沪教版八年级数学上册压轴题攻略专题12角平分线定理应用的4种常见压轴题型全攻略(原卷版+解析)
文档属性
| 名称 | 沪教版八年级数学上册压轴题攻略专题12角平分线定理应用的4种常见压轴题型全攻略(原卷版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-27 13:05:37 | ||
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文档简介
专题12 角平分线定理应用的4种常见压轴题型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 利用角平分线定理求线段的大小】 1
【考点二 利用角平分线定理求角的大小】 2
【考点三 利用角平分线定理求三角形面积大小】 2
【考点四 利用角平分线定理求三角形面积之比】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 利用角平分线定理求线段的大小】
【例题1】如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
【变式1】如图，在中，，是的角平分线，是边上一点，若，则的长可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【变式2】如图，在中，，平分，交于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点二 利用角平分线定理求角的大小】
【例题2】如图，中，，，是上一点，且于点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，，，点在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 ．
【变式3】如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是： ．（填序号）
①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．
【考点三 利用角平分线定理求图形三角形面积大小】
【例题3】如图，在中，是的平分线，若，则的面积是（ ）
A．15 B．24 C．12 D．10
【变式1】如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（ ）
A．20 B．30 C．50 D．100
【变式2】如图，在中，平分，延长至点，使，连接． 若，则为（ ）．
A．12 B．16 C．18 D．20
【变式3】如图，在中，平分，点E是的中点，于点F，若．则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【考点四 利用角平分线定理求三角形面积之】
【例题4】如图，在中，，是的平分线，若，，则( )
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，是的平分线，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，的三边、，的长分别是、、，点为三内角平分线的交点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，平分，，则图中的全等三角形有 对．
【过关检测】
一、单选题
1．如图，在中，的平分线交于点，连接，过点作的面积是16，周长是8，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，的平分线与的平分线相交于点，过点作，且交于点． 若，则点到的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
3．如图，在中，，平分，，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，在中，平分，于点，交于点，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的角平分线，于点E，，，，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6．如图，在中，是角平分线，，则P到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ）
A．36 B．24 C．20 D．18
8．如图，中，是的角平分线，，是中点，连接，若，，，则为（ ）
A． B． C． D．
9．在中，线段是的角平分线、是边上的中线，垂直于，已知：，则长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作 交于E，交于点F，过点G作于D；①；②；③点G到各边的距离相等；④设，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，是的平分线，于点E，，则的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
12．如图，在中，平分，平分，且，若的周长是6，则的长是（ ）
A．6 B．3 C．12 D．9
二、填空题
13．如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于 ．
14．如图，在中，已知和的平分线相交于点．过点作，交于点，交于点．若，则线段的长为 ．
15．如图，中，，，分别平分，交于点，过点作直线平行于，分别交于点，则的周长为 ．
16．如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若和的周长分别为和，则的长为 ．
三、解答题
17．如图，在中，，，平分交AD于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
18．如图，四边形中，，平分，于点．
(1)若，求证：；
(2)试探究线段，，的数量关系，并说明理由．
19．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长．
专题12 角平分线定理应用的4种常见压轴题型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 利用角平分线定理求线段的大小】 1
【考点二 利用角平分线定理求角的大小】 2
【考点三 利用角平分线定理求三角形面积大小】 2
【考点四 利用角平分线定理求三角形面积之比】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 利用角平分线定理求线段的大小】
【例题1】如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】本题考查的是角平分线的性质定理的应用，本题过作于，再证明，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于，
∵，是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点到的距离为4．
故选D
【变式1】如图，在中，，是的角平分线，是边上一点，若，则的长可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，利用角平分线的性质可求出的长，结合点到直线垂直线段最短即可得出，再对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：过点作于点，如图所示
平分，，，
．
又是边上一点，
，
．
故选：D．
【变式2】如图，在中，，平分，交于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点作于，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式的运用．解题的关键是作辅助线，利用角平分线的性质进行计算．
【变式3】如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】过D点作于F，根据角平分线的性质可得，再根据即可求出的长．
【详解】
如图，过D点作于F，
平分，，
，
，
，
，
解得．
故选：C
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟练掌握这一性质是解题的关键．
