式分解： ．
10．计算 ．
11．已知，则 ．
12．多项式的公因式是 ．
13．分解因式的结果为 ．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
15．分解因式：
(1)
(2)
16．解方程．
17．先化简，再求值：，其中，．
18．已知，．试求：（1）的值；（2）的值．
19．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为，则，即，∴，解得．故另一个因式为，m的值为-21．
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，则______；
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.3.1 因式分解--提公因式法
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
重点：用提公因式法分解因式.
难点：如何确定多项式中的公因式以及提取公因式注意事项.
老师告诉你
公因式的确定方法：
1.系数：取各项系数的最大公约数；2.字母（或多项式）：取各项都含有的字母（或多项式）；3.指数：取相同字母（或多项式）的最低次幂的指数，公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是单项式。
分解因式时，第一项的系数是负数时，可先提取“-”号，当公因式与多项式的某一项相同时，提公因式后剩余项为1，不要漏掉。
知识点拨
知识点1 因式分解概念
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
特别说明：
（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
【新知导学】
例1-1．下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，理解分解因式概念是解题的关键．
【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
B、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
C、是因式分解，符合题意；
D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
故选：C．
例1-2．有两个式子①；②，对于从左到右的变形的判断，正确的是（ ）
A．①是整式乘法 B．②是因式分解
C．①、②均是因式分解 D．①、②均不是因式分解
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义和整式乘法的定义进行逐一判断即可：把一个多项式变形为几个整式积的形式叫做因式分解．
【详解】解：观察可知式子和都不是因式分解，且式子也不是整式乘法，
故选D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟知相关定义是解题的关键．
【对应导练】
1．根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．
【答案】
【分析】根据图形的面积大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式．
【详解】解：图形的面积，
又图形的面积，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键．
2．下列各式从左到右是因式分解的是 ．
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥．
【答案】③④⑥
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．
【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意；
②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
③是因式分解，故符合题意；
④是因式分解，故符合题意；
⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意；
⑥是因式分解，故符合题意；
故答案为：③④⑥．
【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
知识点2 公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
特别说明：
（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的
【新知导学】
例2-1．整式，，下列结论：
结论一：．
结论二：，的公因式为．
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确
【答案】A
【分析】本题考查了单项式乘以多项式，公因式的定义；根据单项式乘以多项式，公因式的定义，判断即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，故结论一正确；
∵，
∴，的公因式为，故结论二不正确；
故选：A．
例2-2．下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式是解题的关键．
根据公因式的概念逐一判断选项即可．
【详解】A、和的公因式是，不符合题意；
B、和，没有公因式，符合题意；
C、和的公因式是，不符合题意；
D、和的公因式是5，不符合题意；
故选B．
【对应导练】
1．对多项式进行因式分解，第一步需提取公因式，为使后续能迅速判断能否继续再分解，这个公因式应该是 °．
【答案】
【分析】根据公因式是每项都含有的因式，可得答案．
【详解】解：的公因式是：
故答案为：
【点睛】本题考查了公因式，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
2．（1）多项式的公因式是 ；
（2）多项式的公因式是 ；
（3）多项式的公因式是 ；
（4）多项式的公因式是 ．
【答案】 3 4m
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，它们的乘积就是公因式．
【详解】解：（1）多项式的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3；
（2）多项式的公因式的系数是4、16、8的最大公约数4，字母部分是m，所以公因式为4m；
（3）多项式的公因式是（），为一个多项式因式；
（4）多项式可变形，其公因式是，
故答案为：3；4m；；．
【点睛】本题主要考查了公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键．确定公因式一定要从系数、字母及字母的指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．
知识点3 提公因式法因式分解
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
特别说明：
（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误
【新知导学】
例3-1．把分解因式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用提取公因式法分解即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，注意提取公因式时要一次提完．
例3-2．若M是一个单项式，且，则
【答案】
【分析】通过因式分解，，求得．
【详解】解：∵
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解与整式乘法；通过因式分解将多项式化为两个代数式的积的形式是解题的关键．
例3-3 .因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了因式分解，
（1）利用提公因式法即可求解；
（2）利用提公因式法即可求解．
【详解】解：
（1）原式
（2）原式
【对应导练】
1．把提公因式后，其中一个因式是（a－b），则另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先提取公因式 把原式分解因式，从而可以得到另一个因式．
【详解】解：
另一个因式是5-m．
故选B
【点睛】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握“利用提公因式的方法分解因式”是解本题的关键．
2．若，则E是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察等式的右边，提取的是，故可把变成，即左边＝．
【详解】解：，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了利用提取公因式法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握提公因式法．
3．多项式“”分解因式的结果为，则原多项式中“”处所缺的项为 ．
【答案】
【分析】将进行计算，再与前面多项式进行比较即可得答案．
【详解】解：，
所以“” 处所缺的项为，
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解及整式的运算，解决本题的关键是熟练掌握提公因式法进行因式分解．
4．分解因式：
【答案】
【分析】先把原式化为：，再提取公因式分解因式即可.
