沪教版八年级数学上册压轴题攻略专题11垂直平分线定理应用的4种常见压轴题型全攻略(原卷版+解析)
文档属性
| 名称 | 沪教版八年级数学上册压轴题攻略专题11垂直平分线定理应用的4种常见压轴题型全攻略(原卷版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-27 13:07:04 | ||
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文档简介
专题11 垂直平分线定理应用的4种常见压轴题型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 由垂直平分线定理求角的大小】 1
【考点二 由垂直平分线定理求线段的大小】 2
【考点三 由垂直平分线定理求三角形周长的大小】 2
【考点四 垂直平分线定理应用的拓展提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 由垂直平分线定理求角的大小】
【例题1】如图，在中，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在中，，垂直平分，垂足为点，垂直平分，垂足为点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，若垂直平分，垂足为点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点二 由垂直平分线定理求线段的大小】
【例题2】如图，在中，点O是内一点，垂直平分，若，，则点A、O之间的距离为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．6
【变式1】如图，是的边的垂直平分线，若的周长为14，，则的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．11
【变式2】如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，在中，的垂直平分线分别交于点．若的周长为23，的周长为15，则的长是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【考点三 由垂直平分线定理求三角形周长的大小】
【例题3】11．如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，，则的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【变式1】如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D、E两点，直线交于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点H，连接，若，则的周长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，在中，边、的垂直平分线分别交于、，若，则的周长为 ．
【考点四 垂直平分线定理应用的拓展提高】
【例题4】如图，在中，I是三角形角平分线的交点，连接，，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】中，，点M在的内部，BM、MC的垂直平分线分别交AB、AC于点P、Q，若连接PQ恰好经过点M，则（ ）（用含的代数式表示）．
A． B． C． D．
【变式3】如图，在中，度，，，在直线上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【过关检测】
一、单选题
1．如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，边的垂直平分线交于点D．交于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，分别以点、点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交点的连线交于点，交于点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，延长交的延长线于点F．若，则的长为（ ）
A．0 B．6
二、填空题
6．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点P，垂足分别为D，E，连接，，，若，则 ．
7．如图，中，，，，，垂直平分，点为直线上一动点，则的周长最小值为 ．
8．如图，的周长为16，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的周长是 ．
9．如图，中， 是的垂直平分线，，的周长为，则的周 长 ．
10．如图，在中，分别垂直平分，且交于，两点，与相交于点．
（1）若的周长为8，，则的长为 ；
（2）若，则的度数为 ．
11．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条直平分线分别交于点、．已知的周长为．
（1）线段 ；
（2）分别连接、、，若，则 ．
12．如图，已知在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点 D、E．分别连接、、，已知，的周长为，则的周长为 ．
13．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为 ．
14．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点 D、E．已知的周长为．分别连接、、，若的周长为，则的长为 ．
15．如图，在中，、分别是、的垂直平分线，，则 ．
16．如图，在中，，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，连接，，若的周长为7，则的长为 ．
17．如图，D、E是的边上的两点，分别垂直平分，垂足分别为点M、N．若，则的度数为 ．
18．如图，在中，是上一点，，垂直平分，于点，的周长为，，则的长为 ．
19．如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，则的周长为 ．
三、解答题
20．已知：如图，中，，，是的垂直平分线交于D点．求证：．
21．如图，在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且．
(1)若，求的度数；
(2)若的周长为，，求的长．
专题11 垂直平分线定理应用的4种常见压轴题型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 由垂直平分线定理求角的大小】 1
【考点二 由垂直平分线定理求线段的大小】 2
【考点三 由垂直平分线定理求三角形周长的大小】 2
【考点四 垂直平分线定理应用的拓展提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 由垂直平分线定理求角的大小】
【例题1】如图，在中，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、等边对等角等知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：B．
【变式1】如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
首先利用的垂直平分线交于点得到，进一步得到，然后利用等腰三角形的性质求得顶角的度数即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
，
故选：C．
【变式2】如图，在中，，垂直平分，垂足为点，垂直平分，垂足为点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．连接、，根据三角形内角和定理求出，根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：连接、，
，
是、垂直平分线的交点，
、，
、、，
，
，
，
．
故选：A．
【变式3】如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，若垂直平分，垂足为点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质，中垂线的性质，等边三角形的判定和性质．全等三角形的性质，得到，进而得到，连接，中垂线的性质，得到，进而得到为等边三角形，进而得到，即可．解题的关键是得到为等边三角形．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