【考点二 利用角平分线定理求角的大小】
【例题2】如图，中，，，是上一点，且于点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形性质、角平分线的判断与性质等知识，熟记“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”是解决问题的关键．
【详解】解：中，，，
，
，，且，
平分，
，
故选：A．
【变式1】如图，在中，，，点在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，则度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查了角平线的性质和判定，三角形的外角性质，过点分别作，，，可证到，得到平分，再利用三角形外角性质即可求解，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【详解】解：过点分别作，，，垂足分别是点，
∵平分，，，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴平分，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
【变式2】如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 ．
【答案】．
【分析】过点作于点，于点，，根据角平分线的性质可得，，再由内角和即可求解．
【详解】如图，过点作于点，于点，，交的延长线于点，
∵点，是内角与外角的三等分线的交点，
∴是的平分线，
又∵，，
∴ ，同理可得，
∴ ，
又∵，，
∴是的平分线，
∵，，
∴，
∵点，是内角与外角的三等分线的交点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的的性质定理和判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质．
【变式3】如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是： ．（填序号）
①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．
【答案】①②④
【分析】根据已知∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，就得到∠FBC＝2∠DBC，然后再证明△FAB≌△CBE，就可以判断出BC平分∠DCE，再由角平分线的性质想到过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，从而证明△ABD≌△EBG，即可判断．
【详解】解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
∵FB＝BC，BD⊥AC，
∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝∠FBC，
∵∠DBC＝∠ABE，
∴∠FBC＝∠ABE，
∴∠FBA＝∠CBE，
∵AB＝AE，
∴△FAB≌△CBE（SAS），
∴∠F＝∠BCE，
∵BF＝BC，
∴∠F＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠BCE，
∴BC平分∠DCE，
故①正确；
∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠DCE＝180°，
故②正确；
∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，
∴△BDC≌△BGC（AAS），
∴AD＝GE，CD＝CG，
∵AC＝AD+DC，
∴AC＝AD+CG
＝AD+GE+CE
＝2GE+CE，
∵GE≠BE，
∴AC≠2BE+CE，
故③错误；
∵AC＝CF﹣AF，
∴AC＝2CD﹣CE，
故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，综合运用全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，是求解该类问题的关键．
【考点三 利用角平分线定理求图形三角形面积大小】
【例题3】如图，在中，是的平分线，若，则的面积是（ ）
A．15 B．24 C．12 D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于，根据角平分线上的点到角两边的距离相等求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案即可．
【详解】解：如图所示，过点作于，
是的角平分线，，，
，
．
故选：A．
【变式1】如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（ ）
A．20 B．30 C．50 D．100
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：过O作于点E，
∵平分，，
∴，
∴的面积，
故选：C．
【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得到．
【变式2】如图，在中，平分，延长至点，使，连接． 若，则为（ ）．
A．12 B．16 C．18 D．20【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形面积公式，作于，于，利用角平分线的性质可得，再运用等高的两个三角形面积比等于底之比即可得出答案．
【详解】解：如图，作于，于，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【变式3】如图，在中，平分，点E是的中点，于点F，若．则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质得到，得到，，由中线得到，利用即可得到答案；熟练掌握角平分线的性质、三角形中线平分三角形面积等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键
【详解】解：过点D作于点H，
∵平分，于点F，
∴，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
故选：A
【考点四 利用角平分线定理求三角形面积之】
【例题4】如图，在中，，是的平分线，若，，则( )
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，过点作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：过点作于，
∵，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴：，
故选：D．
【变式1】如图，在中，是的平分线，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，由角平分线的性质及三角形的面积公式作出辅助线是解答此题的关键．作于，于，由角平分线的性质可知，，再由三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：作于，于，
是的平分线，
，
．
故选：D．
【变式2】如图，的三边、，的长分别是、、，点为三内角平分线的交点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式；利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是、、，所以面积之比就是．
【详解】过点作于，于，于，
点是内心，
，
∴
：：
：：，
故选：B．
【变式3】如图，平分，，则图中的全等三角形有 对．
【答案】5
【分析】由平分推出，从而证明出，得到，，从而证明出，得到，从而证明出，得到，从而证明出，得到，从而证明出，即可得到答案．
【详解】解：平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，，
，
在和中，
，，
，
在和中，
，，
全等三角形共有5对，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的性质，全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
