沪教版八年级数学上册压轴题攻略专题05一元二次方程实际应用的4种压轴题型全攻略(2)(原卷版+解析)

专题05 一元二次方程实际应用的4种压轴题型全攻略（2）
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 一元二次方程中盈利（亏损）问题的应用】 1
【考点二 一元二次方程中动态几何问题的应用】 2
【考点三 一元二次方程中工程问题的应用】 2
【考点四 一元二次方程其它应用的拓展提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 一元二次方程中营销（亏损）问题的应用】
【例题1】端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为( )
A． B．
C． D．
【变式1】一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（　　）
A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元
【变式2】某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款恤获利8450元，设每件降低元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【变式3】小明在某书店购买数学课外读物《几何原本》，已知每本《几何原本》的定价为40元，若按八折出售，该书店仍可获利10元，则每本《几何原本》的进价为（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
【考点二 一元二次方程中动态几何问题的应用】
【例题2】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（　　）
A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒
【变式1】如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点M，N的运动时间为(　　)
A． B． C． D．
【变式2】如图，在中，，cm，cm．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从顶点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是2cm/s，点的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，当，两点运动　　秒时，的面积等于5cm2．
A．1 B．3 C．3或5 D．1或5
【变式3】如图，在中，，，，点P，Q分别从A，B两点出发沿方向向终点C匀速运动，其速度均为．设运动时间为ts，则当的面积是的面积的一半时，t的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点三 一元二次方程中工程问题的应用】
【例题3】某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：
甲说：我的工作效率比乙的工作效率少 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量．
如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（ ）小时．
A．20 B．21 C．19 D．19
【变式2】2020年3月11日，太原解放路的道路改造工程拉开了序幕．工程南起南内环街，北至花园后南街，全长约8公里．某施工队承接了这8公里路的修路任务，为了提前完成任务，施工队实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前10天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】下面是学习分式方程的应用时，老师的板书和两名同学所列的方程．
15.3分式方程 甲、乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，且乙队每天比甲队多修．求甲队每天修路的长度． 佳佳： 音音：
根据以上信息，解答下列问题．
（1）佳佳同学所列方程中的x表示，音音同学所列方程中的y表示；
（2）甲队每天修路的长度是．
【考点四 一元二次方程其它应用的拓展提高】
【例题4】我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C．（ D．
【变式1】《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带売的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（ ）
A．6 升 B．8 升 C．16 升 D．18 升
【变式2】．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．
【过关检测】
一．选择题
1. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（　　）
A． B．
C． D．
2．某商店经销一种销售成本为40元的水果，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克（）元，月销售利润达8000元.则方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．电影《满江红》在2023年春节档上映，深受观众喜爱．某电影院每日开放若干个能容纳80位观众的放映厅排片《满江红》，票价统一订为60元．经调查发现，当一天排片3个放映厅时，每个厅均能坐满．在此基础上，每增加1个厅，每个厅将减少10位观众．若该电影院拟一日票房收入为18000元，设需要增加开放x个放映厅，根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，AB=，BC=．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形的面积为时，点的运动时间为( )
A． B．或 C． D．或
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟
二. 填空题
7．春节期间，某超市举办了“年跨年迎新购物季”促销活动，该超市对一款原价为元的商品降价销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价，此时售价共降低了元，则_________．
8．原价为20元/盒的商品，若售价为36元/盒，则每天可卖出40盒，经市场调查发现，若每盒下调1元，平均每天就可以多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒的售价下调__________元．
9．春节来临之际，某童装专柜决定通过降价销售，增加收入，在销售中发现；某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装共盈利1050元，设每件童装降价元，那么可以列方程为_________．

10．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为_________．
11．一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低_________元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元．
12．某商店销售一批保暖衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，商店采取适当的降价措施，经调查发现，在一定的范围内，保暖衬衫的单价每降1元，商店平均每天可多售出2件，如果商店通过销售这批保暖衬衫每天要盈利1200元，尽量减少库存，保暖衬衫的单价应降________元．