故选C．
【考点二 由垂直平分线定理求线段的大小】
【例题2】如图，在中，点O是内一点，垂直平分，若，，则点A、O之间的距离为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了垂直平分线的性质和等角对等边，连接，由垂直平分线的性质可得，由等角对等边可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
【变式1】如图，是的边的垂直平分线，若的周长为14，，则的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．11
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
先根据垂直平分线的性质，证明，再根据周长，进行等量代换即可．
【详解】解：是的边的垂直平分线，
，
，的周长，
，
故选：C．
【变式2】如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质：熟记：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”是解题的关键．
【详解】解：是线段的垂直平分线，
，
，
，即，
，
，
故选：B．
【变式3】如图，在中，的垂直平分线分别交于点．若的周长为23，的周长为15，则的长是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线得到，利用三角形周长得到，，进而求出，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】∵垂直平分，
∴，
∵的周长为23，的周长为15，
∴，
∴
故选：D．
【考点三 由垂直平分线定理求三角形周长的大小】
【例题3】如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，，则的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，用线段垂直平分线的性质得出，是解题关键．
【详解】解：∵是的边的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴的周长是：．
故选：B．
【变式1】如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D、E两点，直线交于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点H，连接，若，则的周长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出是解题关键．直接利用基本作图方法得出垂直平分，，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案．
【详解】解：由基本作图方法得出：垂直平分，则，
，
，
，
，
的周长为：，
故选：B．
【变式2】如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、轴对称—最短路线问题，连接，由等腰三角形的性质结合三角形的面积得出，再根据是线段的垂直平分线，可得点关于直线的对称点是点，从而得到的长为的最小值，熟练掌握等腰三角形的性质是解答此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点是点，
的长为的最小值，
的周长最短，
故选：A．
【变式3】如图，在中，边、的垂直平分线分别交于、，若，则的周长为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到两端距离相等，即可进行解答．
【详解】解：∵分别为边、的垂直平分线，
∴，
∵，
∴的周长，
故答案为：15．
【考点四 垂直平分线定理应用的拓展提高】
【例题4】如图，在中，I是三角形角平分线的交点，连接，，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理：连接CO，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，求出，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：连接CO，
∵，
∴，
∴，
∵O是三边垂直平分线的交点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
∴，
故选：D．
【变式1】如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出，以及，再利用翻折变换的性质得出进而求出即可．
【详解】解：连接，
的平分线与的中垂线交于点O，
，，
，
∵在等腰中，，
，
，
在和中，
，
，
∵点C沿折叠后与点O重合，
，
，
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键．
【变式2】中，，点M在的内部，BM、MC的垂直平分线分别交AB、AC于点P、Q，若连接PQ恰好经过点M，则（ ）（用含的代数式表示）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查垂直平分线的性质和三角形的内角和，根据垂直平分线的性质，可得, ,即得,,即可求解.
【详解】解：∵BM、MC的垂直平分线分别交AB、AC于点P、Q.
∴, .
.
∵.
∴.
.
故选：D.
【变式3】如图，在中，度，，，在直线上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D
【分析】根据等腰三角形的判定定理，分情况讨论，正确作图，即可得到结论．
【详解】解：如下图，
作垂直平分线与相交于点P，可得，
以A为圆心，为半径画圆，交有两个交点，可得，，
以B为圆心，为半径画圆，交有一个交点，可得，
∴符合条件的点P共有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质 ，解题的关键是正确作图，分情况讨论．
【过关检测】
一、单选题
1．如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查作图基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案．
【详解】解：在中，，，
，
由作图可知为的中垂线，
，
，
，
故选A
2．如图，在中，边的垂直平分线交于点D．交于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B
3．如图，在中，，分别以点、点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交点的连线交于点，交于点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出，再根据线段垂直平分线的性质和等边对等角求出即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，
由作图知，是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
4．如图，在中，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键．根据题意，得，结合，计算即可．
【详解】∵在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选B．
5．如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，延长交的延长线于点F．若，则的长为（ ）
A．0 B．6 C．7 D．9
【答案】C
【分析】由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得．
【详解】解：∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，证明是本题的关键．
二、填空题
6．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点P，垂足分别为D，E，连接，，，若，则 ．
【答案】45
【分析】根据垂直平分线的性质得，进而得，，根据三角形内角和及外角的性质得，即可求解．