【过关检测】
一、单选题
1．如图，在中，的平分线交于点，连接，过点作的面积是16，周长是8，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先过点作于点，然后根据角平分线的性质，证明，然后根据的面积的面积的面积的面积，求出答案即可．
【详解】如图所示：过点作于点，
，分别是和的角平分线，，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
2．如图，的平分线与的平分线相交于点，过点作，且交于点． 若，则点到的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的性质．根据，，得到，过点作，得到，即可得出结果；掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
过点作，
∵的平分线与的平分线相交于点，
∴，
∴，
∴，即：点到的距离为；
故选D．
3．如图，在中，，平分，，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】过D点作，垂足为E，由已知，，可求，再利用角平分线性质证明即可，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
【详解】解：过D点作，垂足为E，
∵
∴，
∵，
解得，
∵平分，，，
∴．
故选D．
4．如图，在中，平分，于点，交于点，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作，根据角平分线的性质可得，求解即可．此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【详解】解：过点作，如图：
∵平分，于点，，
∴，
∴，
故选：B
5．如图，是的角平分线，于点E，，，，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于F，如图，根据角平分线的性质得，再利用三角形面积公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：作于F，如图，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：C．
6．如图，在中，是角平分线，，则P到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】过P作于D，根据角平分线的性质得到，即可求出点P到边的距离．
【详解】解：过P作于D，
∵，
∴，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴点P到边的距离是2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键．
7．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ）
A．36 B．24 C．20 D．18
【答案】D
【分析】本题考查角分线的尺规作图和性质；过点作于点，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积．
【详解】解：过点作于点，
根据题意得，是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
8．如图，中，是的角平分线，，是中点，连接，若，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质．过点作于点，根据角平分线的性质可得，从而得到，再由是中点，即可求解．熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，，
∴，
∵是中点，
∴．
故选：C．
9．在中，线段是的角平分线、是边上的中线，垂直于，已知：，则长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
过点作于点，如图，先利用三角形面积公式得到，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式，利用可求出的长．
【详解】解：过点作于点，如图，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
∵线段是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：A．
10．如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作 交于E，交于点F，过点G作于D；①；②；③点G到各边的距离相等；④设，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考差了角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质，掌握定理及性质是解题的关键．
①根据角平分线定义及平行可得出，，由此可得出结论；
②先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；
③根据角平分线的性质即可得出结论；
④连接，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：①和的平分线相交于点G，
， ，
，
，，
，，
，，
，即，故①正确；
②和的平分线相交于点G，
，
，故②正确；
③和的平分线相交于点G，
点G是的内心，
点G到各边的距离相等，故③正确；
④连接，
点G是的内心，，，
，故④正确．
故选：D．
11．如图，是的平分线，于点E，，则的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】过点D作于点F，根据角平分线的性质可求，然后根据求解即可．
【详解】解：过点D作于点F，
∵是的平分线，于点E，
∴，
又，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线上一点到角两边的距离相等是解题的关键．
12．如图，在中，平分，平分，且，若的周长是6，则的长是（ ）
A．6 B．3 C．12 D．9
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等可得，，再由等角对等边得到，然后利用的周长是6，可得，进而求得即可．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的周长是6，
∴，
∴．
故选A．
13．如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于 ．
【答案】2：3：4
【分析】过点O分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．
【详解】解：过点O分别向BC、BA、AC作垂线段交于D、E、F三点．
∵CO、BO、AO分别平分
∴
∵，，
∴
故答案为：2：3：4
【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键．
14．如图，在中，已知和的平分线相交于点．过点作，交于点，交于点．若，则线段的长为 ．
【答案】3
【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，可得∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，得出∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，根据等角对等边可得BD=DF，FE=CE，然后利用线段差可求出线段CE的长．
【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，
∴BD=DF=2，FE=CE，
∴CE=DE﹣DF=5﹣2=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题的关键．
15．如图，中，，，分别平分，交于点，过点作直线平行于，分别交于点，则的周长为 ．
【答案】18
【分析】根据角平分线的性质可得：，，然后由平行线的性质及角的等量代换可得：，，根据等角对等边得出：，，由此求三角形的周长，同时进行等量代换即可得出结果．