13．如图所示，中，，点P沿射线AB方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发_________秒后，的面积为．
14．如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过_________秒钟，使的面积等于．
15．如图，在中，，，，点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速挪动；点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速挪动点、分别从起点同时出发，挪动到某一位置时所需时间是为秒，当_________时，的面积等于．

三、解答题
16．谯城区某商场销售一款上衣每件进价元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，经市场调查发现，如果每件服装降价元；那么平均每天可多售出件．
(1)设每件衣服降价元，则每天销售量增加件，每件商品盈利多少元（用含的代数式表示） ；
(2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元；
(3)商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由．
17．温州某百货商场购进一批单价为5元的日用商品．如果以单价7元销售，每天可售出160件，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少20件，设这种商品的销售单价为x元．
(1)若该商场当天销售这种商品所获得的利润为元，求x的值．
(2)当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？此时最大利润为多少？
18．在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．

(1)填空：，__________（用含的代数式表示）；
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
19．某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队合作10天可完成；若甲工程队先单独施工5天，再由乙工程队单独施工20天也可完成．求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天．
37．某工程承包方指定由甲、乙两个工程队完成某项工程，若由甲工程队单独做需要40天完成，现在甲、乙两个工程队共同做20天后，由于甲工程队另有其他任务不再做该工程，剩下的工程由乙工程队再单独做了12天才完成任务．求乙工程队单独完成该工程需要多少天？
专题05 一元二次方程实际应用的4种压轴题型全攻略（2）
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【典型例题】 1
【考点一 一元二次方程中盈利（亏损）问题的应用】 1
【考点二 一元二次方程中动态几何问题的应用】 2
【考点三 一元二次方程中工程问题的应用】 2
【考点四 一元二次方程其它应用的拓展提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 一元二次方程中营销（亏损）问题的应用】
【例题1】端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润=每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋，
依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1】一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（　　）
A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元
【答案】B
【分析】设每件工艺品需降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设每件工艺品需降价元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
要使顾客尽量得到优惠，
，
要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价6元，
故选：B．
【变式2】某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款恤获利8450元，设每件降低元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】当每件降低元时，每件的销售利润为元，平均每周可售出件，利用每周销售该款恤获得的总利润每件的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：当每件降低元时，每件的销售利润为元，平均每周可售出件，
根据题意得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式3】小明在某书店购买数学课外读物《几何原本》，已知每本《几何原本》的定价为40元，若按八折出售，该书店仍可获利10元，则每本《几何原本》的进价为（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
【答案】A
【分析】根据题意可知：标价（折数10）－成本=利润，可以列出相应方程，然后求解即可；
【详解】设每本《几何原本》的进价为元，则：
由题意可得：，
解得：；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程；对于本题运用到的公式：标价（折数10）－成本=利润，一定要熟记并能够在题目中合理运用．
【考点二 一元二次方程中动态几何问题的应用】
【例题2】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（　　）
A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒
【答案】A
【分析】当运动时间为t秒时，，，根据的面积等于，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：当运动时间为t秒时，，，
根据题意得：，
即，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去，
∴．
∴运动时间为1秒．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1】如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点M，N的运动时间为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，，，根据的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：在中，，
∴．
当运动时间为时，，
依题意得：，即，
整理得：，
解得：，
∴点M，N的运动时间为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2】如图，在中，，cm，cm．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从顶点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是2cm/s，点的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，当，两点运动　　秒时，的面积等于5cm2．