【详解】解：
【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，掌握“公因式的确定，特别是互为相反数的两个因式的互相转换”是解题的关键.
5．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】前3个小题直接提取公因式即可；
后3个小题，先分别变形，变形后可直接提取公因式．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，当多项式中有互为相反数的因式时，可通过变形，使多项式有公因式．一般常见的两种变形为：及．
二、题型训练
1.利用提公因式法因式分解
1．用提公因式法将下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键；
（1）提公因式法提取分解因式即可求解；
（2）提公因式法提取分解因式即可求解；
【详解】（1）解：
（2）解：
．
2．因式分解：．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
利用提公因式法解答，即可求解．
【详解】解：
，
，
，
．
2.利用提公因式法计算
3．利用因式分解计算：．
【答案】．
【分析】利用提公因式法因式分解求解即可．
【详解】解
．
4．利用因式分解计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考核因式分解法简化有理数混合运算的题目，解题的关键是掌握因式分解的方法．
（）利用提取公因式法提取可简化计算．
（）利用完全平方公式进行因式分解计算．
【详解】（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
．
3.利用提公因式法求值
5．已知，，求代数式的值．
【答案】21
【分析】本题考查了因式分解、代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．先利用提取公因式法将分解因式，再把，代入计算即可得．
【详解】解：∵，，
．
6．已知，用因式分解法求的值．
【答案】
【分析】此题考查的是因式分解和整体代入法求值，先将原式提公因式进行因式分解，最后整体代入求解．
【详解】解：
∵，
∴原式
7．已知，，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，因式分解的应用．首先将原式变形，再将，，代入可得结果．能够正确运用整体代入法是解答此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴
．
4 .利用因式分解求参数
8．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式是，得
则
解得
∴另一个因式是的值是
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值；
(2)若二次三项式有一个因式是，求a的值．
【答案】(1)另一个因式为，的值为9
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系：
（1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论；
（2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论．
【详解】（1）解：设另一个因式为，
∴，
∴，
∴
，
∴ ，
另一个因式为，的值为9；
（2）解：设另一个因式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴。
9．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，
则，
．
解得：，
∴另一个因式为，的值为，
问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为________，得：=________，
则
．
解得：=________，=________．
另一个因式为________，的值为________．
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
【答案】(1)；；；；；
(2)另一个因式为，的值为
【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键．
（1）设另一个因式是，则，再建立方程组解题即可；
（2）设另一个因式是，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、p的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】（1）解：设另一个因式为，得：，
则
．
解得：，．
另一个因式为，的值为20，
故答案为：；；；；；；
（2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则
，
则，
解得，
∴另一个因式是，的值为．
10．已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，将进行因式分解后，求出的值，代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
又可因式分解成，
∴，
∴．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解的识别，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【详解】解：中等号右边不是积的形式，故A不符合题意；
是乘法运算，故B不符合题意；
是乘法运算，故C不符合题意；
符合因式分解的定义，故D符合题意；
故选D．
2．已知，则代数式的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，将变形为，再代入到进行计算即可得．
【详解】解：
∴
∴
则，
故选：B．
3．把多项式分解因式，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了提公因式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键．
直接提取公因式分解因式即可．
【详解】解：，
故选：D．
4．若、、是的三条边，且，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．三条边都不相等的三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解及三角形的三边关系，将等式变形为，再将等式左边因式分解，利用三角形的三边关系即可得到的数量关系．