【详解】解：
∵BO平分，CO平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴的周长为：
，
，
，
，
，
．
故答案是：18．
【点睛】题目主要考查角平分线和平行线的性质定理，等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线和平行线的性质是解题关键．
16．如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若和的周长分别为和，则的长为 ．
【答案】12
【分析】由BD平分∠ABC，可得∠EBD=∠CBD，可证Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），可得BE=BC，ED=CD，可求AC+AE=6，可求2BC+AE+AC=30即可．
【详解】解：∵，，
∴∠BED=∠BCD=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
在Rt△EBD和Rt△CBD中，
，
Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），
∴BE=BC，ED=CD，
∵的周长为，
∴AD+ED+AE=AD+DC+AE=AC+AE=6，
∵的周长为，
∴AB+BC+AC=AE+BE+BC+AC=2BC+AE+AC=30，
∴2BC=30-（AE+AC）=30-6=24，
∴BC=12．
故答案为12．
【点睛】本题考查角平分线定义，三角形全等判定与性质，三角形周长，掌握角平分线定义，三角形全等判定与性质，三角形周长是解题关键．
三、解答题
17．如图，在中，，，平分交AD于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)的面积为6
【分析】（1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用角平分线的定义可得，从而可得，最后利用对顶角相等可得，从而利用等量代换即可解答；
（2）过点作，垂足为，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解∶ 过点作，垂足为，
平分，，，
，
，
的面积，
的面积为6．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18．如图，四边形中，，平分，于点．
(1)若，求证：；
(2)试探究线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定、角平分线的性质、全等三角形的判定及性质：
（1）根据角平分线的性质可得，再根据平行线的判定即可求证结论；
（2）过点作交的延长线于，利用可证得，进而可得，再利用证得，进而可得，再利用边的等量代换即可得出结论．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
过点作交的延长线于点F，
平分，于点，于点，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
19．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)．
【分析】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质，
（1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论；
（2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论；
（3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，
在和中，
∴，
∴，
又∵，，平分，
∴，
在和中，
，
∴
∴．
（3）过点C作交于P，作交延长线于G，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
同理可得：，，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴
【点睛】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等．
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【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 利用角平分线定理求线段的大小】 1
【考点二 利用角平分线定理求角的大小】 2
【考点三 利用角平分线定理求三角形面积大小】 2
【考点四 利用角平分线定理求三角形面积之比】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 利用角平分线定理求线段的大小】
【例题1】如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
【变式1】如图，在中，，是的角平分线，是边上一点，若，则的长可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【变式2】如图，在中，，平分，交于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点二 利用角平分线定理求角的大小】
【例题2】如图，中，，，是上一点，且于点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，，，点在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 ．
【变式3】如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是： ．（填序号）
①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．
【考点三 利用角平分线定理求图形三角形面积大小】
【例题3】如图，在中，是的平分线，若，则的面积是（ ）
A．15 B．24 C．12 D．10
【变式1】如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（ ）
A．20 B．30 C．50 D．100
【变式2】如图，在中，平分，延长至点，使，连接． 若，则为（ ）．
A．12 B．16 C．18 D．20
【变式3】如图，在中，平分，点E是的中点，于点F，若．则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【考点四 利用角平分线定理求三角形面积之】
【例题4】如图，在中，，是的平分线，若，，则( )
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，是的平分线，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，的三边、，的长分别是、、，点为三内角平分线的交点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，平分，，则图中的全等三角形有 对．
【过关检测】
一、单选题
1．如图，在中，的平分线交于点，连接，过点作的面积是16，周长是8，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，的平分线与的平分线相交于点，过点作，且交于点． 若，则点到的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
3．如图，在中，，平分，，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，在中，平分，于点，交于点，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的角平分线，于点E，，，，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6．如图，在中，是角平分线，，则P到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ）
A．36 B．24 C．20 D．18