A．1 B．3 C．3或5 D．1或5
【答案】D
【分析】由题意可得，，则利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：设运动的时间为，
由题意得：，，
，
解得：，，
即当或时，的面积等于．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，正确地列出方程是解题的关键．
【变式3】如图，在中，，，，点P，Q分别从A，B两点出发沿方向向终点C匀速运动，其速度均为．设运动时间为ts，则当的面积是的面积的一半时，t的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】设后，的面积是面积的一半，根据三角形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设后的面积是的面积的一半，依题意得，
，
解得：，（不合题意，舍去）
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【考点三 一元二次方程中工程问题的应用】
【例题3】某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意列出方程即可．
【详解】由题意得：
．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
【变式1】甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：
甲说：我的工作效率比乙的工作效率少 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量．
如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（ ）小时．
A．20 B．21 C．19 D．19
【答案】D
【分析】设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据乙提供的信息列出方程并解答；根据丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．
【详解】解：设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，由题意得：，
解得：，
经检验是原方程的根，且符合题意，
甲的工作效率是，乙的工作效率是，
∵丙的工作效率是乙的工作效率的，
丙的工作效率是，
∴一轮的工作量为：，
∴轮后剩余的工作量为：，
∴还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：，
∴乙还需要工作的时间为（小时），
∴按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（小时）．
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系进行求解．
【变式2】2020年3月11日，太原解放路的道路改造工程拉开了序幕．工程南起南内环街，北至花园后南街，全长约8公里．某施工队承接了这8公里路的修路任务，为了提前完成任务，施工队实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前10天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际提前10天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原计划每天修路x公里，则实际每天修路公里，
依题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式3】下面是学习分式方程的应用时，老师的板书和两名同学所列的方程．
15.3分式方程 甲、乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，且乙队每天比甲队多修．求甲队每天修路的长度． 佳佳： 音音：
根据以上信息，解答下列问题．
（1）佳佳同学所列方程中的x表示，音音同学所列方程中的y表示；
（2）甲队每天修路的长度是．
【答案】 甲队每天修路的长度 甲队修400米路所需时间/乙队修600米路所需时间
【分析】（1）佳佳与音音分别根据“时间相等”与“乙队每天比甲队多修”建立方程，据此可得出未知数所表示的含义；
（2）设甲队每天修路的长度是x米，据此列出佳佳所示的方程，解方程即可．
【详解】（1）根据题意可得：佳佳同学所列方程中的x表示：甲队每天修路的长度；
音音同学所列方程中的y表示：甲队修400米路所需时间（或乙队修600米路所需时间）．
故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修400米路所需时间（或乙队修600米路所需时间）；
（2）设甲队每天修路的长度是x米，根据题意可列方程：，
解方程得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
故甲队每天修路的长度是．
故答案为：40．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是审清题意正确列出方程．
【考点四 一元二次方程其它应用的拓展提高】
【例题4】我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C．（ D．
【答案】A
【分析】先根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱可得一株椽的价钱为文，再根据总价钱等于一株椽的价钱乘以椽的数量建立方程即可．
【详解】解：由题意得：一株椽的价钱为文，
则可列方程为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．
【变式1】《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带売的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（ ）
A．6 升 B．8 升 C．16 升 D．18 升
【答案】D
【分析】先把3斗换算成30升，设可以换得粝米x升，再根据50单位的粟：30单位的粝米＝30升粟：x升粝米，列分式方程，求出x即可．
【详解】根据题意得：3斗＝30升，
设可以换得的粝米为x升，
则 ，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
答：可以换得的粝米为18升．
故选：D．
【点睛】本题考查的是列分式方程解古代数学问题，弄清题意列出正确的方程是解题的关键．注意解分式方程必须要检验．
【变式2】．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．
【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米
(2)18
【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案；
（2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案．
【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得
，
解得，
米，
所以A型设备每小时铺设的路面110米；
（2）根据题意得：，
解得，（舍去），
答：m的值是18．
【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
【过关检测】
一．选择题
1. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，根据每盆花苗株数平均单株盈利每盆的总盈利，即可得出方程．