【详解】解：的垂直平分线与的垂直平分线交于点P，
，
，，，
，
，即：，
，
，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
7．如图，中，，，，，垂直平分，点为直线上一动点，则的周长最小值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查中垂线的性质．根据中垂线的性质得到，进而得到的周长，根据，得到当三点共线时，的值最小为的值，进而得到的周长的最小值为，即可．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵垂直平分，点为直线上一动点，
∴，
∴的周长，
∵，
∴当三点共线时，的值最小为的值，
∴的周长的最小值为；
故答案为：7．
8．如图，的周长为16，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的周长是 ．
【答案】10
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵的周长为16，
∴，
∵是线段的垂直平分线，，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：10．
9．如图，中， 是的垂直平分线，，的周长为，则的周 长 ．
【答案】19
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到，，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
【详解】解：∵ 是的垂直平分线，，
∴，，
又的周长，
，即，
的周长，
故答案为：19．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
10．如图，在中，分别垂直平分，且交于，两点，与相交于点．
（1）若的周长为8，，则的长为 ；
（2）若，则的度数为 ．
【答案】 4 /40度
【分析】（1）根据中垂线的性质，得到，，推出的周长为，求解即可；
（2）三角形的内角和定理，得到，三线合一得到，再根据三角形的内角和定理，求解即可．
【详解】解：（1）∵分别垂直平分，
∴，，
∵的周长，
∴；
故答案为：4；
（2）∵，
∴，
∵，，分别垂直平分，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．本题的综合性较强，正确的识图，从复杂图形中有效的获取等量关系，是解题的关键．
11．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条直平分线分别交于点、．已知的周长为．
（1）线段 ；
（2）分别连接、、，若，则 ．
【答案】 13 100
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质以及三角形内角和，
（1）根据线段垂直平分线的性质可得，，问题随之得解；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形内角和即可得答案．
【详解】（1）∵是线段的垂直平分线，
∴，
同理，，
∵的周长，
∴，
∴；
（2）连接、、，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，
∵，，，，，
∴，
即，
故答案为：13，100．
12．如图，已知在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点 D、E．分别连接、、，已知，的周长为，则的周长为 ．
【答案】
【分析】根据垂直平分线得到，，，结合周长求解即可得到答案；
【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，，
∴，，，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴的周长为：，
故答案为：
【点睛】本题考查垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等．
13．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形中的最短路径，过点作于点E，解题的关键是理解的长度即为最小值．
【详解】解：过点作于点E，交于点，过点M作于，
∵平分，于点E，于，
∴，
∴
∴当点M与重合，点N与 重合时，的最小值．
∵三角形的面积为15，，
∴，
∴．
即的最小值为．
故答案为：．
14．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点 D、E．已知的周长为．分别连接、、，若的周长为，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据垂直平分线得到，，结合的周长为得到，再根据的周长为即可得到答案；
【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，
∴，，，，
∵的周长为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，解题的关键是根据相等线段转换求出．
15．如图，在中，、分别是、的垂直平分线，，则 ．
【答案】/40度
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得，又由，即可求得，则可得度数，继而求得．
【详解】解：∵在中，、分别是、的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解决问题的关键．
16．如图，在中，，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，连接，，若的周长为7，则的长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式即可求出．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点E，
∴，
∵的垂直平分线交于点F，
∴，
∵的周长为7，
∴．
故答案为：7
17．如图，D、E是的边上的两点，分别垂直平分，垂足分别为点M、N．若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，计算即可．
【详解】解：在中，，
则，
∵分别垂直平分、，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．如图，在中，是上一点，，垂直平分，于点，的周长为，，则的长为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，三线合一，解题的关键是根据已知求出，再利用垂直平分线的性质和三线合一得到，，继而得出，再利用求出结果．
【详解】解：周长，，
，
，
∵，垂直平分，
∴，，
∴，
，
．
故答案为：5．
19．如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，则的周长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式即可得解，熟记：“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”是解题的关键．
【详解】解：的垂直平分线交于M，
，
同理可得：，
则的周长，
故答案为：10．
三、解答题
20．已知：如图，中，，，是的垂直平分线交于D点．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质得到，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而利用等角对等边求解即可．属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
【详解】如图所示，连接，
∵是的垂直平分线
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
21．如图，在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且．
(1)若，求的度数；
(2)若的周长为，，求的长．
【答案】(1)的度数为
(2)
【分析】（1）由题意知，，由垂直平分，可得，则，由，计算求解即可；
（2）由，可得，，由的周长为，，可得，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵的周长为，，