【详解】解：，
，
对等式的左边，进行因式分解得，
根据三角形的三边关系可得：，
，即，
是等腰三角形，
故选：C．
5．下列多项式中，没有公因式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】本题考查了公因式，掌握公因式是多项式中每项都有的因式是解题关键．根据公因式的定义可得答案．
【详解】解：A、和有公因式，不符合题意；
B、和没有公因式，符合题意；
C、和有公因式，不符合题意；
D、和有公因式，不符合题意；
故选：B．
6．若，则的值为（ ）
A．9 B．16 C．20 D．25
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，将变形为，再将整体代入计算即可．
【详解】解：，
∴，
故选：C．
7．若可以分解为，那么的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：，
，，
，，
，
故选：B．
8．下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【详解】解：A．右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B．右边不是整式积的形式，不合因式分解的定义，故本选项错误；
C．，是因式分解，故本选项正确；
D．是单项式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项错误．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，直接提取公因式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．计算 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先把原式变形为，再去括号并计算求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
11．已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据已知条件，先通过因式分解将式子变形，然后将进行整体代入，再求解，解题的关键是将已知条件整体代入变形的式子中，从而求解．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
12．多项式的公因式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了公因式．熟练掌握公因式的定义是解题的关键．根据公因式的定义作答即可．
【详解】解：多项式的公因式是，
故答案为：．
13．分解因式的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分解因式，能够熟练掌握提公因式法是解题的关键．
将原式变形为，然后提取公因式即可解答．
【详解】
；
故答案为：．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【答案】（1）从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4）是因式分解．
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可．
【详解】解：（1），从左到右不是因式分解，是整式乘法；
（2），是因式分解；
（3），不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；
（4），是因式分解．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础概念题型，熟知因式分解的定义是关键．
15．分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分解因式；
（1）直接提公因式分解因式即可；
（2）直接提公因式分解因式即可．
【详解】（1）；
（2）．
16．解方程．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键，提公因式、去括号，移项，合并同类项即可．
【详解】解：，
提公因式：得
去括号：
合并同类项，得
系数化为1，得．
17．先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【分析】本题考查整式的混合运算及因式分解的应用，熟知乘法公式、整式的四则运算法则和因式分解的方法是正确解决本题的关键．
按整式运算法则或先运用因式分解化简再代入计算即可．
【详解】解：
化简方法一：
化简方法二：
当，时，
原式．
18．已知，．试求：（1）的值；（2）的值．
【答案】（1）±5；（2）222.
【分析】（1）利用完全平方公式将 变形，将已知等式代入计算求出的值，再开方即可求出值；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）
∴
（2），
原式
故答案为（1）±5；（2）222.
【点睛】本题考查完全平方公式，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
19．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为，则，即，∴，解得．故另一个因式为，m的值为-21．
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，则______；
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
【答案】(1)40
(2)另一个因式为，k的值为20
【分析】本题考查了因式分解的方法．解题关键是对题中所给解题思路的理解．
（1）设另一个因式为，可得，再进一步解题即可；
（2）设另一个因式为，可得，再进一步解答即可；
【详解】（1）解：设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
∴另一个因式为：，的值为40．
（2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式为，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴另一个因式为，k的值为．
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