【详解】解：由题意得
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．
2．某商店经销一种销售成本为40元的水果，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克（）元，月销售利润达8000元.则方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，得到销售单价为时销量为：，再根据：利润（单价成本）数量，列出方程即可得出答案．
【详解】解：售价为时的销量为：，
月销售利润达8000时得：，
故答案选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找出数量关系列出方程是解题关键．
3．某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】这种商品的售价上涨元时，销售量就减少个，根据利润=每个的利润×销售量即可列出方程．
【详解】解：设这种商品的售价上涨元时，销售量就减少个，
根据题意可得：；
故选：A．
4．电影《满江红》在2023年春节档上映，深受观众喜爱．某电影院每日开放若干个能容纳80位观众的放映厅排片《满江红》，票价统一订为60元．经调查发现，当一天排片3个放映厅时，每个厅均能坐满．在此基础上，每增加1个厅，每个厅将减少10位观众．若该电影院拟一日票房收入为18000元，设需要增加开放x个放映厅，根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设需要增加开放x个放映厅，则每个放映厅的人数为人，根据“电影院拟一日票房收入为18000元”列方程即可．
【详解】解：设需要增加开放x个放映厅，则每个放映厅的人数为人，
依题意得，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出每个放映厅的人数是解题关键．
5．如图，在中，，AB=，BC=．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形的面积为时，点的运动时间为( )
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【分析】先求出的面积，得出当四边形的面积为时△BPQ的面积，设运动时间为t，则，，根据三角形面积公式列出关于他t的方程，解方程即可．
【详解】解：∵在中，，AB=，BC=，
∴，
∴当四边形的面积为时，
，
设运动时间为t，则，，
∴，
解得：，，
∵点P在AB上的运动时间为：，
∴，
∴不符合题意，
即当四边形的面积为时，点的运动时间为2s，故C正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了动点问题，三角形的面积公式，解二元一次方程组，设运动时间为t，根据题意列出关于t的方程，是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟
【答案】B
【分析】设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，由三角形的面积公式结合△PBQ的面积为15cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，
依题意，得：×2t （8-t）=15，
解得：t1=3，t2=5，
∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t=3．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二. 填空题
7．春节期间，某超市举办了“年跨年迎新购物季”促销活动，该超市对一款原价为元的商品降价销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价，此时售价共降低了元，则_________．
【答案】
【分析】根据某超市对一款原价位元的商品降价销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价，此时售价降低了元，列方程即可得到结论．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．
8．原价为20元/盒的商品，若售价为36元/盒，则每天可卖出40盒，经市场调查发现，若每盒下调1元，平均每天就可以多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒的售价下调__________元．
【答案】1或11/11或1
【分析】设应将每盒的售价下调元，则每盒的利润为元，每天销售量为盒，根据每天的利润达到750元，列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设应将每盒的售价下调元，则每盒的利润为元，每天销售量为盒，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
要使每天的利润达到750元，应将每盒的售价下调1或11元，
故答案为：1或11．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．春节来临之际，某童装专柜决定通过降价销售，增加收入，在销售中发现；某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装共盈利1050元，设每件童装降价元，那么可以列方程为．

【答案】
【分析】设每件童装降价x元，根据题意列出方程．
【详解】设每件童装降价元，
根据题意可得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是根据实际问题抽象出一元二次方程．
10．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为．
【答案】
【分析】由售价及销售间的关系，可得出降价后每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，利用超市每天售出此种粽子的利润每袋的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，
∴超市每天售出此种粽子的利润．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元．
【答案】10
【分析】设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，然后根据利润单件利润销售量，列出方程求解即可．
【详解】解：设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，
由题意得，，
整理得：，
解得，
∴当每件商品的单价降低10元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
12．某商店销售一批保暖衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，商店采取适当的降价措施，经调查发现，在一定的范围内，保暖衬衫的单价每降1元，商店平均每天可多售出2件，如果商店通过销售这批保暖衬衫每天要盈利1200元，尽量减少库存，保暖衬衫的单价应降元．
【答案】20
【分析】设每件衬衫应降价元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解．
【详解】解：设每件衬衫应降价元，
根据题意得，
整理得
解得：，．
因为尽量减少库存，，
故每件衬衫应降20元．
答：每件衬衫应降价20元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
13．如图所示，中，，点P沿射线AB方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发， 秒后，的面积为．