∴，
解得，，
∴的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
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【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 由垂直平分线定理求角的大小】 1
【考点二 由垂直平分线定理求线段的大小】 2
【考点三 由垂直平分线定理求三角形周长的大小】 2
【考点四 垂直平分线定理应用的拓展提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 由垂直平分线定理求角的大小】
【例题1】如图，在中，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在中，，垂直平分，垂足为点，垂直平分，垂足为点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，若垂直平分，垂足为点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点二 由垂直平分线定理求线段的大小】
【例题2】如图，在中，点O是内一点，垂直平分，若，，则点A、O之间的距离为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．6
【变式1】如图，是的边的垂直平分线，若的周长为14，，则的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．11
【变式2】如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，在中，的垂直平分线分别交于点．若的周长为23，的周长为15，则的长是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【考点三 由垂直平分线定理求三角形周长的大小】
【例题3】11．如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，，则的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【变式1】如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D、E两点，直线交于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点H，连接，若，则的周长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，在中，边、的垂直平分线分别交于、，若，则的周长为 ．
【考点四 垂直平分线定理应用的拓展提高】
【例题4】如图，在中，I是三角形角平分线的交点，连接，，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】中，，点M在的内部，BM、MC的垂直平分线分别交AB、AC于点P、Q，若连接PQ恰好经过点M，则（ ）（用含的代数式表示）．
A． B． C． D．
【变式3】如图，在中，度，，，在直线上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【过关检测】
一、单选题
1．如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，边的垂直平分线交于点D．交于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，分别以点、点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交点的连线交于点，交于点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，延长交的延长线于点F．若，则的长为（ ）
A．0 B．6
二、填空题
6．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点P，垂足分别为D，E，连接，，，若，则 ．
7．如图，中，，，，，垂直平分，点为直线上一动点，则的周长最小值为 ．
8．如图，的周长为16，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的周长是 ．
9．如图，中， 是的垂直平分线，，的周长为，则的周 长 ．
10．如图，在中，分别垂直平分，且交于，两点，与相交于点．
（1）若的周长为8，，则的长为 ；
（2）若，则的度数为 ．
11．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条直平分线分别交于点、．已知的周长为．
（1）线段 ；
（2）分别连接、、，若，则 ．
12．如图，已知在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点 D、E．分别连接、、，已知，的周长为，则的周长为 ．
13．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为 ．
14．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点 D、E．已知的周长为．分别连接、、，若的周长为，则的长为 ．
15．如图，在中，、分别是、的垂直平分线，，则 ．
16．如图，在中，，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，连接，，若的周长为7，则的长为 ．
17．如图，D、E是的边上的两点，分别垂直平分，垂足分别为点M、N．若，则的度数为 ．
18．如图，在中，是上一点，，垂直平分，于点，的周长为，，则的长为 ．
19．如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，则的周长为 ．
三、解答题
20．已知：如图，中，，，是的垂直平分线交于D点．求证：．
21．如图，在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且．
(1)若，求的度数；
(2)若的周长为，，求的长．
专题11 垂直平分线定理应用的4种常见压轴题型全攻略
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目录
【典型例题】 1
【考点一 由垂直平分线定理求角的大小】 1
【考点二 由垂直平分线定理求线段的大小】 2
【考点三 由垂直平分线定理求三角形周长的大小】 2
【考点四 垂直平分线定理应用的拓展提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 由垂直平分线定理求角的大小】
【例题1】如图，在中，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、等边对等角等知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：B．
【变式1】如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
首先利用的垂直平分线交于点得到，进一步得到，然后利用等腰三角形的性质求得顶角的度数即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
，
故选：C．
【变式2】如图，在中，，垂直平分，垂足为点，垂直平分，垂足为点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．连接、，根据三角形内角和定理求出，根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：连接、，
，
是、垂直平分线的交点，
、，
、、，
，
，
，
．
故选：A．
【变式3】如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，若垂直平分，垂足为点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质，中垂线的性质，等边三角形的判定和性质．全等三角形的性质，得到，进而得到，连接，中垂线的性质，得到，进而得到为等边三角形，进而得到，即可．解题的关键是得到为等边三角形．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
故选C．
【考点二 由垂直平分线定理求线段的大小】