8．如图，中，是的角平分线，，是中点，连接，若，，，则为（ ）
A． B． C． D．
9．在中，线段是的角平分线、是边上的中线，垂直于，已知：，则长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作 交于E，交于点F，过点G作于D；①；②；③点G到各边的距离相等；④设，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，是的平分线，于点E，，则的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
12．如图，在中，平分，平分，且，若的周长是6，则的长是（ ）
A．6 B．3 C．12 D．9
二、填空题
13．如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于 ．
14．如图，在中，已知和的平分线相交于点．过点作，交于点，交于点．若，则线段的长为 ．
15．如图，中，，，分别平分，交于点，过点作直线平行于，分别交于点，则的周长为 ．
16．如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若和的周长分别为和，则的长为 ．
三、解答题
17．如图，在中，，，平分交AD于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
18．如图，四边形中，，平分，于点．
(1)若，求证：；
(2)试探究线段，，的数量关系，并说明理由．
19．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长．
专题12 角平分线定理应用的4种常见压轴题型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 利用角平分线定理求线段的大小】 1
【考点二 利用角平分线定理求角的大小】 2
【考点三 利用角平分线定理求三角形面积大小】 2
【考点四 利用角平分线定理求三角形面积之比】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 利用角平分线定理求线段的大小】
【例题1】如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】本题考查的是角平分线的性质定理的应用，本题过作于，再证明，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于，
∵，是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点到的距离为4．
故选D
【变式1】如图，在中，，是的角平分线，是边上一点，若，则的长可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，利用角平分线的性质可求出的长，结合点到直线垂直线段最短即可得出，再对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：过点作于点，如图所示
平分，，，
．
又是边上一点，
，
．
故选：D．
【变式2】如图，在中，，平分，交于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点作于，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式的运用．解题的关键是作辅助线，利用角平分线的性质进行计算．
【变式3】如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】过D点作于F，根据角平分线的性质可得，再根据即可求出的长．
【详解】
如图，过D点作于F，
平分，，
，
，
，
，
解得．
故选：C
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟练掌握这一性质是解题的关键．
【考点二 利用角平分线定理求角的大小】
【例题2】如图，中，，，是上一点，且于点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形性质、角平分线的判断与性质等知识，熟记“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”是解决问题的关键．
【详解】解：中，，，
，
，，且，
平分，
，
故选：A．
【变式1】如图，在中，，，点在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，则度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查了角平线的性质和判定，三角形的外角性质，过点分别作，，，可证到，得到平分，再利用三角形外角性质即可求解，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【详解】解：过点分别作，，，垂足分别是点，
∵平分，，，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴平分，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
【变式2】如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 ．
【答案】．
【分析】过点作于点，于点，，根据角平分线的性质可得，，再由内角和即可求解．
【详解】如图，过点作于点，于点，，交的延长线于点，
∵点，是内角与外角的三等分线的交点，
∴是的平分线，
又∵，，
∴ ，同理可得，
∴ ，
又∵，，
∴是的平分线，
∵，，
∴，
∵点，是内角与外角的三等分线的交点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的的性质定理和判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质．
【变式3】如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是： ．（填序号）
①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．
【答案】①②④
【分析】根据已知∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，就得到∠FBC＝2∠DBC，然后再证明△FAB≌△CBE，就可以判断出BC平分∠DCE，再由角平分线的性质想到过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，从而证明△ABD≌△EBG，即可判断．
【详解】解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
∵FB＝BC，BD⊥AC，
∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝∠FBC，
∵∠DBC＝∠ABE，
∴∠FBC＝∠ABE，
∴∠FBA＝∠CBE，
∵AB＝AE，
∴△FAB≌△CBE（SAS），
∴∠F＝∠BCE，
∵BF＝BC，
∴∠F＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠BCE，
∴BC平分∠DCE，
故①正确；
∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠DCE＝180°，
故②正确；
∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，
∴△BDC≌△BGC（AAS），
∴AD＝GE，CD＝CG，
∵AC＝AD+DC，
∴AC＝AD+CG
＝AD+GE+CE
＝2GE+CE，
∵GE≠BE，
∴AC≠2BE+CE，
故③错误；
∵AC＝CF﹣AF，
∴AC＝2CD﹣CE，
故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，综合运用全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，是求解该类问题的关键．
【考点三 利用角平分线定理求图形三角形面积大小】
【例题3】如图，在中，是的平分线，若，则的面积是（ ）