【答案】或7或
【分析】当运动时间为t秒时，，根据的面积为，列出关于t的一元二次方程求解即可．
【详解】解：当运动时间为t秒时，，
根据题意得：，
∴，
∴．
当时，，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）；
当时，，
整理得：，
解得：；
当时，，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），．
综上所述，或7或秒后，的面积为．
故答案为：或7或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过秒钟，使的面积等于．
【答案】2或4/4或2
【分析】设经过秒，的面积等于，得出，，根据三角形的面积公式，得出关于的一元二次方程，解出即可得出结论．
【详解】解：设经过秒，的面积等于，则，，
根据题意，可得：，
即，
解得：，，
∴经过或，的面积等于，
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在利用数形结合思想，找准等量关系，正确列出方程．
15．如图，在中，，，，点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速挪动；点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速挪动点、分别从起点同时出发，挪动到某一位置时所需时间是为秒，当时，的面积等于．
【答案】2
【分析】首先用分别表示，的长度，然后利用三角形的面积公式即可列出关于的方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：，、，
，
，，
当时，，故舍去，
当时，的面积等于，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程、三角形的面积公式，也是一个动点问题，用分别表示，的长度是解决问题的关键．
三、解答题
16．谯城区某商场销售一款上衣每件进价元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，经市场调查发现，如果每件服装降价元；那么平均每天可多售出件．
(1)设每件衣服降价元，则每天销售量增加件，每件商品盈利多少元（用含的代数式表示） ；
(2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元；
(3)商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由．
【答案】(1)； 元；
(2)当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元；
(3)商家不能达到平均每天盈利元，理由见解析
【分析】（1）设每件衣服降价元，根据题意找出数量关系即可解答；
（2）设每件衣服降价元，根据题意找出数量关系和等量关系即可解答；
（3）设每件衣服降价元，根据题意可得方程进而即可解答．
【详解】（1）解：设每件衣服降价元，
∴如果每件服装降价元，则每天销售量增加件，
故答案为：；
∵上衣每件进价元，销售价为元，
∴每件商品盈利元，
故答案为：元．
（2）解：设每件衣服降价元，根据题意得，
，
解得：（不符合题意舍去），，
∴当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元，
答：当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元．
（3）解：商家不能达到平均每天盈利元，理由如下：
设每件衣服降价元，根据题意得，
，
整理得：，
∴，，，
∴，
∴商家不能达到平均每天盈利元，
答：商家不能达到平均每天盈利元．
【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，根据题意找出数量关系和等量关系是解题的关键．
17．温州某百货商场购进一批单价为5元的日用商品．如果以单价7元销售，每天可售出160件，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少20件，设这种商品的销售单价为x元．
(1)若该商场当天销售这种商品所获得的利润为元，求x的值．
(2)当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？此时最大利润为多少？
【答案】(1)11或9
(2)当商品的销售单价定为元时，该商店销售这种商品获得的利润最大，最大利润为元．
【分析】（1）根据“利润值=（销售单价购进单价）销售量”，列出一元二次方程，即可求解；
（2）设销售的总利润为元，根据题意列出函数关系式，再利用配方法求得结果．
【详解】（1）根据题意得，，
解得，；
∴x的值为11或9．
（2）设销售的总利润为元，根据题意得，
，
∵，
∴，
当时，有最大值，
答：当商品的销售单价定为元时，该商店销售这种商品获得的利润最大，最大利润为元．
18．在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．

(1)填空：，__________（用含的代数式表示）；
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，，可以求得；
（2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值；
（3）根据题干信息使得五边形的面积等于的值存在，利用长方形的面积减去的面积即可，则的面积为，由此求得值．
【详解】（1）解：点从点开始沿边向终点以的速度移动，，故为
故答案为：．
（2）由题意得：，
解得：，；
当秒或秒时，的长度等于；
（3）存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下：
长方形的面积是：，
使得五边形的面积等于，则的面积为，
，
解得：不合题意舍去，．
即当秒时，使得五边形的面积等于．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，利用含t的代数式表示各自线段的关系，根据题干数量关系即可确立等量关系式是解题的关键．
19．某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队合作10天可完成；若甲工程队先单独施工5天，再由乙工程队单独施工20天也可完成．求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天．
37．某工程承包方指定由甲、乙两个工程队完成某项工程，若由甲工程队单独做需要40天完成，现在甲、乙两个工程队共同做20天后，由于甲工程队另有其他任务不再做该工程，剩下的工程由乙工程队再单独做了12天才完成任务．求乙工程队单独完成该工程需要多少天？
【答案】甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要30天
【分析】设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队每天的工作效率为，乙工程队每天的工作效率为，根据“甲工程队先单独施工5天，再由乙工程队单独施工20天也可完成”列出方程求解即可．
【详解】解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队每天的工作效率为，乙工程队每天的工作效率为，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴乙工程队每天的工作效率为，
则乙工程队单独完成此项工程需要30天，
答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．
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