【例题2】如图，在中，点O是内一点，垂直平分，若，，则点A、O之间的距离为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了垂直平分线的性质和等角对等边，连接，由垂直平分线的性质可得，由等角对等边可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
【变式1】如图，是的边的垂直平分线，若的周长为14，，则的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．11
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
先根据垂直平分线的性质，证明，再根据周长，进行等量代换即可．
【详解】解：是的边的垂直平分线，
，
，的周长，
，
故选：C．
【变式2】如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质：熟记：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”是解题的关键．
【详解】解：是线段的垂直平分线，
，
，
，即，
，
，
故选：B．
【变式3】如图，在中，的垂直平分线分别交于点．若的周长为23，的周长为15，则的长是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线得到，利用三角形周长得到，，进而求出，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】∵垂直平分，
∴，
∵的周长为23，的周长为15，
∴，
∴
故选：D．
【考点三 由垂直平分线定理求三角形周长的大小】
【例题3】如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，，则的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，用线段垂直平分线的性质得出，是解题关键．
【详解】解：∵是的边的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴的周长是：．
故选：B．
【变式1】如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D、E两点，直线交于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点H，连接，若，则的周长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出是解题关键．直接利用基本作图方法得出垂直平分，，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案．
【详解】解：由基本作图方法得出：垂直平分，则，
，
，
，
，
的周长为：，
故选：B．
【变式2】如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、轴对称—最短路线问题，连接，由等腰三角形的性质结合三角形的面积得出，再根据是线段的垂直平分线，可得点关于直线的对称点是点，从而得到的长为的最小值，熟练掌握等腰三角形的性质是解答此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点是点，
的长为的最小值，
的周长最短，
故选：A．
【变式3】如图，在中，边、的垂直平分线分别交于、，若，则的周长为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到两端距离相等，即可进行解答．
【详解】解：∵分别为边、的垂直平分线，
∴，
∵，
∴的周长，
故答案为：15．
【考点四 垂直平分线定理应用的拓展提高】
【例题4】如图，在中，I是三角形角平分线的交点，连接，，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理：连接CO，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，求出，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：连接CO，
∵，
∴，
∴，
∵O是三边垂直平分线的交点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
∴，
故选：D．
【变式1】如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出，以及，再利用翻折变换的性质得出进而求出即可．
【详解】解：连接，
的平分线与的中垂线交于点O，
，，
，
∵在等腰中，，
，
，
在和中，
，
，
∵点C沿折叠后与点O重合，
，
，
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键．
【变式2】中，，点M在的内部，BM、MC的垂直平分线分别交AB、AC于点P、Q，若连接PQ恰好经过点M，则（ ）（用含的代数式表示）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查垂直平分线的性质和三角形的内角和，根据垂直平分线的性质，可得, ,即得,,即可求解.
【详解】解：∵BM、MC的垂直平分线分别交AB、AC于点P、Q.
∴, .
.
∵.
∴.
.
故选：D.
【变式3】如图，在中，度，，，在直线上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D
【分析】根据等腰三角形的判定定理，分情况讨论，正确作图，即可得到结论．
【详解】解：如下图，
作垂直平分线与相交于点P，可得，
以A为圆心，为半径画圆，交有两个交点，可得，，
以B为圆心，为半径画圆，交有一个交点，可得，
∴符合条件的点P共有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质 ，解题的关键是正确作图，分情况讨论．
【过关检测】
一、单选题
1．如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查作图基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案．
【详解】解：在中，，，
，
由作图可知为的中垂线，
，
，
，
故选A
2．如图，在中，边的垂直平分线交于点D．交于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B
3．如图，在中，，分别以点、点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交点的连线交于点，交于点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出，再根据线段垂直平分线的性质和等边对等角求出即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，
由作图知，是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
4．如图，在中，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键．根据题意，得，结合，计算即可．
【详解】∵在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选B．
5．如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，延长交的延长线于点F．若，则的长为（ ）
A．0 B．6 C．7 D．9
【答案】C
【分析】由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得．
【详解】解：∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，证明是本题的关键．
二、填空题
6．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点P，垂足分别为D，E，连接，，，若，则 ．
【答案】45
【分析】根据垂直平分线的性质得，进而得，，根据三角形内角和及外角的性质得，即可求解．
【详解】解：的垂直平分线与的垂直平分线交于点P，
，
，，，
，
，即：，
，
，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