A．15 B．24 C．12 D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于，根据角平分线上的点到角两边的距离相等求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案即可．
【详解】解：如图所示，过点作于，
是的角平分线，，，
，
．
故选：A．
【变式1】如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（ ）
A．20 B．30 C．50 D．100
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：过O作于点E，
∵平分，，
∴，
∴的面积，
故选：C．
【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得到．
【变式2】如图，在中，平分，延长至点，使，连接． 若，则为（ ）．
A．12 B．16 C．18 D．20【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形面积公式，作于，于，利用角平分线的性质可得，再运用等高的两个三角形面积比等于底之比即可得出答案．
【详解】解：如图，作于，于，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【变式3】如图，在中，平分，点E是的中点，于点F，若．则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质得到，得到，，由中线得到，利用即可得到答案；熟练掌握角平分线的性质、三角形中线平分三角形面积等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键
【详解】解：过点D作于点H，
∵平分，于点F，
∴，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
故选：A
【考点四 利用角平分线定理求三角形面积之】
【例题4】如图，在中，，是的平分线，若，，则( )
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，过点作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：过点作于，
∵，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴：，
故选：D．
【变式1】如图，在中，是的平分线，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，由角平分线的性质及三角形的面积公式作出辅助线是解答此题的关键．作于，于，由角平分线的性质可知，，再由三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：作于，于，
是的平分线，
，
．
故选：D．
【变式2】如图，的三边、，的长分别是、、，点为三内角平分线的交点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式；利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是、、，所以面积之比就是．
【详解】过点作于，于，于，
点是内心，
，
∴
：：
：：，
故选：B．
【变式3】如图，平分，，则图中的全等三角形有 对．
【答案】5
【分析】由平分推出，从而证明出，得到，，从而证明出，得到，从而证明出，得到，从而证明出，得到，从而证明出，即可得到答案．
【详解】解：平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，，
，
在和中，
，，
，
在和中，
，，
全等三角形共有5对，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的性质，全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
【过关检测】
一、单选题
1．如图，在中，的平分线交于点，连接，过点作的面积是16，周长是8，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先过点作于点，然后根据角平分线的性质，证明，然后根据的面积的面积的面积的面积，求出答案即可．
【详解】如图所示：过点作于点，
，分别是和的角平分线，，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
2．如图，的平分线与的平分线相交于点，过点作，且交于点． 若，则点到的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的性质．根据，，得到，过点作，得到，即可得出结果；掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
过点作，
∵的平分线与的平分线相交于点，
∴，
∴，
∴，即：点到的距离为；
故选D．
3．如图，在中，，平分，，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】过D点作，垂足为E，由已知，，可求，再利用角平分线性质证明即可，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
【详解】解：过D点作，垂足为E，
∵
∴，
∵，
解得，
∵平分，，，
∴．
故选D．
4．如图，在中，平分，于点，交于点，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作，根据角平分线的性质可得，求解即可．此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【详解】解：过点作，如图：
∵平分，于点，，
∴，
∴，
故选：B
5．如图，是的角平分线，于点E，，，，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于F，如图，根据角平分线的性质得，再利用三角形面积公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：作于F，如图，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：C．
6．如图，在中，是角平分线，，则P到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】过P作于D，根据角平分线的性质得到，即可求出点P到边的距离．
【详解】解：过P作于D，
∵，
∴，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴点P到边的距离是2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键．
7．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ）
A．36 B．24 C．20 D．18
【答案】D
【分析】本题考查角分线的尺规作图和性质；过点作于点，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积．
【详解】解：过点作于点，
根据题意得，是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
8．如图，中，是的角平分线，，是中点，连接，若，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质．过点作于点，根据角平分线的性质可得，从而得到，再由是中点，即可求解．熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，，
∴，
∵是中点，
∴．
故选：C．
9．在中，线段是的角平分线、是边上的中线，垂直于，已知：，则长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
过点作于点，如图，先利用三角形面积公式得到，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式，利用可求出的长．
【详解】解：过点作于点，如图，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