7．如图，中，，，，，垂直平分，点为直线上一动点，则的周长最小值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查中垂线的性质．根据中垂线的性质得到，进而得到的周长，根据，得到当三点共线时，的值最小为的值，进而得到的周长的最小值为，即可．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵垂直平分，点为直线上一动点，
∴，
∴的周长，
∵，
∴当三点共线时，的值最小为的值，
∴的周长的最小值为；
故答案为：7．
8．如图，的周长为16，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的周长是 ．
【答案】10
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵的周长为16，
∴，
∵是线段的垂直平分线，，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：10．
9．如图，中， 是的垂直平分线，，的周长为，则的周 长 ．
【答案】19
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到，，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
【详解】解：∵ 是的垂直平分线，，
∴，，
又的周长，
，即，
的周长，
故答案为：19．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
10．如图，在中，分别垂直平分，且交于，两点，与相交于点．
（1）若的周长为8，，则的长为 ；
（2）若，则的度数为 ．
【答案】 4 /40度
【分析】（1）根据中垂线的性质，得到，，推出的周长为，求解即可；
（2）三角形的内角和定理，得到，三线合一得到，再根据三角形的内角和定理，求解即可．
【详解】解：（1）∵分别垂直平分，
∴，，
∵的周长，
∴；
故答案为：4；
（2）∵，
∴，
∵，，分别垂直平分，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．本题的综合性较强，正确的识图，从复杂图形中有效的获取等量关系，是解题的关键．
11．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条直平分线分别交于点、．已知的周长为．
（1）线段 ；
（2）分别连接、、，若，则 ．
【答案】 13 100
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质以及三角形内角和，
（1）根据线段垂直平分线的性质可得，，问题随之得解；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形内角和即可得答案．
【详解】（1）∵是线段的垂直平分线，
∴，
同理，，
∵的周长，
∴，
∴；
（2）连接、、，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，
∵，，，，，
∴，
即，
故答案为：13，100．
12．如图，已知在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点 D、E．分别连接、、，已知，的周长为，则的周长为 ．
【答案】
【分析】根据垂直平分线得到，，，结合周长求解即可得到答案；
【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，，
∴，，，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴的周长为：，
故答案为：
【点睛】本题考查垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等．
13．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形中的最短路径，过点作于点E，解题的关键是理解的长度即为最小值．
【详解】解：过点作于点E，交于点，过点M作于，
∵平分，于点E，于，
∴，
∴
∴当点M与重合，点N与 重合时，的最小值．
∵三角形的面积为15，，
∴，
∴．
即的最小值为．
故答案为：．
14．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点 D、E．已知的周长为．分别连接、、，若的周长为，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据垂直平分线得到，，结合的周长为得到，再根据的周长为即可得到答案；
【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，
∴，，，，
∵的周长为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，解题的关键是根据相等线段转换求出．
15．如图，在中，、分别是、的垂直平分线，，则 ．
【答案】/40度
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得，又由，即可求得，则可得度数，继而求得．
【详解】解：∵在中，、分别是、的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解决问题的关键．
16．如图，在中，，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，连接，，若的周长为7，则的长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式即可求出．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点E，
∴，
∵的垂直平分线交于点F，
∴，
∵的周长为7，
∴．
故答案为：7
17．如图，D、E是的边上的两点，分别垂直平分，垂足分别为点M、N．若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，计算即可．
【详解】解：在中，，
则，
∵分别垂直平分、，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．如图，在中，是上一点，，垂直平分，于点，的周长为，，则的长为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，三线合一，解题的关键是根据已知求出，再利用垂直平分线的性质和三线合一得到，，继而得出，再利用求出结果．
【详解】解：周长，，
，
，
∵，垂直平分，
∴，，
∴，
，
．
故答案为：5．
19．如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，则的周长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式即可得解，熟记：“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”是解题的关键．
【详解】解：的垂直平分线交于M，
，
同理可得：，
则的周长，
故答案为：10．
三、解答题
20．已知：如图，中，，，是的垂直平分线交于D点．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质得到，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而利用等角对等边求解即可．属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
【详解】如图所示，连接，
∵是的垂直平分线
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
21．如图，在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且．
(1)若，求的度数；
(2)若的周长为，，求的长．
【答案】(1)的度数为
(2)
【分析】（1）由题意知，，由垂直平分，可得，则，由，计算求解即可；
（2）由，可得，，由的周长为，，可得，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵的周长为，，
∴，
解得，，
∴的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
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