∵线段是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：A．
10．如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作 交于E，交于点F，过点G作于D；①；②；③点G到各边的距离相等；④设，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考差了角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质，掌握定理及性质是解题的关键．
①根据角平分线定义及平行可得出，，由此可得出结论；
②先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；
③根据角平分线的性质即可得出结论；
④连接，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：①和的平分线相交于点G，
， ，
，
，，
，，
，，
，即，故①正确；
②和的平分线相交于点G，
，
，故②正确；
③和的平分线相交于点G，
点G是的内心，
点G到各边的距离相等，故③正确；
④连接，
点G是的内心，，，
，故④正确．
故选：D．
11．如图，是的平分线，于点E，，则的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】过点D作于点F，根据角平分线的性质可求，然后根据求解即可．
【详解】解：过点D作于点F，
∵是的平分线，于点E，
∴，
又，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线上一点到角两边的距离相等是解题的关键．
12．如图，在中，平分，平分，且，若的周长是6，则的长是（ ）
A．6 B．3 C．12 D．9
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等可得，，再由等角对等边得到，然后利用的周长是6，可得，进而求得即可．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的周长是6，
∴，
∴．
故选A．
13．如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于 ．
【答案】2：3：4
【分析】过点O分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．
【详解】解：过点O分别向BC、BA、AC作垂线段交于D、E、F三点．
∵CO、BO、AO分别平分
∴
∵，，
∴
故答案为：2：3：4
【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键．
14．如图，在中，已知和的平分线相交于点．过点作，交于点，交于点．若，则线段的长为 ．
【答案】3
【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，可得∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，得出∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，根据等角对等边可得BD=DF，FE=CE，然后利用线段差可求出线段CE的长．
【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，
∴BD=DF=2，FE=CE，
∴CE=DE﹣DF=5﹣2=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题的关键．
15．如图，中，，，分别平分，交于点，过点作直线平行于，分别交于点，则的周长为 ．
【答案】18
【分析】根据角平分线的性质可得：，，然后由平行线的性质及角的等量代换可得：，，根据等角对等边得出：，，由此求三角形的周长，同时进行等量代换即可得出结果．
【详解】解：
∵BO平分，CO平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴的周长为：
，
，
，
，
，
．
故答案是：18．
【点睛】题目主要考查角平分线和平行线的性质定理，等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线和平行线的性质是解题关键．
16．如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若和的周长分别为和，则的长为 ．
【答案】12
【分析】由BD平分∠ABC，可得∠EBD=∠CBD，可证Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），可得BE=BC，ED=CD，可求AC+AE=6，可求2BC+AE+AC=30即可．
【详解】解：∵，，
∴∠BED=∠BCD=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
在Rt△EBD和Rt△CBD中，
，
Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），
∴BE=BC，ED=CD，
∵的周长为，
∴AD+ED+AE=AD+DC+AE=AC+AE=6，
∵的周长为，
∴AB+BC+AC=AE+BE+BC+AC=2BC+AE+AC=30，
∴2BC=30-（AE+AC）=30-6=24，
∴BC=12．
故答案为12．
【点睛】本题考查角平分线定义，三角形全等判定与性质，三角形周长，掌握角平分线定义，三角形全等判定与性质，三角形周长是解题关键．
三、解答题
17．如图，在中，，，平分交AD于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)的面积为6
【分析】（1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用角平分线的定义可得，从而可得，最后利用对顶角相等可得，从而利用等量代换即可解答；
（2）过点作，垂足为，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解∶ 过点作，垂足为，
平分，，，
，
，
的面积，
的面积为6．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18．如图，四边形中，，平分，于点．
(1)若，求证：；
(2)试探究线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定、角平分线的性质、全等三角形的判定及性质：
（1）根据角平分线的性质可得，再根据平行线的判定即可求证结论；
（2）过点作交的延长线于，利用可证得，进而可得，再利用证得，进而可得，再利用边的等量代换即可得出结论．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
过点作交的延长线于点F，
平分，于点，于点，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
19．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)．
【分析】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质，
（1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论；
（2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论；
（3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，
在和中，
∴，
∴，
又∵，，平分，
∴，
在和中，
，
∴
∴．
（3）过点C作交于P，作交延长线于G，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
同理可得：，，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴
【点睛】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等．
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